Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûïðè Re→ ∞, íàçûâàþòì î ä å ë ü þ ï î ã ð à í è ÷ í î ã î (ëàìèíàðíîãî) ñ ë î ÿñ æ è ì à å ì î é â ÿ ç ê î é æ è ä ê î ñ ò è.Ïîñêîëüêó ìîäåëü ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ ðàññìàòðèâàþò ïðè áîëüøèõ ÷èñëàõÐåéíîëüäñà, êîãäà ReH̄3 ¿ 1.Àε1, òî ïàðàìåòðûèH̄3ÿâëÿþòñÿ ìàëûìè:ε¿1 èÑîîòíîøåíèÿ (2.7.12) íàêëàäûâàþò îãðàíè÷åíèå íà òîëùèíó ïîãðà-íè÷íîãî ñëîÿX03è õàðàêòåðíóþ ñêîðîñòüv30â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè.2.7.2. Ïðåîáðàçîâàíèå ïàðàìåòðîâ Ëàìå è èõ ïðîèçâîäíûõâ ïîãðàíè÷íîì ñëîåÄëÿ ìîäåëè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû ËàìåH̄α ,ñîãëàñ-íî (2.7.4), èìåþò âèä³H̄α = Āα1k̄ X̄ 3− √αRe´³ 1 ´= Āα + O √.√Îòáðàñûâàÿ ÷ëåíû ïîðÿäêà 1/(2.7.13)ReRe , èìååìH̄α = Āα .Äëÿ ïðîèçâîäíûõH̄α3H̄α3 = −Āα k̄α /(2.7.14)H̄αβ ,ñîãëàñíî (2.7.7) è (2.7.13), ïîëó÷àåìRe ,H̄αβ = Āαβ ≡ ∂ Āα /∂ X̄ β .è√(2.7.15)Äàëåå áóäåì èñïîëüçîâàòü òàêæå ñîîòíîøåíèÿH̄α3 /H̄α = − √³∂H̄α3∂ X̄ 3 H̄α´k̄αRe (1− k̄α X̄3 /³= H̄α3√K̄αRe )= −√Re³+O´1Re,(2.7.16)´∂1=∂ X̄ 3 H̄α³ k³ 1 ´´2³ 1 ´H̄ H̄k= − α3 2 α3 = − √ α + O=− α +O.3/2ReReH̄αReReÑîõðàíÿÿ â ýòèõ âûðàæåíèÿõ òîëüêî ñòàðøèå ÷ëåíû, èìååì√H̄α3 /H̄α = −k̄α / Re ,∂(H̄α3 /H̄α ) = −k̄α /Re.∂ X̄ 3(2.7.17)Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (2.7.15) è (2.7.17), óñòàíàâëèâàåì, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèèΦèìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå³´∂H̄ Φ∂ΦH̄H̄H̄(H̄1 H̄2 Φ) + α3 =+ Φ 13 + 23 + α3 =33H̄1 H̄2 ∂ X̄H̄αH̄1H̄2H̄α∂ X̄³ 1 ´∂Φ∂ΦΦ√√(k̄+k̄+k̄)=.=−+Oα12∂ X̄ 3∂ X̄ 3ReRe1(2.7.18)255 2.7.
Ìîäåëü ëàìèíàðíîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿÎ÷åâèäíî, ÷òî èìåþò ìåñòî òàêæå ñëåäóþùèå ôîðìóëû:´∂∂Φ1,(2.7.19)(H̄1 H̄2 Φ) =+ O( √H̄1 H̄2 ∂X 3∂ X̄ 3Re´³ Φ ´∂∂Φ∂Φ∂Φk̄α Φ1H̄α3√√H̄α===. (2.7.20)−Φ==++O(H̄α∂X 3 H̄α∂ X̄ 3∂ X̄ 3∂ X̄ 3ReRe12.7.3. Êîìïîíåíòû òåíçîðîâ ñêîðîñòåé äåôîðìàöèéè âÿçêèõ íàïðÿæåíèé â ïîãðàíè÷íîì ñëîåÓñòàíîâèì, êàê ïðåîáðàçóþòñÿ áåçðàçìåðíûå êîìïîíåíòû òåíçîðà ñêîðîñòåé äåôîðìàöèéD̄αβ ,îïðåäåëÿåìûå ïî (2.7.20), â ïîãðàíè÷íîì ñëîå. Ïîä-ñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèå (2.7.11) â (2.3.19á) è ó÷èòûâàÿ (2.7.3) è (2.7.6), ïîëó÷àåì∂v̄αH̄12 v̄αH̄ v̄¯+ α3 3 , α = 1, 2, D̄33 = ∂ v̄¯3 /∂ X̄ 3 ,α +H̄α ∂ X̄H̄1 H̄2H̄α´³ 1 ´³³ v̄ ´√εH̄3 ∂ v̄¯3H̄α ∂v̄α∂α√+=+O2D̄α3 =Re H̄α,αH̄3 ∂ X̄ 3 H̄αH̄α H̄3 ∂ X̄∂ X̄ 3 H̄αRe³ v̄ ´ H̄ ∂ ³ v̄ ´H̄1 ∂122D̄12 =+ 2.(2.7.21)H̄2 ∂ X̄ 2 H̄1H̄1 ∂ X̄ 1 H̄21D̄αα =Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ôîðìóëû (2.7.17) è (2.7.20) è ñîõðàíÿÿ òîëüêîñòàðøèå ÷ëåíû, ýòè ñîîòíîøåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:D̄αα =2D̄α3=√Re∂v̄αĀ12 v̄α, α = 1, 2,D̄33 = ∂ v̄¯3 /∂ X̄ 3 ,α +Āα ∂ X̄Ā1 Ā2³ v̄ ´ Ā ∂ ³ v̄ ´Ā1 ∂∂v̄α12,2D̄12 =+ 2.Ā2 ∂ X̄ 2 Ā1Ā1 ∂ X̄ 1 Ā2∂ X̄ 31(2.7.22)Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ â (2.3.19â), ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ áåç-T̄vαγðàçìåðíûõ êîìïîíåíò òåíçîðà âÿçêèõ íàïðÿæåíèé(ñîõðàíåíû òîëüêîñòàðøèå ÷ëåíû):T̄vαα = (µ̄1 + µ̄2 )D̄αα + 2µ̄2 (D̄ββ + D̄33 ),α = 1, 2,T̄v33 = (µ̄1 + µ̄2 )D̄33 + 2µ̄2 (D̄11 + D̄22 ),√∂v̄T̄vα3 = Re µ̄2 α3 , T̄v12 = 2µ̄2 D̄12 .(2.7.23)∂ X̄Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2.7.18) è (2.7.19), âû÷èñëèì êîìïîíåíòû áåçðàçìåðíîãî òåíçîðà äèíàìè÷åñêèõ íàïðÿæåíèéT̄d(2.3.17):T̄d = ρ̄v̄ ⊗ v̄ + Eu p̄E −T̄vRe(2.7.24),â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåìT̄dαα = ρ̄v̄α2 + Eu p̄ −T̄vααRe³= ρ̄V̄α2 + Eu p̄ + O1Re´,α = 1, 2,256Ãëàâà 2.
Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûT̄dα3³ 1 ´T̄T̄d33 = ερ̄v̄¯3 2 + Eu p̄ − v33 = Eu p̄ + O √,(2.7.25)ReRe³´³ 1 ´T̄1∂v̄= ερ̄v̄α v̄¯3 − vα3 = √ρ̄v̄α v̄¯3 − µ̄2 α3 + O,3 /2Re∂ X̄ReRe³1´T̄T̄d12 = ρ̄v̄1 v̄2 − v12 = ρ̄v̄1 v̄2 + O.ReRe2.7.4. Âûâîä óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿÇàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (2.3.24á) â ôèçè÷åñêîì áàçèñåbrα , èñïîëü¯ · T̄d :∇çóÿ ôîðìóëû (ò. 1, (2.6.39)) äëÿ äèâåðãåíöèè áåçðàçìåðíîãî òåíçîðà√∂ ρ̄v̄α1∂ H̄β T̄dαα1∂ H̄α T̄d12Re∂++(H̄1 H̄2 T̄dα3 )+Sh+αβ∂ t̄H̄1 H̄2 ∂ X̄H̄1 H̄2 ∂ X̄H̄1 H̄2 ∂ X̄ 3√√H̄ T̄Re H̄α3 T̄dα3H̄ T̄Re H̄3α T̄d33ρ̄f¯+ 12 d12 +− βα dββ −= α,FrH̄1 H̄2H̄αH̄1 H̄2H̄αα = 1, 2,√³ ∂ H̄ T̄∂ ρ̄v̄3Re∂1∂ H̄1 T̄d232 d13√ Sh(H̄H̄T̄)++++12d3313∂t̄H̄H̄H̄H̄∂ X̄∂ X̄ 211Re2√√2 ∂ X̄√√ρ̄f¯Re H̄31Re H̄32Re H̄13Re H̄23+T̄d13 +T̄d23 −T̄d11 −T̄d22 = 3 .FrH̄1H̄1H̄1H̄2(2.7.26)1(2.7.27)Ïîäñòàâèì â (2.7.26) âûðàæåíèå (2.7.25), òîãäà ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâO(1/ReShïîëó÷èì1∂ ρ̄v̄α1∂∂2(H̄ − αρ̄v̄1 v̄2 )++α H̄β (ρ̄v̄α + Eu p̄) +∂ t̄H̄1 H̄2 ∂ X̄H̄1 H̄2 ∂ X̄ β1∂∂v̄1+(H̄1 H̄2 (ρ̄v̄α v̄¯3 − µ̄2 α3 )) +(H̄12 ρ̄v̄1 v̄2 −H̄1 H̄2 ∂ X̄ 3H̄1 H̄2∂ X̄³´ ρ̄f¯H̄∂v̄− H̄βα (ρ̄v̄β2 + Eu p̄)) + α3 ρ̄v̄α v̄¯3 − µ̄2 α3 = α , α = 1, 2.FrH̄α∂ X̄Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî(2.7.28)H̄3α = 0.Ïðåîáðàçóåì ÷åòâåðòîå ñëàãàåìîå â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.7.28) ïîôîðìóëå (2.7.19), âûðàæåíèåH̄α3 /H̄αçàìåíèì ïî ôîðìóëå (2.7.17), à âîâñåõ îñòàëüíûõ ñëàãàåìûõ çàìåíèì ïàðàìåòðûH̄αñîãëàñíî ôîðìóëå (2.7.14),òîãäà, ñîõðàíÿÿ òîëüêî ñòàðøèå ÷ëåíû â (2.7.28), íàõîäèìSh∂ ρ̄v̄α1∂1∂2+(Āα ρ̄v̄α v̄β )+α (Āβ ρ̄v̄α ) +∂ t̄Ā1 Ā2 ∂ X̄Ā1 Ā2 ∂ X̄ β1Eu Āβ ∂p+(Ā12 ρ̄v̄α v̄β − Āβα ρ̄v̄β2 ) = −+Ā1 Ā2Ā1 Ā2 ∂ X̄ α³ ∂v̄´ ρ̄f¯∂αα¯µ̄−ρ̄v̄v̄+.α 3 +2Fr∂ X̄ 3∂ X̄ 3(2.7.29)257 2.7.
Ìîäåëü ëàìèíàðíîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ√Ïîäñòàâèì (2.7.12) â (2.7.27) è ðàçäåëèì îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íàRe . Òîãäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òîH̄31 = H̄32 = 0, è âûïèñûâàÿ ÿâíûì îáðàçîì òîëüêîñòàðøèå ÷ëåíû, ïîëó÷àåì, ÷òî òðåòüå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (2.7.27) èìååò âèä1H̄∂(H̄1 H̄2 Eu p̄) − 13 (ρ̄v̄12 + Eu p̄)−H̄1 H̄2 ∂ X̄ 3H̄1³ 1 ´H̄= 0.− 23 (ρ̄v̄22 + Eu p̄) + O √H̄2Re(2.7.30)Ðàñêðîåì ñêîáêè â ïåðâîì ñëàãàåìîì, òîãäà èìååì³Eu∂pHH1− 13 ρ̄v̄12 − 23 ρ̄v̄22 + O √βH̄1H̄2∂ X̄Re´= 0.(2.7.30à)Îòìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî (2.7.17) âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûå â (2.7.30) òàêæåèìåþò ïîðÿäîêO(1/√O(1/√Re ), ïîýòîìó èç (2.7.30), îòáðàñûâàÿ ÷ëåíû ïîðÿäêàRe ), ïîëó÷àåì ïðîñòîå óðàâíåíèå äëÿp:∂p= 0.∂ X̄ 3Óðàâíåíèÿ(2.7.29)è(2.7.31)ïðåäñòàâëÿþò(2.7.31)ñîáîé èñêîìûå óðàâíåíèÿäâèæåíèÿ ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ.2.7.5. Óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè, ýíåðãèè è òåïëîïðîâîäíîñòèäëÿ ìîäåëè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿÐàññìîòðèì êàê çàïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè (2.3.24à) äëÿ ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2.3.16) äëÿ áåçðàçìåðíîãî îïåðàòîðàäèâåðãåíöèè âåêòîð௠· ρ̄v̄,∇à òàêæå ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû (2.7.7) è (2.7.3),ïîëó÷àåì³Sh∂ ρ̄∂ ρ̄∂v̄1 H̄2∂ ρ̄∂v̄2 H̄11++1∂ t̄H̄1 H̄2∂ X̄∂ X̄ 2 ñèëó (2.7.8), íàõîäèì, ÷òî´∂ ρ̄v̄¯3 H̄1 H̄2ε= 0.H̄3 H̄1 H̄2∂ X̄ 3+ε/H̄3 = 1,(2.7.32)è òåì ñàìûì óðàâíåíèå íåðàçðûâ-íîñòè äëÿ ìîäåëè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ íå èçìåíÿåò ñâîåãî îáùåãî âèäà.Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå (2.7.32) ïðåäñòàâëåíèÿ (2.7.17) è (2.7.14), ìîæíî√O(1/ Re ):¶µ∂ ρ̄v̄2 Ā1∂ ρ̄v̄¯3∂ ρ̄v̄1 Ā2++= 0.123ïåðåïèñàòü åãî, îòáðàñûâàÿ ÷ëåíû ïîðÿäêàSh∂ ρ̄1+∂ t̄Ā1 Ā2∂ X̄∂ X̄∂ X̄(2.7.33)Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëè óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè äëÿ ìîäåëè ïîãðàíè÷íîãîñëîÿ.Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ýíåðãèè â îáùåé ôîðìå (2.3.24ã) è ïðåîáðàçóåìâõîäÿùèå â íåãî îòäåëüíûå ñëàãàåìûå.258Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûÈñïîëüçóÿ ôîðìóëó (ò.
1, (2.6.34â)) ëàïëàñèàíà ñêàëÿðíîé ôóíêöèè âôèçè÷åñêîì áàçèñå è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ñîîòíîøåíèå (2.7.12), ïîëó÷àåì1Pe³´³´∂H̄2 ∂ θ̄1∂H̄1 ∂ θ̄++112ReH̄1 H̄2 ∂ X̄ReH̄1 H̄2 ∂ X̄H̄1 ∂ X̄H̄2 ∂ X̄ 2³´³´³1´∂∂ θ̄1∂ θ̄1∂H̄H̄=H̄H̄+O=+112223ReH̄1 H̄2 ∂ X̄ 3ReH̄1 H̄2 H̄3 ∂ X̄∂ X̄ 3∂ X̄ 3³´³1´√∂ 2 θ̄∂ θ̄ H̄13∂ 2 θ̄H̄23=++ O(1/ Re ). (2.7.34)++O=3 233 2ReH̄1H̄2∂(X̄ )∂ X̄∂(X̄ )1¯ θ̄ =∇Çäåñü èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà (2.7.17).Ó÷èòûâàÿ âûðàæåíèå (2.7.23) äëÿ êîìïîíåíò òåíçîðà âÿçêèõ íàïðÿæåíèé,íàõîäèì1Re¯ · (T̄v · v̄) =∇2X∂1ReH̄1 H̄2α=1∂ X̄ α(T̄vα1 v̄1 + T̄vα2 v̄2 + εT̄vα3 v̄¯3 )H̄β +∂(T̄v13 v̄1 + T̄v23 v̄2 + εT̄v33 v̄¯3 )H̄1 H̄2 =ReH̄1 H̄2 H̄3 ∂ X̄ 3√2´³1´³³ √´X∂v̄αRe∂=Re µ̄2H̄H̄+O,v̄α12ReReH̄1 H̄2∂ X̄ 3∂ X̄ 3+1(2.7.35)α=1ò. å.
ñòàðøèå ÷ëåíû â ýòîì âûðàæåíèè îáðàçóþò òîëüêî ñëàãàåìûå ïðèT̄vα3 v̄α .Ïåðåïèøåì âûðàæåíèå (2.7.35) ñ ó÷åòîì ôîðìóë (2.7.19):1Re¯ · (T̄v · v̄) =∇2³´³ 1 ´X∂∂v̄α√µ̄v̄+O,α233α=1∂ X̄∂ X̄Ïðåîáðàçóåì îïåðàòîð äèâåðãåíöèèε̄ +Re¯ · ρ̄v̄(ε̄ + (p̄/ρ̄)),∇p̄v̄ 2p̄v̄ 2= ē ++ = ī += ī0 ,ρ̄2Euρ̄2Euãäåī = ē +p̄ρ̄(2.7.36)ââîäÿ îáîçíà÷åíèå(2.7.37)(2.7.38) áåçðàçìåðíàÿ ýíòàëüïèÿ æèäêîñòè;ī0 = ī +v̄ 22Eu(2.7.39) ïîëíàÿ ýíòàëüïèÿ.Äëÿ ìîäåëè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ, â ñèëó (2.7.11), ïîëíàÿ ýíòàëüïèÿ ñòî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà√O(1/ Re )ī0 = ī +12Euèìååò âèä(v̄12 + v̄22 ).(2.7.40)259 2.7. Ìîäåëü ëàìèíàðíîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿÄëÿ ñîâåðøåííîãî âÿçêîãî ãàçà, ñîãëàñíî (2.1.67) ïîëó÷àåìZθ̄01c̄p (θ0 )dθ0 +ī = ē0 +2Eu(v̄12 + v̄22 ),(2.7.40à)θ0ī0 = i0 /e0 ,c̄p = cp θ0 /e0 ,Òîãäà îïåðàòîð äèâåðãåíöèèe0 = p0 /ρ0 .¯ · ρ̄v̄(ε̄ + (p̄/ρ̄))∇ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ïî-äîáíî óðàâíåíèþ íåðàçðûâíîñòè (2.7.33):´³¯ · ρ̄v̄ ε̄ + p̄ = ∇¯ · (v̄ρ̄ī0 ) =∇³ ∂´∂(ρ̄v̄2 ī0 H̄1 ) +2ρ̄H̄1 H̄2 ∂ X̄∂ X̄´ ∂ ρ̄v̄¯ ī0³ ∂ ρ̄v̄ ī0 Ā1∂ ρ̄v̄2 ī0 Ā1ε∂1230(H̄H̄ρ̄v̄ī)=++.
(2.7.41)+123H̄1 H̄2 H̄3 ∂ X̄ 3Ā1 Ā2∂ X̄ 1∂ X̄ 2∂ X̄ 311(ρ̄v̄1 ī0 H̄2 ) +Ñ ó÷åòîì (2.7.34), (2.7.36) è (2.7.41) áåçðàçìåðíîå óðàâíåíèå ýíåðãèè(2.3.24ã) äëÿ ìîäåëè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêàO(1/√Re ) ïðèìåò âèä³ ∂ ρ̄v̄ ī0 Ā´ ∂ ρ̄v̄¯ ī0∂ ρ̄v̄2 ī0 Ā1∂1123=++(ρ̄ī0 − p̄) +∂ t̄Ā1 Ā2∂ X̄ 1∂ X̄ 2∂ X̄ 3³ ∂(v̄ 2 + v̄ 2 ) ´∂2θ1∂ρ̄ρ̄q̄= λ̄+µ̄2 1 3 2 +(f¯1 v̄1 + f¯2 v̄2 ) + m ,3 232Eu ∂ X̄Eu FrFk∂(X̄ )∂ X̄Shòàê êàê(2.7.42)ρ̄ε̄ = ρ̄(ī0 − (p̄/ρ̄)) = ρ̄ī0 − p̄.Óðàâíåíèå (2.7.42) èíîãäà íàçûâàþò óðàâíåíèåì èçìåíåíèÿ ïîëíîé ýíòàëüïèè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ.Äëÿ ñëó÷àÿ ñîâåðøåííîãî ãàçà óðàâíåíèå ýíåðãèè (2.7.42) ìîæíî ïîëíîñòüþ çàïèñàòü ñ ïîìîùüþ ïîëíîé ýíòàëüïèèθ̄.Äåéñòâèòåëüíî, äèôôåðåíöèðóÿ (2.7.40à)³∂ θ̄∂ ī0= c̄p+3∂ X̄∂ X̄ 3∂λ̄ ∂ ī03∂ X̄ c̄p ∂ X̄ 3´³=ī0 , èñêëþ÷èâ èç íåãî òåìïåðàòóðó3ïî X̄ , ïîëó÷àåì∂(v̄12 + v̄22 ),2Eu∂ X̄ 31∂∂ θ̄λ̄ 3 +∂ X̄ 3∂ X̄³(2.7.43)´λ̄ ∂(v̄12 + v̄22 )∂.32Eu ∂ X̄c̄p∂ X̄ 31Òîãäà óðàâíåíèå èçìåíåíèÿ ïîëíîé ýíòàëüïèè (2.7.42) ñ ó÷åòîì (2.7.43) ìîæíîçàïèñàòü â âèä嵶ρ̄v̄2 ī0 Ā1ρ̄v̄1 ī0 Ā2ρ̄v̄¯3 ī0++=∂ X̄ 1∂ X̄ 2∂ X̄ 3µ¶µµ¶¶∂λ̄ ∂ ī01∂λ̄∂¯(v12 + v22 )=+µ̄2 1 −+2Eu ∂ X̄ 3µ̄2 c̄p∂ X̄ 3 c̄p ∂ X̄ 3∂ X̄ 3ρ̄q̄mρ̄¯¯1∂(ρ̄ī0 − p̄) +Sh∂ t̄Ā1 Ā2+Eu Fr(f1 v̄1 + f2 v̄2 ) +Fk.(2.7.43à)260Ãëàâà 2.
Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûÊàê îòìå÷àëîñü â ï. 2.3.3, ÷àñòî âìåñòî óðàâíåíèÿ ýíåðãèè (2.3.24ã) èñïîëüçóþò ýêâèâàëåíòíîå åìó óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (2.3.29). Ïîêàæåì,êàê óðàâíåíèå (2.3.29) ïðåîáðàçóåòñÿ äëÿ ìîäåëè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ. Êàêîáû÷íî, ïðåîáðàçóåì ïî îòäåëüíîñòè êàæäîå ñëàãàåìîå â (2.3.29).Îïåðàòîð äèâåðãåíöèè¯ · v̄∇ðûâíîñòè (2.7.30):ïðåîáðàçóåòñÿ àíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ íåðàç-µ¯ · v̄ =∇1Ā1 Ā2∂v̄ Ā∂v̄1 Ā2+ 2 211∂ X̄∂ X̄¶+∂ v̄¯3.∂ X̄ 3Ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (***) èìååì¯ =v̄ · ∇θ2Xv̄1 ∂ θ̄v̄2 ∂ θ̄ε∂ θ̄∂ θ̄v̄α ∂ θ̄¯++v̄=+ v̄¯3.3H̄1 ∂ X̄ 1H̄2 ∂ X̄ 2H̄3 ∂ X̄ 3Āα ∂ X̄ α∂ X̄ 3(2.7.44)α=1Äëÿ áåçðàçìåðíîé ôóíêöèè ðàññåèâàíèÿ (2.3.29à) ïîëó÷àåìw̄∗Re=1Re2X(T̄vα1 D̄α1 + T̄vα2 D̄α2 + T̄vα3 D̄α3 ) +α=1+ T̄v32 D̄32 + T̄v33 D̄33 ) =2Xµ̄21Re(T̄v31 D̄31 +³ ∂v̄ ´2α∂ X̄ 3α=1µ+O¶1.√Re(2.7.45)Çäåñü ó÷òåíû ôîðìóëû (2.7.22) è (2.7.23), ñîãëàñíî êîòîðûì ñòàðøèå ÷ëåíû â(2.7.45) îáðàçóþòñÿ òîëüêî êîìïîíåíòàìèD̄α3èT̄vα3 .Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (2.7.43) è (2.7.45) â (2.3.19), ïîëó÷àåì, ÷òî óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ ïðèíèìàåò âèä³ρ̄c̄vX v̄α ∂ θ̄∂ θ̄¯ ∂ θ̄+α + v̄3∂ t̄Āα ∂ X̄∂ X̄ 32Sh´α=1³X ∂v̄α∂ 2 θ̄+µ̄2∂(X̄ 3 )2∂ X̄ 32= λ̄´2+α=1ρ̄q̄mFk.(2.7.46)2.7.6.
Ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ ìîäåëè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿâ ñîâåðøåííîì ëèíåéíî-âÿçêîì ãàçåÏðåîáðàçóåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ (2.7.25). Äëÿ ýòîãîv̄α :µ¶∂ ρ̄v̄α Āβ∂ ρ̄v̄β Āα∂ ρ̄v̄¯3v̄α+ v̄α+ v̄α= 0, α 6= β.αβ3äîìíîæèì óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè (2.7.30) íàSh1∂ ρ̄v̄α +∂tĀ1 Ā2∂ X̄∂ X̄∂ X̄(2.7.47)Âûäåëèì â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.7.47) ïðîèçâîäíûå ïðîèçâåäåíèÿôóíêöèé:³ ∂ ρ̄v̄Sh∂tα− ρ̄∂v̄α∂t´+1Ā1 Ā2³ ∂ ρ̄v̄ 2 Āα∂ X̄βα− ρ̄v̄α Āβ∂v̄α+∂ X̄ α261 2.7. Ìîäåëü ëàìèíàðíîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ+∂ ρ̄v̄α v̄β Āα∂v̄− ρ̄v̄β Āα αββ∂ X̄∂ X̄´+∂ ρ̄v̄α v̄¯3∂v̄− ρv̄¯3 α3 = 0.3∂ X̄∂ X̄(2.7.48)ρ̄,íàõîäèìÂû÷èòàÿ óðàâíåíèå (2.7.48) èç (2.7.25) è ïîäåëèâ ðåçóëüòàò íàShv̄ ∂v̄α∂v̄α∂v̄1v̄β ∂v̄α+ α+ v̄¯3 α3 +(Āαβ v̄α v̄β − Āβα v̄β2 ) =α +β∂tĀα ∂ X̄Āβ ∂ X̄Ā1 Ā2∂ X̄³ ∂v̄ ´1 ∂Eu∂ p̄f¯α, α = 1, 2,=µ̄2 α3 −α +3ρ̄ ∂ X̄Frρ̄Āα ∂ X̄∂ X̄(2.7.49) åùå îäíî ïðåäñòàâëåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ, êîòîðîå,ñëåäóÿ îáùåìó ïðàâèëó, íàçûâàþò óðàâíåíèåì â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ(çäåñü ó÷òåíî, ÷òîAβ /(A1 A2 ) = 1/Aα ).Ïðèñîåäèíÿÿ ê (2.7.49) óðàâíåíèÿ (2.7.31), (2.7.33) è (2.7.46), ïîëó÷àåìñèñòåìó ïÿòè ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ïÿòè ôóíêöèé:θ̄, çàâèñÿùèõ îò X̄ α ,X̄3èρ̄, v̄α , v̄¯3èt̄.Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (2.7.31) ÿâëÿåòñÿ òðèâèàëüíûì è äîïóñêàåò î÷åâèäíûé èíòåãðàëp̄h (t)ãäåp̄(ρ̄, θ̄) = p̄h (t̄, X̄ α ),(2.7.50) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ çàâèñèò òîëüêî îòt̄èX̄ αèìîæåò áûòü óñòàíîâëåíà ñ ïîìîùüþ ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ íà óñëîâíîé âíåøíåéãðàíèöå ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿΣh(ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
