Лекция_11 (1048787)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 11

Колебания стержней с распределенной массой

Общие закономерности упругих колебаний, установленные нами для систем с конечным числом степеней свободы, остаются справедливыми и для систем с распределенной массой. Однако, так как системы с распределенной массой обладают бесконечным числом степеней свободы, бесконечно и число их собственных форм. Если все эти формы и частоты определены, то решение задачи о вынужденных колебаниях может быть получено методом главных координат. При этом перемещения отдельных точек представляются уже не конечными суммами, а бесконечными рядами. Эти ряды, как правило, хорошо сходятся, и могут быть успешно использованы для расчетов. Поэтому основное внимание в дальнейшем мы будем уделять методам определения форм и частот собственных колебаний стержней.

Продольные и крутильные колебания стержней, поперечные колебания струн

Дифференциальные уравнения движения.

Рассмотрим свободный от нагрузок призматический стержень постоянного сечения и длиной l.

Выделим бесконечно малый элемент dz с координатой z относительно левого конца стержня. Обозначим через x продольное перемещение точки поперечного сечения с координатой z. Очевидно, . При продольных колебаниях стержня на выделенный нами бесконечно малый элемент dz действуют три силы. Сила инерции, определяемая массой этого элемента , где – плотность материала стержня, а F – площадь попереченого сечения стержня; и ускорением . Продольная сила S, являющаяся равнодействующей внутренних напряжений, возникающая в поперечном сечении с координатой z. Продольная сила S так же, как и продольное смещение сечения элемента x, является функцией двух переменных z и t. Продольная сила , возникающая в поперечном сечении с координатой ; при этом можно считать, что сила S на малом отрезке dz изменяется линейно, то есть :

Из приведенного рисунка легко записывается условие равновесного состояния бесконечно малого элемента dz:

Используя закон Гука, продольную силу S можно выразить через продольное напряжение :

,

а затем через осевую деформацию :

где E – модуль упругости первого рода.

Подставим полученную зависимость в уравнение равновесного состояния элемента dz и, после несложных преобразований, получим:

где .

В случае крутильных колебаний стержня поступим аналогичным образом. Выделим бесконечно малый элемент dz и рассмотрим его равновесие:

Обозначим угол поворота сечения стержня через x и, используя закон Гука, получим:

где – полярный момент инерции поперечного сечения, G – модуль упругости материала второго рода.

Тогда уравнение равновесного состояния бесконечно малого элемента dz можно записать следующим образом:

где – момент инерции массы единицы длины стержня, для однородного стержня .

Введя обозначение , окончательно получим:

Рассмотрим теперь поперечные колебания натянутой струны. Струну будем считать абсолютно гибкой, так что в каждом ее поперечном сечении имеется только продольная сила. Предположим также, что поперечные перемещения точек струны весьма малы и поэтому натяжение можно считать неизменяющимся в процессе движения.

Обозначим поперечные перемещения через x, и составим уравнение равновесия элемента струны dz:

Возьмем сумму проекций всех сил на вертикальную ось x:

где – масса единицы длины струны.

После несложных преобразований получим:

,

где .

Как видно из рассмотренных трех случаев, дифференциальные уравнения, описывающие продольные и крутильные колебания стержня, а также поперечные колебания натянутой струны, имеют одинаковую структуру. Уравнения такого типа называются одномерным волновым уравнением.

Поскольку структура дифференциальных уравнений одинакова, то в дальнейшем ограничимся рассмотрением решения одного из них, а именно уравнения продольных колебаний стержня. Полученные результаты могут быть полностью распространены и на другие два случая.

Определение частот и форм собственных колебаний стержней постоянного сечения

Представим решение полученного волнового уравнения в виде произведения двух функций:

Первая – – называется амплитудной функцией и определяет амплитуду колебаний поперечного сечения стержня с координатой z, вторая функция определяет закон движения этого сечения во времени.

Подставим принятое решение в исходное дифференциальное уравнение:

и преобразуем его:

.

Такая запись позволяет разделить переменные и записать два независимых дифференциальных уравнения:

,

где k – некоторая неизвестная величина.

Преобразуем полученные выражения к виду:

.

Решение таких дифференциальных уравнений нам хорошо знакомо. Займемся сначала решением первого, то есть определим амплитудную функцию.

В этом выражении произвольные постоянные и определяются уже из условия удовлетворения концевым условиям на концах стержня.

В рассматриваемом нами случае стержень имеет незакрепленные концы. Это значит, что продольная сила S на концах стержня равна нулю. Ранее мы определили эту величину как величину, пропорциональную . Следовательно, для свободных концов можно записать:

и .

Таким образом, получаем:

Очевидно, что в случае никаких колебаний стержня не будет, поэтому для получения нетривиального решения необходимо, чтобы .

Это соотношение называется частотным уравнением, из которого определяются частоты собственных форм колебаний стержня с незакрепленными концами. Решением этого уравнения будет , то есть , где .

Значение i=0 соотвествует частоте, равной нулю, что означает движение стержня как абсолютно жесткого тела в направлении оси z.

При i=1 получим частоту основной формы колебаний: В этом случае амплитуды колебаний сечений стержня подчиняются закону:

Соответственно, для i=2 и i=3 будем иметь:

То есть, иными словами, амплитуды колебаний сечений определяются их координатой относительно левого конца стержня. Графически это выглядит следующим образом:

Итак, мы разобрались, каким образом изменяются амплитуды колебаний сечений по длине стержня. Но положение самих сечений тоже изменяется со временем по закону, который мы записали следующим образом:

,

или, с учетом определенной функции :

или:

где .

Это решение соответствует i-ой частоте колебаний. Очевидно, что общее решение определится как сумма перемещений, соответствующих бесконечному числу частот собственных колебаний:

Постоянные и определяются из начальных условий движения стержня. Предположим, например, что в начальный момент времени ( ) стержень сдеформирован определенным образом, то есть, задана функция , а начальные скорости сечений имеют некоторую другую зависимость . Тогда, подставляя в выражение, определяющее решение нашего исходного уравнения, получим:

Возьмем производную по времени от исходного решения:

Для момента времени можно записать:

Если внимательно посмотреть на полученные зависимости для и , то можно отметить, что мы получили их разложением в ряд Фурье, коэффициенты которого определяются по известным зависимостям:

.

Для функции период основной гармоники (при ):

и

Для функции период основной гармоники (при ):

и

Отметим еще раз, что функции и должны быть заданы.

Таким образом, мы получили решение задачи продольных колебаний стержня с незакрепленными концами. Рассмотрим теперь как изменяется решение для других случаев закрепления стержня.

Стержень с закрепленными концами

В этом случае для отыскания постоянных интегрирования амплитудной функции

следует использовать условие неподвижности концов стержня, то есть и .

Из первого условия имеем , а из второго – .

Для получения нетривиального решения необходимо, чтобы или , где , откуда несложно определить частоты собственных колебаний: .

В результате амплитудная функция для i-ой частоты будет иметь вид:

Формы колебаний для различных значений i будут следующими:

Закон движения каждого сечения для i-ой частоты определяется так же, как и в предыдущем случае:

а общее решение:

В свою очередь, методика определения коэффициентов и остается прежней.

Стержень с одним закрепленным концом

О пять записываем выражение для амплитудной функции:

.

Для определения постоянных интегрирования и воспользуемся условиями:

и .

Из первого условия имеем . Из второго:

или

.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций