Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 36
Текст из файла (страница 36)
2.5.1. Âåêòîðû ëîêàëüíîãî áàçèñà âàäàïòèâíûõ êîîðäèíàò (ðèñ. 2.5.1), äâàâåêòîðàëîêàëüíîãîáàçèñàerαèàäàïòèâíûõ êîîðäèíàòàõerβ(α6= β 6= γ 6= α) áóäóò ïðèíàäëåæàòü êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè Σ0Σk , èìåþùåé óðàâíåíèå xi = xi (X α, X β, X γ = const).ê ïîâåðõíîñòèÇàïèøåì âåêòîð âèõðÿ íà ýòîé ÷àñòè ïîâåðõíîñòè:¯¯∂v ¯¯∂v ¯¯∂v ¯¯αβeeri ×ω ¯Σ = ∇ × v¯Σ = e=r×+r×+kke i Σke α Σke β Σk∂X∂X∂X∂ve∂v ¯¯∂ve∂v ¯¯=erα ×≡ ωe,+erγ ×+erβ ×+erγ ×γ Σαβγ Σe∂Xke∂Xe∂Xe∂Xk(2.5.17)228ãäåÃëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûerαerα âåêòîðû âçàèìíîãî êΣkóñëîâèå (2.5.5), êîòîðîå íàΣk :áàçèñà.
Çäåñü èñïîëüçîâàíî ãðàíè÷íîåìîæíî çàïèñàòü â âèäåe α, Xeβ, Xe γ = const)) = ve (Xe α, Xe β ),v(xi (Xk(2.5.18)è ó÷òåíî, ÷òî ñîîòíîøåíèå (2.5.18) ìîæíî ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü ïîe γ ).(íî íå ïî XÂûðàæåíèå (2.5.17) ìîæíî ïîëó÷èòü äëÿ êàæäîé ÷àñòèΣkeαXèeβXïîâåðõíîñòèΣ,è åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ çàäà÷è (2.5.11),(2.5.17) äëÿ ôóíêöèè âèõðÿω.Òåîðåìà 2.5.1.âíåøíîñòèÏóñòüâîîãðàíè÷åííîéíåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿf (x),îáëàñòèVçàäàíàðåãóëÿðíàÿ íà áåñêîíå÷íî-ñòè, òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è(1∆ω = −∇ × f, ∇ · ω = 02Fr¯¯ω ¯Σ = ω e , ω ¯∞ = 0,âV1 = Ea3 \ V ,(2.5.19)(2.5.20)ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåω = ω 1 + ω 2 + ∇ϕ2 ,ãäåω1 îáúåìíûé âåêòîðíûé ïîòåíöèàë (ñì.
ò. 1, (3.6.67)), â êîòîðîì âêà÷åñòâå ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè âìåñòîω 1 (x0 ) =Z18π FrV∞àω2ϕ2((−∇ × f /(4Fr)):∇ × f (x)dV ,|x − x0 |Σ(2.5.22)(2.5.23)Σ ðåøåíèå çàäà÷è Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà:Ïîñòðîèì ïðîäîëæåíèå ïîëÿ(h(x) =ϕ3 (x) îáëàñòè V :ãäåâûñòóïàåò∆ω 2 − ∇ ⊗ ∇ · ω 2 = 0 â V1 ,¯¯¯ω 2 ¯ = ω e − ω 1 ¯ − ∇ϕ2 ¯ ,∆ϕ2 = −∇ · ω 2Hω âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è:Σà(2.5.21)∇×f14Fr¯∂ϕ2 /∂n¯Σ = 0.V1 ,ââ îáëàñòèV:∇ × f (x), x ∈ V1 ,∇ϕ3 ,(2.5.24)x∈V,(2.5.25)ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Íåéìàíà â∆ϕ3 = 0¯ ∂ϕ3 ¯¯ =∂n Σâ1FrV,¯¯n · ∇ × f¯Σ,(2.5.26)229 2.5. Êâàçèñòàòè÷åñêèå ïðîöåññû â íåñæèìàåìîé æèäêîñòèïðè÷åì ãðàíè÷íàÿ ôóíêöèÿ â (2.5.26) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (***9.26):Z11n · ∇ × f dΣ =4Frh(x)∇ · ∇ × f dV = 0.4FrΣÏîëåZVÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì â∇·h=14FrVèV1 ,ïîñêîëüêó âV1 :∇ · ∇ × f = 0,V : ∇ · h = ∆ϕ3 = 0.h âî âñåì E3a ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíûì,ëÿþùàÿ ïîëÿ n · h íåïðåðûâíà íà Σ, òàê êàê¯1n · ∇ × f ¯Σ .n·h=à âÏîëåà íîðìàëüíàÿ ñîñòàâ-4Frf (x) ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíûì íà áåñêîíå÷íîñòè, òî h∃k > 0 è r0 > 0, λ > 0: ∀r > r0 è ∀x ∈ Urr (0) ∩ V1 :Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêóóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:0k|h(x)| < λ+2 .|x|(2.5.27)Òîãäà îêàçûâàþòñÿ âûïîëíåííûìè âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 3.6.16 èç ò.
1, è,ñîãëàñíî ýòîé òåîðåìå, ñóùåñòâóåò îáúåìíûé âåêòîðíûé ïîòåíöèàëω 1 (x0 ) =Z12πV∞h(x)dV ,|x − x0 |x0 ∈ E3a ,(2.5.28)aîïðåäåëåííûé âî âñåì E è ÿâëÿþùèéñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è3(∆ω 1 = −2h,¯ω 1 ¯∞ = 0 .∇ · ω1 = 0âE3a ,(2.5.29)Ñðàâíèâàÿ (2.5.28) è (2.5.25) ñ (2.5.22), óáåæäàåìñÿ, ÷òî â îáëàñòèV1ýòèèϕ2 .ôóíêöèè ñîâïàäàþò.Ïóñòü èìåþòñÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ (2.5.23) è (2.5.24) ôóíêöèèω2Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ (2.5.21) â ýòîì ñëó÷àå åñòü ðåøåíèå çàäà÷è (2.5.19),(2.5.20).
Äåéñòâèòåëüíî, âV1ïîëó÷àåìδω = δω 1 + δω 2 + ∆∇ϕ2 = −=−òàê êàê ôóíêöèÿÍà ãðàíèöåϕ2Σ,óñëîâèþ (2.5.20):â12FrV112Fr∇ × f + ∇ ⊗ ∇ · ω 2 + ∆∇ϕ2 =∇ × f + ∇ ⊗ (∆ϕ2 + ∇ · ω 2 ) = −1Fr∇ × f,(2.5.30)óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.5.24).â ñèëó (2.5.23) è (2.5.24), ôóíêöèÿωóäîâëåòâîðÿåò¯¯¯¯¯¯¯¯ω ¯Σ = ω 1 ¯Σ + ω 2 ¯Σ + ∇ϕ2 ¯Σ = ω 1 ¯Σ + ω e − ω 1 ¯Σ − ∇ϕ2 ¯Σ + ∇ϕ2 ¯Σ = ω 2 .(2.5.31)230Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûωÏîëåÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì âV1 :∇ · ω = ∇ · ω 1 + ∇ · ω 2 + ∇ · ∇ϕ2 = ∇ · ω + ∆ϕ2 = 0,â ñèëó (2.5.24).(2.5.32)NÎòìåòèì, ÷òî çàäà÷è (2.5.23) è (2.5.24) äëÿ ôóíêöèéìåæäó ñîáîé, òàê êàê∇ϕ2âõîäèò â ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿω 2 è ϕ2ω2.ñâÿçàíûÑâÿçàííûìè îêàçûâàþòñÿ è çàäà÷è (2.5.19), (2.5.20) äëÿ âåêòîðà âèõðÿè (2.5.12), (2.5.13) äëÿ âåêòîðà ñêîðîñòèâåêòîðà ñêîðîñòèâèõðÿωeγ∂v/∂ Xv,ωïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõâõîäÿò â ãðàíè÷íîå óñëîâèå (2.5.20), à ôóíêöèÿâ âûðàæåíèå (2.5.15).
