Лекция_6 (1048778)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 6

Вынужденные колебания линейной системы при наличии вязкого трения

Рассмотрим сначала реакцию системы на гармонический закон изменения вынуждающей силы. В этом случае дифференциальное уравнение движения системы будет следующим:

,

где H – амплитуда вынуждающей силы; p – частота вынуждающей силы.

Иначе, в приведенном виде это выражение имеет вид:

где

Решение такого неоднородного дифференциального уравнения можно искать в виде суммы двух решений: общего решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения:

.

Общее решение такого однородного дифференциального уравнения будем искать в следующем виде:

где , то есть случай малого сопротивления.

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в следующем виде:

Проверим, насколько удовлетворяет принятое решение исходному уравнению. Для этого подставим решение в уравнение:

или:

Для того, чтобы это равенство тождественно выполнялось, необходимо равенство коэффициентов при синусах и косинусах, стоящих слева и справа от знака равенства, то есть:

Из совместного решения этих двух уравнений можно определить амплитуду и фазовый угол вынужденных колебаний:

Таким образом, общее решение неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид:

Постоянные интегрирования и определим, как и прежде, используя начальные условия движения системы. То есть для времени должны быть известны и . После ряда преобразований:

В результате:

Первые два слагаемых полученного решения соответствуют свободным и свободным сопровождающим колебаниям. Как уже ранее отмечалось, и те, и другие колебания сравнительно быстро затухают. Поэтому можно считать, что установившиеся вынужденные колебания линейной системы при наличии вязкого трения описываются зависимостью:

Графически вынужденные колебания системы с вязким трением выглядят следующим образом:

Следует отметить, что амплитуда вынужденных колебаний вследствие сдвига фаз имеет максимум не при резонансной частоте , а при некотором другом значении частоты . Очевидно, что максимум амплитуды вынужденных колебаний будет соответствовать минимуму подкоренного выражения , поэтому для определения частоты возьмем производную от этого выражения и приравняем ее к нулю:

,

откуда

.

Несложный анализ этой зависимости показывает, что полученное соотношение возможно лишь в случае , то есть для .

В противном случае максимума амплитуды колебаний не существует и резонансного режима движения системы не будет.

Для случая значение максимальной амплитуды определяется как:

.

Теперь несколько преобразуем выражение, определяющее амплитуду установившихся вынужденных колебаний системы с вязким трением:

,

где – статическое перемещение системы под действием максимального значения вынуждающей силы;

– коэффициент динамичности.

Графическая зависимость имеет хорошо знакомый вам вид:

Из графика видно, что, чем больше коэффициент сопротивления линейного трения, тем меньше коэффициент динамичности системы и тем в большей степени его максимум смещается влево от значения . Из полученной выше зависимости можно легко определить значение коэффициента динамичности на резонансных режимах:

.

Эта величина называется в теории колебаний добротностью системы. Чем выше добротность системы, тем острее резонансный пик.

Сдвиг фазы перемещения системы по отношению к изменению вынуждающей силы определяется следующим образом:

График этой зависимости имеет вид:

Рассмотрим теперь весьма специфическое поведение механической системы в том случае, когда частота возмущающей силы близка к частоте свободных колебаний системы, то есть при , где . При этом условии и .

Теперь опять вернемся к общему решению неоднородного дифференциального уравнения, которое при принятых условиях будет иметь вид:

или:

.

В этом случае при нулевых начальных условиях движения системы постоянные интегрирования:

и .

Тогда запишем общее уравнение с учетом найденных значений постоянных интегрирования и, кроме того, добавим к нему и вычтем один и тот же член :

или

Зная, что , преобразуем зависимость к виду:

Первый член полученной зависимости определяет незатухающие вынужденные колебания; второй – затухающие колебания, называемые в теории колебаний биением, с амплитудой .

Третий член весьма мал, и его влияние на формирование закона движения системы незначительно. Поэтому им можно пренебречь. В итоге графическое изображение закона движения системы будет следующим:

Анализ полученного решения показывает, что при и .

В рассмотренном только что примере мы познакомились с затухающими биениями. Однако, существуют такие режимы, при которых могут возникать незатухающие биения. Так, если на систему будут воздействовать две возмущающие силы с частотами и , очень близкими друг к другу, то в системе возникают незатухающие биения. Докажем это.

Так как мы рассматриваем линейную систему, то, используя принцип суперпозиции, установившиеся колебания системы можно определить в виде суммы двух гармоник:

,

где – амплитуда, частота и фаза колебаний системы, вызываемые первой вынуждающей силой;

– амплитуда, частота и фаза колебаний системы, вызываемые второй вынуждающей силой.

Введем обозначения: и . В этом случае:

.

После ряда тригонометрических преобразований получим следующий закон движения системы:

где

Полученные зависимости показывают, что амплитуда установившихся колебаний изменяется в пределах от до :

Реакция системы с вязким трением на произвольный закон изменения вынуждающей силы

В этом случае уравнение движения системы можно записать в следующем виде:

.

Прежде чем решать поставленную задачу, определим сначала, как и для консервативной системы, реакцию системы на бесконечно большой импульс силы:

Очевидно, что в момент окончания действия импульса силы система приобретет скорость , где – обобщенная масса системы.

Смещение системы за время действия импульса силы при также будет стремиться к нулю, поэтому можно считать, что при .

Таким образом, по окончании действия импульса силы система начнет совершать свободные колебания по закону:

,

где .

При определенных выше начальных условиях нетрудно найти постоянные интегрирования: поэтому .

Введем, как и раньше, функцию которую будем называть реакцией системы с «линейным» трением на единичный импульс.

Т огда для произвольно изменяющейся силы по аналогии с консервативной системой внешнюю силу можно представить в виде суммы следующих один за другим бесконечно малых импульсов .

Каждый из этих импульсов будет вызывать смещение системы:

.

Тогда на основе принципа суперпозиции смещение системы от положения равновесия в некоторый момент времени определится суммой бесконечно малых перемещений:

или

Следует отметить, что полученное решение справедливо при нулевых начальных условиях движения системы. В противном случае, полученное решение является частным решением неоднородного дифференциального уравнения и для получения общего решения к нему необходимо добавить общее решение однородного дифференциального уравнения.

Полученную зависимость можно преобразовать к иному виду, если ввести новую переменную :

Реакция системы с вязким трением на периодически изменяющуюся вынуждающую силу

Пусть некоторая вынуждающая сила имеет период T. Найдем реакцию системы на воздействие такой силы.

Эта задача так же, как и для консервативной системы, может быть решена двумя способами.

Первый способ основан на разложении периодической функции в ряд Фурье. В результате использования принципа суперпозиции суммарное движение системы можно представить в виде суммы гармоник, вызываемых каждой гармоникой разложения силы :

где .

Во втором случае рассмотрим движение системы в течение одного периода, полагая, что период движения системы равен периоду вынуждающей силы, то есть . В этом случае общее решение неоднородного дифференциального уравнения может быть записано следующим образом:

где и играют роль постоянных интегрирования и подлежат определению.

Поступая точно так же, как мы это делали в случае колебаний консервативной системы, получим решение нашей задачи в виде:

где

Реакция системы с нелинейным трением на гармонически изменяющуюся вынуждающую силу

В случае появления в системе нелинейного трения решение задачи в общем виде, то есть при произвольном изменении вынуждающей силы, невозможно. Однако, в случае гармонического изменения силы приближенное решение этой задачи возможно. Для этого воспользуемся известным вам методом гармонического баланса.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций