Лекция_6 (1048778), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Запишем уравнение движения системы:

Заменим нелинейную зависимость некоторой эквивалентной в энергетическом смысле линейной зависимостью , где величину коэффициента будем искать из условия равенства работ, совершаемых той и другой силами за один период колебаний, то есть:

Далее примем допущение о том, что установившиеся вынужденные колебания системы подчиняются гармоническому закону, то есть:

.

Выберем за начало отсчета времени такой момент, когда и ожидаемый закон движения имел бы вид .

Подставим принятое решение в выражение, определяющее равенство работ двух сил трения:

или, введя новую переменную , получаем , и, учитывая, что , получим:

или

откуда несложно определить :

Определение коэффициент вязкости эквивалентного линейного трения не является самоцелью. Поскольку нас интересует амплитуда и частота вынужденных колебаний, то и займемся этой задачей.

С частотой колебаний все просто, поскольку в принятом допущении мы положили, что частота колебаний равна частоте вынуждающей силы.

Для определения амплитуды вынужденных колебаний запишем:

Очевидно, что в этом случае можно записать:

Решая это уравнение относительно величины A, определяем амплитуду вынужденных колебаний системы с нелинейным трением и гармонически изменяющейся вынуждающей силой.

В качестве примера рассмотрим вынужденные колебания системы с сухим трением. В этом случае движение системы в течение первой половины периода будет происходить с отрицательной скоростью. Поэтому:

Для определения амплитуды колебаний запишем:

откуда решение этого уравнения относительно A дает следующую зависимость:

Вынужденные колебания консервативной системы при нелинейной восстанавливающей силе и гармонически изменяющейся вынуждающей силе

Сделаем сразу оговорку, что только очень немногие нелинейные зависимости восстанавливающей силы позволяют получить аналитические решения, да и то в приближенном виде. Чаще всего идут одним из двух возможных путей: ищут приближенное решение, используя тот или иной метод линеаризации системы, или осуществляют численное решение с помощью ЭВМ.

Решим поставленную задачу, используя наиболее распространенный метод – метод гармонического баланса. Запишем уравнение движения системы:

и будем искать его приближенное решение в виде гармонической функции

.

Очевидно, это решение исходного дифференциального уравнения весьма приближенно и полностью не удовлетворяет ему. Кроме того, как показывают многочисленные экспериментальные исследования, полное решение должно содержать высшие гармоники с частотой а также и низшие гармоники с частотами . Колебания с высшими гармониками называются супергармоническими, с низшими гармониками – субгармоническими, а колебания с частотой возмущающей силы – основными. Рассмотрим сначала основные колебания системы.

Основные колебания

Для исследования основных колебаний нелинейной консервативной системы, используя метод гармонической линеаризации, представим восстанавливающую силу в виде линейной функции. Полагая характеристику симметричной, запишем:

где

Теперь потребуем, чтобы принятое решение удовлетворяло исходное дифференциальное уравнение при максимальном отклонении системы от положения равновесия:

Из полученного выражения определяется амплитуда вынужденных колебаний A.

Исследуем в качестве примера поведение системы с кубической зависимостью восстанавливающей силы.

В этом случае коэффициент

и уравнение для определения амплитуды вынужденных колебаний имеет вид:

Решение этого уравнения можно найти аналитически, но более наглядно графическое решение. Преобразуем полученное уравнение:

Теперь построим графики левой и правой частей уравнения. При этом рассмотрим три случая.

В первом случае уравнение может иметь один действительный корень и прямая пересечет кубическую параболу только один раз. Во втором случае уравнение может иметь два действительных корня. Тогда прямая будет иметь две общие точки с параболой. И, наконец, в третьем случае, если уравнение имеет три действительных корня, прямая пересечет параболу в трех точках. Как показывают исследования, первый случай возникает при малых значениях частоты возбуждающей силы, а именно при , где – частота свободных колебаний нелинейной системы. Второй вариант решения уравнения возможен при равенстве частот . Третий случай возникает, когда частота вынуждающей силы больше частоты свободных колебаний .

Рассмотрим теперь зависимость амплитуды вынужденных колебаний системы от частоты вынуждающей силы, то есть построим амплитудно-частотную характеристику:

Система с жесткой характеристикой Система с мягкой характеристикой

Пунктиром показана скелетная кривая, то есть зависимость . Зависимость при ничего особенного не представляет, поскольку каждому значению частоты соответствует одно вполне определенное значение амплитуды.

Гораздо больший интерес представляют режимы колебаний при . В этом случае каждому значению частоты вынуждающей силы p соответствуют три значения амплитуды колебаний:

Как показывают исследования, из этих трех режимов устойчивы только первые два, а третий режим неустойчив. То есть, иными словами, физически осуществимы только первые два режима. На амплитудно-частотной характеристике этим режимам соответствуют кривые I и II. Кривая III соответствует физически нереализуемому режиму колебаний системы.

При постепенном увеличении частоты p от нулевого значения амплитуда вынужденных колебаний A будет увеличиваться в соответствии с кривой I. Если при некоторой частоте на систему воздействует некоторое мгновенное возмущение, то произойдет «срыв» амплитуды с кривой I на кривую II. Дальнейшее увеличение частоты p приведет к изменению амплитуды по кривой II. Если при частоте начать уменьшать частоту возмущающей силы, то амплитуда будет изменяться в соответствии с кривой II до частоты . При этой частоте происходит вновь «срыв» амплитуды на кривую Ш.

Появление в системе диссипативной силы приводит к тому, что при некоторой частоте ветви кривых смыкаются. А в остальном поведение системы остается неизменным:

В качестве примера рассмотрим еще одну нелинейную зависимость:

Характеристики

Список файлов лекций