Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Óñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòèâ òðóáàõÐàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ çàäà÷ó äâèæåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè, äîïóñêàþùóþ ÿâíîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå.Ïóñòüèìååòñÿïðÿìàÿòðóáà,ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé êðóãëûé öèëèíäð(ðèñ.ëèíäðè÷åñêèå2.4.1).ÂâåäåìX̄ = r,êîîðäèíàòû:X̄ 2 = φ, X̄ 3 = z ,öè-1êîòîðûå áóäåì ïîëà-ãàòü áåçðàçìåðíûìè (ñì. (2.3.13)), îòíåñåííûìè ê õàðàêòåðíûì çíà÷åíèÿìÐèñ. 2.4.1.Äâèæåíèåâÿçêîéæèäêîñòèâêðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáåX01 = X03 = x0 , X02 =1, ãäåðàêòåðíàÿ äëèíà òðóáû;r0x0 õà- áåçðàç-ìåðíûé ðàäèóñ òðóáû.  ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû Ëà-H̄α (ñì. (2.3.14)) èìåþò ôîðìàëüíî òàêîé æå âèä, êàê è ðàçìåðíûå:H̄1 = H̄3 = 1, H̄2 = r.
Ñëåäîâàòåëüíî, âñå äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû:¯ · ρ̄v̄, ∇¯ · T̄d è äð. ôîðìàëüíî áóäóò òàêèìè æå, êàê è ñîîòâåòñòâóþùèå∇ìåðàçìåðíûå îïåðàòîðû.Ðàññìîòðèì äâèæåíèå íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè â òðóáå ïðè ñëåäóþùèõ îãðàíè÷åíèÿõ:•äâèæåíèå óñòàíîâèâøååñÿ, èçîòåðìè÷åñêîå:θ = const, òàê ÷òî óðàâíåíèåýíåðãèè â ñèñòåìå (2.3.33) íå ðàññìàòðèâàåì;••ìàññîâûå ñèëû îòñóòñòâóþò, ò. å.r = r0 :•f = 0;íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè òðóáû çàäàíû óñëîâèÿ ïðèëèïàíèÿ (2.2.40):vr = 0,vφ = 0,vz = 0;(2.4.7)íà òîðöåâûõ ïîâåðõíîñòÿõ òðóáû çàäàíû óñëîâèÿ òèïà (2.2.37):z = 0, 1 :−p + Tvzz = −pe1,2 ,Tvrz = 0,Tvφz = 0,(2.4.8)223 2.4. Óñòàíîâèâøèåñÿ ïðîöåññû â âÿçêîé æèäêîñòèãäåpe 1èpe2Tvij çàäàííûå çíà÷åíèÿ äàâëåíèÿ; ôèçè÷åñêèå êîìïîíåíòûâÿçêèõ íàïðÿæåíèé â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.Êðîìå òîãî, íà îñèOz ,ÿâëÿþùåéñÿ îñüþ ñèììåòðèè çàäà÷è, çàäàäèìóñëîâèÿ ñèììåòðèè, êîòîðûå â äàííîì ñëó÷àå èìåþò ñëåäóþùèé âèä:r=0:vr = 0,Tvrz = 0,Tvrφ = 0.(2.4.9)Ïðè òàêèõ îãðàíè÷åíèÿõ áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ñèñòåìû (2.4.4) â ñëåäóþùåì âèäå:p = p(z),vz = vz (r),vr = vφ = 0,(2.4.10)ò.
å. â âèäå îäíîìåðíîãî èçîòåðìè÷åñêîãî óñòàíîâèâøåãîñÿ ïîòîêà.Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ôóíêöèè â âûðàæåíèå (2.4.4à) äëÿìóëû äëÿDTvè ó÷èòûâàÿ ôîð-èç óïð. 1 ê 2.3, íàõîäèì, ÷òî åäèíñòâåííàÿ îòëè÷íàÿ îò íóëÿêîìïîíåíòà âÿçêèõ íàïðÿæåíèé (áåçðàçìåðíàÿ) â äàííîé çàäà÷å ýòîTvrz = ∂vz /∂r,îñòàëüíûåTvij = 0.Tvrz :(2.4.10à)Ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèÿ (2.4.10) â ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.4.4),çàïèñàííûå â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (ñì. óïð. 3 ê 2.3), ïîëó÷àåì, ÷òîóðàâíåíèå íåñæèìàåìîñòè áóäåò óäîâëåòâîðåíî òîæäåñòâåííî, à òîæäåñòâåííî íåíóëåâîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ áóäåò òîëüêî îäíî (â ïðîåêöèè íà îñü¢∂ ¡ 2vz + Eu p =∂zµ1Re1 ∂vz∂ vz+2r ∂r∂r2¶.(2.4.11)Ïîñêîëüêó ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2.4.11) íå çàâèñèò îòz,Oz ):r,à ïðàâàÿ îòòî ýòî óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåé ñèñòåìå:(∂p/∂z = const = C ,³ ³ ∂v ´´ Re1 ∂zr=C.r ∂r∂rEuÎòñþäà è èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (2.4.8) íàõîäèì (òàê êàêp = (pe2 − pe1 )z + pe1 ,(2.4.12)Tvzz = 0):C = pe2 − pe1 ≡ ∆p.(2.4.13)Èíòåãðèðóÿ âòîðîå óðàâíåíèå â (2.4.12), íàõîäèì åãî îáùåå ðåøåíèåvz =Re4Eu∆p r2 + C1lnr + C2 .(2.4.14)Ýòîìó ðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóåò êàñàòåëüíàÿ êîìïîíåíòà âÿçêèõ íàïðÿæåíèé(2.4.10à):Tvrz =Re2Eu∆p r +C1.r(2.4.15)Ïîäñòàâëÿÿ ýòó ôóíêöèþ â ãðàíè÷íîå óñëîâèå (2.4.9), ïîëó÷àåì, ÷òî êîíñòàíòàC1 = 0.Åñëè ïîäñòàâèòü ðåøåíèå (2.4.14) â ãðàíè÷íîå óñëîâèå (2.4.7), òî íàõîäèìâòîðóþ êîíñòàíòóC2 = −(Re/4Eu)∆pr02 .224Ãëàâà 2.
Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçû ðåçóëüòàòå èñêîìûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè, êàñàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿè äàâëåíèÿ â òðóáå èìåþò âèäRevz =4Eu∆p (r2 − r02 ),Tvrz =Re2Eu∆p r,p = ∆p z + pe1 .Èç ýòîãî ðåøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïåðåïàä äàâëåíèÿáóäåò îòðèöàòåëüíîé (òàê êàêr 6 r0 ),∆p < 0,à åñëè∆p > 0,(2.4.16)òî ñêîðîñòüvzòî ïîëîæèòåëüíîé.Îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííîå ðåøåíèå (2.4.16) óäîâëåòâîðÿåò âñåì ãðàíè÷íûìTvrzóñëîâèÿì (2.4.7)(2.4.9) êðîìå óñëîâèÿ äëÿíà òîðöåâûõ ïîâåðõíîñòÿõòðóáû. ýòîì ñìûñëå ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííûì, àäåêâàòíîîïèñûâàþùèì äâèæåíèå æèäêîñòè â äëèííûõ òðóáàõ, êîãäà îòíîøåíèå ðàäèóñà òðóáû ê åå äëèíå âåëèêî.Ñîãëàñíî ôîðìóëå (2.4.16), çàâèñèìîñòü ñêîðîñòèæèäêîñòèîòðàäèóñàèìååòâèäïàðàáî-ëû, ìàêñèìóì ñêîðîñòè äîñòèãàåòñÿ íà îñè òðóáû(ðèñ.
2.4.2), ïðè÷åìvmax = vz (0) =Ðèñ. 2.4.2.ÏàðàáîëàÏóà-Rer024Eu∆p,(2.4.17)ãäå, êàê è ðàíåå, âñå âåëè÷èíû áåçðàçìåðíûå.çåéëÿÏàðàáîëè÷åñêèé õàðàêòåð ñêîðîñòè äâèæåíèÿæèäêîñòè â òðóáå íàçûâàþò ïàðàáîëîé Ïóàçåéëÿ, óñòàíîâèâøåãî ýòîò ðåçóëüòàò â 1840 ã.Óïðàæíåíèÿ ê 2.4.Óïðàæíåíèå 1. ********8 2.5. Êâàçèñòàòè÷åñêèå ïðîöåññû â íåñæèìàåìîé æèäêîñòè2.5.1.
Ìîäåëü êâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîââ íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòèÎïðåäåëåíèå 2.5.1.VÅñëè â ñèñòåìå (2.4.5), çàäàííîé â íåêîòîðîé îáëàñòèäëÿ ïðîìåæóòêà âðåìåíè[0, tmax ],÷èñëî Ýéëåðà ìíîãî áîëüøå åäèíèöû,à ÷èñëà Eu Re è Eu Fr èìåþò ïîðÿäîê 1:Euòîêèíåòè÷åñêîéÀ 1,Eu Reýíåðãèåéâ= O(1),óðàâíåíèèEu Fr= O(1),äâèæåíèÿâ(2.5.1)ýòîéñèñòåìåìîæíî ïðåíåáðå÷ü, â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ðàññìàòðèâàþò ìîäåëü225 2.5. Êâàçèñòàòè÷åñêèå ïðîöåññû â íåñæèìàåìîé æèäêîñòèêâàçèñòàòè÷åñêèõïðîöåññîââíåñæèìàåìîéâÿçêîéæ è ä ê î ñ ò è:∇ · v = 0,11∆v +f,∇p =Eu ReEu Fr∆θw∗qcv v · ∇θ =++ m.PeÏóñòü îáëàñòüV,Eu ReΣ2(2.5.3)(2.5.4)Fkâ êîòîðîé ðàññìàòðèâàþò ñèñòåìó (2.5.2)(2.5.4), ÿâëÿ-åòñÿ îãðàíè÷åííîé, ïðè÷åì íà ÷àñòèíà ÷àñòè(2.5.2)Σ1åå ïîâåðõíîñòè çàäàíà ñêîðîñòü, àΣ01 âåêòîð íàïðÿæåíèé (ñì.
(2.3.31à), (2.3.31á)); íà ÷àñòè0âåêòîð ïîòîêà òåïëà, à íà Σ òåìïåðàòóðà:2¯v¯Σ = ve ,(2.5.5)1¯−p¯Σ n +21Eu Re¯Tv ¯Σ · n = −pe n,(2.5.6)2¯∇θ¯Σ0 = qe ,¯θ¯Σ0 = θe ,(2.5.7)1(2.5.8)2ïðè÷åìΣ = Σ1 ∪ Σ2 = Σ01 ∪ Σ02 ,òîãäà ñèñòåìà (2.5.2)(2.5.8) ïðåäñòàâëÿåòñîáîé êâàçèñòàòè÷åñêóþ çàäà÷ó âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè äëÿ íàõîæäåíèÿ ïÿòè ôóíêöèév, pèθ.Åñëè ñèñòåìà (2.5.2)(2.5.8) çàäàíà âîáëàñòèV,V1 âíåøíîñòè îãðàíè÷åííîéòî êðîìå óñëîâèé (2.5.6)(2.5.8) ê íåé ïðèñîåäèíÿåòñÿ óñëîâèå íàáåñêîíå÷íîñòè:¯v¯∞ = 0.(2.5.9)Îòìåòèì, ÷òî â ñèñòåìå óðàâíåíèé (2.5.2)(2.5.4) óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè (2.5.2) è ðàâíîâåñèÿ (2.5.3) ìîãóò áûòü ðåøåíû îòäåëüíî îò óðàâíåíèÿýíåðãèè (2.5.4).
Ïîñëå âû÷èñëåíèÿ ïîëåé ñêîðîñòèòåìïåðàòóðóθ(x)v(x)p(x)qm è äàâëåíèÿíàõîäÿò èç óðàâíåíèÿ (2.5.4), â êîòîðîìv, w ∗èèçâåñòíûå ôóíêöèè.2.5.2. Çàäà÷è äëÿ âåêòîðà âèõðÿ, âåêòîðà ñêîðîñòè è äàâëåíèÿÏîñëå óêàçàííîãî ðàçäåëåíèÿ ñèñòåìû (2.5.2)(2.5.4) íà äâå ãðóïïû óðàâíåíèé (2.5.2), (2.5.3) è (2.5.4), îáå ýòè ãðóïïû ñîñòîÿò òîëüêî èç ëèíåéíûõóðàâíåíèé îòíîñèòåëüíîv, pèθ. ñèëó ëèíåéíîñòè óðàâíåíèé (2.5.2) è (2.5.3), îíè òàêæå ìîãóò áûòüðàçâÿçàíûìåæäóñîáîé.Äåéñòâèòåëüíî,ïðèìåíèìêóðàâíåíèþðàâíî-226Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûâåñèÿ(2.5.3)îïåðàòîð∇ · ∆v = ∆(∇ · v) = 0,äèâåðãåíöèè,òîãäà,ïîñêîëüêó∇ · ∇p = ∆pèïîëó÷àåì∇p = óðàâíåíèå Ïóàññîíà äëÿ äàâëåíèÿ∇f(2.5.10)Eu Frp.Åñëè ê óðàâíåíèþ ðàâíîâåñèÿ (2.5.3) ïðèìåíèòü îïåðàòîð ðîòîðà, òî âñèëó∇ × ∇p = 0, ∇ × ∆v = ∆(∇ × v) = 2∆ω ,∆ω = −∇×f2Fr,íàõîäèì∇·ω =0 óðàâíåíèå Ïóàññîíà äëÿ âåêòîðà âèõðÿ(2.5.11)ω = (1/2)∇ × v.Ïðè÷åì âåêòîðâèõðÿ äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ ñîëåíîèäàëüíîñòè, ïîñêîëüêó∇ · ω = (1/2)∇ · ∇ × v = 0.Äëÿ íàõîæäåíèÿ âåêòîðà ñêîðîñòèvïî çàäàííîìó âåêòîðó âèõðÿωâ ýòîìñëó÷àå èìååì çíàêîìóþ íàì (ñì.
ï. 1.6.4) ñèñòåìó óðàâíåíèé:∇ × v = 2ω ,∇ · v = 0.(2.5.12)Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (2.5.10)(2.5.12) ìîæíî áûëî áû ïîëó÷èòü èíà÷å,âîñïîëüçîâàâøèñü ñèñòåìîé óðàâíåíèé Ãåëüìãîëüöà (2.1.58)(2.1.61). Åñëèïðèâåñòè ýòó ñèñòåìó ê áåçðàçìåðíîìó âèäó, à çàòåì ðàññìîòðåòü åå ïðèóñëîâèÿõ Sh¿1, EuÀ1, Eu Re= O(1),Eu Fr= O(1),(÷òî ðàâíîñèëüíîîòáðàñûâàíèþ êâàäðàòè÷íûõ è íåñòàöèîíàðíûõ ÷ëåíîâ â óðàâíåíèÿõ), òîïîëó÷èì â òî÷íîñòè óðàâíåíèÿ (2.5.10)(2.5.12).Òðè ãðóïïû óðàâíåíèé (2.5.10), (2.5.11) è (2.5.12) ÷àñòî îêàçûâàþòñÿáîëåå óäîáíûìè äëÿ ðåøåíèÿ, â òîì ÷èñëå ÷èñëåííîãî, ÷åì èñõîäíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (2.5.2), (2.5.3), ïîñêîëüêó â ýòó ñèñòåìó äàâëåíèåpâõîäèò¾íåóäà÷íûì¿ îáðàçîì äëÿ íåãî íåò ñàìîñòîÿòåëüíîãî ñêàëÿðíîãî óðàâíåíèÿ; â òî æå âðåìÿ äëÿ òðåõ êîìïîíåíò âåêòîðà ñêîðîñòè èìååòñÿ ÷åòûðåóðàâíåíèÿ (2.5.3) è (2.5.2).
Ïîïûòêà îòùåïèòü îäíî èç óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ(2.5.3) äëÿ äàâëåíèÿ îêàçûâàåòñÿ, êàê ïðàâèëî, î÷åíü íåóäà÷íîé ïðè ðåøåíèèêîíêðåòíûõ çàäà÷.  òî æå âðåìÿ êàæäàÿ èç òðåõ ãðóïï óðàâíåíèé (2.5.10),(2.5.11) è (2.5.12) ñîäåðæèò òîëüêî îäíó êàêóþ-ëèáî íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ: ñêàëÿðíîå óðàâíåíèå (2.5.10) òîëüêî äàâëåíèå(2.5.11) òîëüêî âåêòîð âèõðÿp,ãðóïïà óðàâíåíèéω , à ãðóïïà (2.5.12) òîëüêî âåêòîð ñêîðîñòè.Ñôîðìóëèðóåì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ê ýòèì ãðóïïàì óðàâíåíèé. Îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî ñëó÷àåì, êîãäà ðàññìàòðèâàåìàÿ îáëàñòüâíåøíîñòü îãðàíè÷åííîé îáëàñòèV ⊂V1ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéE3a , ïðè÷åì íà âñåé ãðàíèöåΣîáëàñòè çàäàíî òîëüêî óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè âåêòîðà ñêîðîñòè (2.5.5).ýòîé227 2.5.
Êâàçèñòàòè÷åñêèå ïðîöåññû â íåñæèìàåìîé æèäêîñòè1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èçâåñòåí âåêòîð âèõðÿωâî âñåé îáëàñòèV1 ,òîãäà,ïðèñîåäèíÿÿ ê ñèñòåìå (2.5.12) ãðàíè÷íîå óñëîâèå (2.5.5) äëÿ íîðìàëüíîé¯n · v¯Σ = vne ,ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè(2.5.13)à òàêæå óñëîâèå (2.5.9) íà áåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷èì çàäà÷ó (2.5.12), (2.5.13),(2.5.9) äëÿ âåêòîðà ñêîðîñòèv.Ðåøåíèå òàêîé çàäà÷è áûëî óñòàíîâëåíî âï.
1.6.7, îíî ñîñòîèò èç ñóïåðïîçèöèè ðîòîðà âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëàè ãðàäèåíòà ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèèv = ∇ × b + ∇ϕe,ãäåb(x) =1b (1.6.36)ϕe:Z2π(2.5.14)ω(x0 )dV ;|x − x0 |(2.5.15)V∞ϕeÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è (1.6.57):(∆ϕe = 0 â V1 ,¯¯∂ϕ ¯¯¯ .=v−n·(∇×b)∇ϕe¯∞ = 0,neΣΣ(2.5.16)∂n2. Ñôîðìóëèðóåì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ãðóïïû óðàâíåíèé (2.5.11) äëÿω.âåêòîðà âèõðÿñîãëàñîâàíû ñ ïîâåðõíîñòüþïðåäñòàâèòüñòåéâe i , êîòîðûåX÷òî Σ ìîæíîÄëÿ ýòîãî ââåäåì êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòûâèäåΣîáëàñòèñîâîêóïíîñòèΣk : Σ = ∪k Σk ,àêàæäàÿVòàêèì îáðàçîì,÷à-÷àñòüeγ = Xe γ = constΣk èìååò óðàâíåíèå: Xkie , ââåäåííûå(γ = 1, 2, 3). Êîîðäèíàòû Xòàêèì îáðàçîì, íàçûâàþò àäàïòèâíûìèê ïîâåðõíîñòèïîâåðõíîñòüΣêèõ êîîðäèíàòΣ.Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òîäîïóñêàåò ââåäåíèå òà-e i.XÐàññìîòðèì íà ïðîèçâîëüíîé ÷àñòèΣkýòîé ïîâåðõíîñòè ëîêàëüíûå âåêòî-ðû áàçèñàeri = ∂x/∂X i . ñèëó ñâîéñòâÐèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