 òàêîé ïîñòàíîâêå îáùàÿ çàäà÷à èìååòèíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûé òèï.3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäà÷è (2.5.19), (2.5.20) è (2.5.12), (2.5.13) ðåøåíû èíàéäåíû ïîëÿω(x) è v(x), òîãäà äëÿ íàõîæäåíèÿ äàâëåíèÿ p(x) èìååì çàäà÷óÍåéìàíà, ñîñòîÿùóþ èç óðàâíåíèÿ (2.5.10), ê êîòîðîìó â êà÷åñòâå ãðàíè÷íûõóñëîâèé ïðèñîåäèíèì ïðîåêöèþ óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (2.5.3) íà íîðìàëüçàïèñàííóþ äëÿ òî÷åê ïîâåðõíîñòè1p=∇f â V1 ,∆eEu Fr¯¯ ∂ pe ¯¯ = 1 n · ∆v¯ +Σ∂n ΣÇäåñüEu Repe = p − p∞n,Σ:1Eu Fr¯n · f ¯Σ , ïåðåïàä äàâëåíèÿ, ãäå¯pe¯∞ = 0.p∞ = const(2.5.33) äàâëåíèå íà áåñêî-íå÷íîñòè.Èñòèííîå äàâëåíèå ïîñëå ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.5.22) íàõîäèì êàê+ p∞ .Ââåäåíèå ïåðåïàäà äàâëåíèÿpe íåîáõîäèìîp = pe +äëÿ ôîðìóëèðîâêè óñëîâèÿíà áåñêîíå÷íîñòè.2.5.3. Êâàçèñòàòè÷åñêîå äâèæåíèå øàðàâ íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòèÐàññìîòðèì çàäà÷ó î êâàçèñòàòè÷åñêîì ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè àáñîëþòíî òâåðäîãî øàðà ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþvâ íåñæèìàåìîé âÿçêîéæèäêîñòè.Êàê è â ñëó÷àå èäåàëüíîé æèäêîñòè (ñì. ï.
1.9.8), ââåäåì ïîäâèæíóþO0 x0i ñ íà÷àëîì â òî÷êå O0 0öåíòðå ñèììåòðèè øàðà UR (0). Ðàäèóñ-âåêòîð x âñÿêîé òî÷êè M â ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñâÿçàí ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì x òîé æå òî÷êè M â íåïîäâèæíîéi0ñèñòåìå êîîðäèíàò Ox ñîîòíîøåíèåì (1.9.88) (ñì. ðèñ. 1.9.7): x = x − a, ãäåda/dt = vs .ïðÿìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò231 2.5. Êâàçèñòàòè÷åñêèå ïðîöåññû â íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ñèñòåìàõ êîîðäèíàòO0 x0ièOxi ,êàê îòìå÷àëîñü â ï. 1.9.8, âñå êîâàðè-àíòíûå ïðîèçâîäíûå ñîâïàäàþò:∇0 = ēi∂∂= ēi i ,0i∂x∂xïîýòîìó óðàâíåíèÿ (2.5.2), (2.5.3), à òàêæå (2.5.10)(2.5.12), â ïîäâèæíîéñèñòåìå êîîðäèíàò ñîõðàíÿþò ñâîé âèä.Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ â äàííîé çàäà÷å òàêîâû: íà ïîâåðõíîñòèvs :¯v¯ΣΣR (O0 )øàðàçàäàíà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ øàðàR (Oà íà áåñêîíå÷íîñòè çàäàíû óñëîâèÿ¯v¯∞ = 0,pe = p − p∞ ; p∞ãäå= vs(2.5.34)¯pe¯∞ = 0,(2.5.35)0) èçâåñòíîå äàâëåíèå íà áåñêîíå÷íîñòè.f =Ìàññîâûå ñèëû â äàííîé çàäà÷å îòñóòñòâóþò:îáëàñòèV1 = E3a \ UR (O0 )0.
Òîãäà äàâëåíèåpâóäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà, âûòåêàþùåìóèç (2.5.10):∆ep=0ò. å.pÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé ââV1 ,V1 .Íåêîòîðûå ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè áûëè ïðåäñòàâëåíû â ï. 1.9.1, âñå îíèóäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà, îäíàêî íàì íóæíà òàêàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò íàéòè ðåøåíèå âñåé ñèñòåìû (2.5.2), (2.5.3) è(2.5.34), (2.5.35). Áóäåì èñêàòü òàêóþ ôóíêöèþ â âèäå òðåõ ïîòåíöèàëîâòî÷å÷íîãî äèïîëÿ (1.9.5):pe −3Xα=1Cα∂∂x0α³1´r ñëó÷àå, åñëè âåêòîðíàïðèìåðē3 ,vs³1´r,r = |x0 | = |x − a|.(2.5.36)êîëëèíåàðåí îäíîìó èç áàçèñíûõ âåêòîðîâēα ,òî â (2.5.36) îñòàåòñÿ òîëüêî îäèí ïîòåíöèàëpe = C3ãäå=c·∇∂∂x03³1´r= C3 ē3 · ∇³1´r= −C3x0,r3(2.5.37)x0 = x03 .Ðàññìîòðèì äàëåå ýòîò ñëó÷àé.Íàéäåì ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé â æèäêîñòèñèñòåìîé (2.5.2), (2.5.3), â êîòîðîé äàâëåíèåpe v(x0 ),âîñïîëüçîâàâøèñüèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ.
Èùåìðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû â âèäåv = ∇0 ϕ +ãäåϕ íåêîòîðàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ;C1ē ,r 3C1 = const.(2.5.38)232Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûÏîäñòàâëÿÿ (2.5.38) â (2.5.2) è (2.5.3), ïîëó÷àåì ñèñòåìó(∆0 ϕ + C1 ē3 · ∇0 (1/r) = 0,∇0 (∆0 ϕ − EuÏîñêîëüêó∆(1/r) = 0,∆ϕ = EuRe(2.5.39)pe) + C1 ∆0 (1/r) = 0.Reòî èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ýòîé ñèñòåìû ïîëó÷àåìpe + C2 = C3 Eu1ē3 · ∇ + C2 , C2 = const.Re(2.5.40)rÑðàâíèâàÿ (2.5.40) ñ ïåðâûì óðàâíåíèåì â (2.5.39), íàõîäèì êîíñòàíòûèC1 :Ñ2 = 0,Òàêèì îáðàçîì, äëÿϕC1 = −C3 EuRe.C2(2.5.41)ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Ïóàññîíà∆ϕ = −C3Eu Rex0.r3ϕ = ϕ0 + ϕ1 ,Îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèäϕ1âîëüíàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ;(2.5.42)ϕ0ãäå ïðîèç- ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà(2.5.42).
Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî òàêèì ÷àñòíûì ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿϕ1 =òàê êàê∇α ϕ1 =∆ϕ1 =3XC3∇α ∇α ϕ1 =2α=1C32C32Eu ReµEu Rex0,r(2.5.43)δα1x0 x0α− 3rr¶,3 ³0α0 0α 0α ´1Xx03x x x2δ x− α3 − 3 δαα +=3Eu Rerα=1rr= −C3 EuÏîñêîëüêó ôóíêöèÿϕ0äîëæíà áûòü òàêîâà, ÷òîvx0.r3Re(2.5.44)óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷-íûì óñëîâèÿì (2.5.34), â êà÷åñòâå ýòîé ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè âûáèðàåìϕ0 = C4Òîãäà äëÿϕ(2.5.45)è âåêòîðà ñêîðîñòè èç (2.5.38) ïîëó÷àåìϕ=v = −∇ϕ −−x0.r3C3Eur3C3Eur3Reē3Reē3=³C4r2=C321C32³ ēEu Re− C32Eu Re3rx0x0+ C4 3 ,rr−´ ēEu Re3rx0 x0r3−(2.5.46)´+ C4³C32Eu³ ē30 0´3xx−´0 03C4 x xRe +.23r3−rr5r(2.5.47) 2.5.
Êâàçèñòàòè÷åñêèå ïðîöåññû â íåñæèìàåìîé æèäêîñòèÍà ïîâåðõíîñòè ñôåðûvΣR =³C4R2− 12C3 Eu233ΣR (O0 ) ïðè r = |x0 | = R è x0 = nR èìååì´ ē³C´3C4 n̄3 n33Re−Eu Re += vs ē3 .(2.5.48)2RRR2Ïîñêîëüêó â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ âåêòîð íå çàâèñèò îò êîîðäèíàò, òî è â ëåâîé ÷àñòè ýòîãî âûðàæåíèÿ íå äîëæíî áûòü çàâèñèìîñòè îòêîîðäèíàò òî÷êè íà ñôåðå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
