Лекция_11 (1048787), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для получения нетривиального решения необходимо потребовать:
или
, где 
,
и частоты собственных форм колебаний:
, 
.
Тогда, амплитудная функция будет иметь вид:
,
а формы колебаний будут следующими:
Общее решение исходного дифференциального уравнения будет следующим:
где коэффициенты 
и 
определяются на основе заданных функций 
и 
.
Стержень с упругим закреплением одного конца
З
апишем амплитудную функцию:
.
На левый конец стержня действует сила пружины, определяемая перемещением левого конца стержня 
, которая должна уравновешиваться напряжениями, возникающими в этом сечении, то есть:
Условие закрепления первого конца стержня 
. Таким образом:
или
.
Кроме того, из условия закрепления второго конца стержня:
,
или
.
Для получения нетривиального решения мы должны записать:
или
.
Таким образом, мы получили нелинейное уравнение относительно частоты свободных колебаний k. Его решение возможно либо численными методами, либо графически. После определения частот 
дальнейшее решение аналогично предыдущим случаям.
Следует отметить, что в случае упругого закрепления правого конца стержня граничное условие будет иметь вид
Стержень с грузом на конце
В
этом случае на правый конец стержня действует сила, вызванная инерционными свойствами тела:
Эту силу, так же, как и в предыдущем случае, уравновешивают напряжения в крайнем сечении стержня, то есть:
,
или, зная, что 
, получим:
.
Таким образом, для определения постоянных интегрирования в амплитудной функции имеем следующие граничные условия:
и 
.
В результате получаем:
, откуда 
.
или
.
После преобразований имеем:
или
.
Как видим, и в этом случае мы пришли к нелинейному уравнению.
Теперь решим несколько задач.
Задача 1.
Р
ассчитать свободные колебания стержня, сжатого приложенными к концам силами, при мгновенном снятии этих сил в момент времени t=0. При этом считать смещение поперечного сечения стержня при 
равным нулю.
Решение
Так как после снятия сил P стержень имеет свободные концы, то общее решение можно записать в виде:
Для определения коэффициентов и необходимо знать функции , . Для заданных условий можно записать:
и 
,
где 
– относительная деформация стержня.
Таким образом, можно записать 
, а коэффициенты :
Первый интеграл равен нулю, а второй – 
. Поэтому:
Задача 2.
С
тержень, жестко закрепленный по обоим концам, нагружен в середине пролета сосредоточенной силой P. Исследовать колебания, возникающие в стержне при внезапном снятии силы P.
Решение
Построим эпюру деформаций стержня при заданном приложении силы P:
Решение задачи колебаний поперечных сечений для такого случая закрепления стержня было получено нами ранее. Поэтому сразу можно записать:
где коэффициенты и определяются на основании заданных начальных функций распределения деформаций и скоростей поперечных сечений стержня 
и 
. Из условия можно записать . Для нахождения коэффициентов составим следующее уравнение:
После ряда преобразований можно получить:
Окончательно получим:
Задача 3.
С
тержень, движущийся с постоянной скоростью V вдоль оси z, ударяется об абсолютно жесткую преграду так, что в дальнейшем левое сечение остается жестко связанным с этой преградой. Найти зависимость колебаний поперечных сечений стержня.
Решение
На основании заданных условий можно составить функции начальных условий:
и 
.
Для случая колебания стержня с одним закрепленным концом можно записать:
На основании начальных условий можно сказать, что 
.
В результате:
Задача 4.
С
тержень длиной 
, летящий со скоростью V вдоль оси z, в момент времени 
ударяется о стержень такой же длины. После этого они колеблются совместно без отрыва друг от друга. Найти закон осевого усилия в месте стыка стержней.
Решение
Для заданных условий можно легко составить начальные функции:
и 
Первое условие аналогично предыдущей задаче, поэтому и
где 
Осевые нагрузки в стержне при его колебаниях:
Полагая в этом выражении 
, получим:
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
