Лекция_3 (1048772)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 3

«Сухое» трение

Как уже отмечалось ранее, характеристика сухого трения имеет вид:

Таким образом, уравнение движения системы в рассматриваемом случае имеет вид:

, где

знак плюс соответствует этапу движения, на котором скорость положительна, и знак минус для отрицательной скорости.

Записанное дифференциальное уравнение относится к нелинейным, прямых методов решения которых не существует. Поэтому воспользуемся одним из наиболее распространенных для такого рода нелинейностей методов решения – методом припасовывания. Он основан на последовательном решении ряда задач, относящихся к отдельным участкам нелинейной характеристики. При этом постоянные интегрирования определяются из условий состояния системы в момент перехода с одного участка на другой.

Итак, отклоним систему в начальный момент времени t=0 в сторону положительной обобщенной координаты на величину A и отпустим ее без начальной скорости, то есть начальными условиями будут

При таких условиях система начнет двигаться с отрицательной скоростью в сторону равновесного состояния и уравнение движения в этом случае примет вид:

.

Преобразуем это уравнение к виду:

,

где .

Остановимся на физическом значении коэффициента d. Очевидно, что величина этого коэффициента соответствует перемещению системы, при котором величина восстанавливающей силы равна силе трения. Поэтому, если начальное отклонение системы A<d, то движение системы не начнется, т.к. восстанавливающая сила будет меньше силы трения. Перемещение системы в пределах называется зоной застоя.

Таким образом, исходное дифференциальное уравнение имеет решение, отличное от нулевого, при A>d и имеет вид:

.

Используя принятые начальные условия движения системы, определим значения постоянных интегрирования:

таким образом, .

Этот закон будет справедлив до тех пор, пока . Определим момент времени, до которого справедливо это решение. Для этого найдем выражение, определяющее закон изменения обобщенной скорости:

В этом выражении k>0, A>d по условию движения. Таким образом, обобщенная скорость будет отрицательной пока sin(kt)>0. Как известно, синус меняет знак при значениях угла jπ, где j – все натуральные числа. Таким образом,

.

В этот момент времени система остановится, и ее смещение от положения равновесия будет:

,

то есть под влиянием силы «сухого» трения отклонение системы за половину периода уменьшилось на величину 2d.

После остановки система под влиянием восстанавливающей силы начнет двигаться в противоположную сторону с . Уравнение движения в этом случае будет иметь вид:

,

решение которого по аналогии с предыдущим случаем можно представить

.

Начальные условия для определения постоянных интегрирования мы уже определили, то есть при и .

После несложных преобразований можно определить:

Рассуждая аналогично предыдущему случаю, можно определить, что это решение справедливо для . В момент времени система остановится и ее смещение будет равно:

.

Процесс движения системы будет продолжаться до тех пор, пока она не остановится в зоне застоя. Как видим, за один период амплитуда уменьшается на величину 4d. Это говорит о том, что, в отличие от вязкого трения, уменьшение амплитуды происходит по закону арифметической прогрессии. Кроме того, отметим, что в этом случае частота колебаний равна частоте свободных колебаний консервативной системы. На фазовой плоскости движение системы с «сухим» трением отображается следующим образом:

Нелинейное трение

Как уже отмечалось, в некоторых случаях зависимость силы трения от обобщенной координаты может иметь нелинейный характер и быть представлена в виде показательной функции.

Приведем ее к несколько иному виду:

.

В этом случае уравнение движения системы будет иметь вид:

.

Точного решения такого рода дифференциальных уравнений не существует. Поэтому для определения параметров, характеризующих колебания системы с такой характеристикой трения, используют приближенные методы, базирующиеся на определенных допущениях.

Одним из таких методов является метод энергетического баланса.

Попробуем воспользоваться им для решения поставленной задачи. При его использовании примем следующие допущения:

1. Искомое движение близко к гармоническому;

2. Гармоническое движение происходит с постоянной частотой, близкой к собственной частоте консервативной системы;

3. Процесс характеризуется медленным изменением амплитуды.

Таким образом мы сразу за счет допущений определим один из двух параметров, характеризующих колебания системы. То есть мы будем считать, что частота колебаний системы с нелинейной характеристикой силы трения равна частоте свободных колебаний консервативной системы и неизменна с течением времени. Очевидно, это вполне приемлемое допущение, т.к. ранее мы показали, что и при линейном трении, и при «сухом» трении частота колебаний систем была близкой или равной собственной частоте системы. Поэтому осталось выявить закон изменения амплитуды во времени.

При решении задачи совместим начало отсчета времени с моментом, когда отклонение системы достигло максимума:

Рассмотрим один цикл колебаний системы. Используя первое допущение, принятое нами, запишем закон движения системы следующим образом:

, где

k – собственная частота колебаний системы;

A(t) – медленно изменяющаяся функция времени.

В этом случае закон изменения обобщенной скорости во времени будет следующим:

.

Так как было принято допущение о медленном изменении амплитуды, можно принять и тогда .

Подставим эту зависимость в выражение, определяющее силу трения.

.

Теперь найдем работу, совершаемую силой трения за один период:

, или

Опять-таки, опираясь на принятое допущение о медленном изменении амплитуды, при определении работы сил трения можно считать A=const. В этом случае:

.

Знак модуля у синуса снят потому, что в первой координатной четверти значение его всегда положительно.

Для упрощения дальнейшего решения введем новую переменную , откуда верхний предел интегрирования вычисляется как . Таким образом, выражение для работы принимает вид:

.

Интеграл, входящий в это выражение, обозначим буквой I. Это интеграл Эйлера второго рода, который можно вычислить с помощью таблицы в зависимости от показателя m:

m	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
I	1,00	0,875	π/4	0,718	2/3	0,624	0,589

Окончательно запишем:

.

Очевидно, что работа, производимая силой трения, должна отражаться на изменении энергии системы, то есть за один период энергия системы должна уменьшиться некоторую величину.

Попробуем ее определить. Начало координат выберем таким образом, что в начале цикла и в конце его система имеет максимальное отклонение от положения равновесия и неподвижна.

Таким образом, ее полная энергия определяется в этих положениях только потенциальной энергией. Определим потерю энергии за один период следующим образом:

, где

– потенциальная энергия системы в начале цикла,

– потенциальная энергия системы в конце цикла.

Подставим эти зависимости в первое выражение:

.

Используя принятое допущение о медленном изменении амплитуды, будем считать, что . Разность обозначим через ΔА. В этом случае выражение изменения потенциальной энергии системы можно записать следующим образом:

.

Приравняем работу силы трения за период времени Т к изменению энергии системы за тот же отрезок времени:

, или

.

Полученное выражение называется уравнением в конечных разностях. Оно определяет изменение амплитуды за один цикл, то есть определяет вид верхней огибающей амплитуд затухающих колебаний. Будем считать, что эта зависимость непрерывна и дифференцируема. Используя рисунок, запишем следующее соотношение:

Подставим эту зависимость в уравнение в конечных разностях:

Таким образом, получаем дифференциальное уравнение относительно амплитуды колебаний системы. При интегрировании этого уравнения различают два случая: m=1 и m≠1.

1. m=1. По существу, это случай линейного трения.

В соответствии с таблицей для I(m) для рассматриваемого случая равно π/4.

Поэтому:

, или

, откуда

.

Точно такой же результат был получен нами и при точном решении задачи колебаний системы с вязким трением. Следовательно, несмотря на принятые допущения, полученному выше решению можно доверять.

1. m≠1.

В этом случае, несмотря на нелинейную зависимость, можно найти аналитическое решение исходного дифференциального уравнения, которое будет выглядеть следующим образом:

.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций