Лекция_3 (1048772), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Проверим полученное решение для случая сухого трения. В этом случае m=0 и:

.

Подставим m=0 в зависимость, определяющую функцию A=f(t):

.

Посмотрим, насколько изменится амплитуда колебаний за один период. Для этого положим :

.

Как видно, и в этом случае получили полное совпадение с точным решением задачи.

Теперь оценим процесс затухания колебаний системы с нелинейным трением. Как и прежде, в качестве критерия будем использовать логарифмический декремент затухания, величина которого определяется следующим образом:

.

При малых значениях ΔА, что соответствует принятому нами допущению о медленном изменении амплитуды, последнее выражение можно привести к виду:

.

Подставляя его в выражение, определяющее ΔА, получим:

.

Из этой зависимости видно, что в общем случае величина логарифмического декремента является функцией амплитуды колебаний системы:

Теперь попробуем решить несколько задач.

Задача 1.

Н а абсолютно жестком стержне длиной 2l подвешен груз массой m. К середине стержня прикреплены две пружинки жесткостью с каждая. Груз находится в сосуде с вязкой жидкостью. Определить коэффициент вязкого трения системы, если период затухающих колебаний Т=1 с. Масса груза m=10 кг, длина l=15 см, диаметр пружины D=2 см, диаметр поперечного сечения витков d=2 мм, модуль упругости пружины G=8∙10⁶ Н/см², число витков i=6.

Решение

В общем случае уравнение движения системы имеет вид:

.

Величину коэффициента вязкого трения системы b можно определить из зависимости:

.

Параметр n можно определить из условия, что период колебаний системы T=1 c:

.

Таким образом, для решения задачи необходимо определить обобщенную массу системы a и собственную частоту k. Поэтому составим дифференциальное уравнение движения системы. В данном случае логично воспользоваться квазистатическим методом.

, или

.

Откуда:

, где .

.

.

.

Задача 2.

Диск жестко закреплен на валу и удерживается от вращения пружиной, закрепленной одним концом на диске, а другим – на опоре вала. Считая момент инерции диска J и зазоры между диском и поверхностями трения м алыми, составить дифференциальное уравнение малых колебаний диска. Принять, что в момент времени . Определить закон движения системы и ее период колебаний. При решении задачи считать, что пружина при деформации создает момент, пропорциональный углу поворота диска , и продольную силу, также пропорциональную углу поворота диска .

Решение

В данном случае для составления уравнения движения системы проще всего воспользоваться квазистатическим методом. Запишем сумму моментов, действующих на систему:

.

Величину момента трения легко можно определить через нормальную силу:

, где

μ – коэффициент трения, N – нормальная сила, R – радиус трения.

По условию задачи нормальная сила прямо пропорциональна углу поворота диска, поэтому:

, где .

Таким образом, получили, что момент трения является функцией двух переменных: угла поворота φ и угловой скорости . Так как в системе присутствует «сухое» трение, то она явно нелинейна. Для решения дифференциального уравнения логично воспользоваться методом припасовывания.

По условию задачи в начальный момент времени диск был отклонен на величину и отпущен с начальной скоростью . После восстановления диск под воздействием восстанавливающей силы начнет двигаться в сторону равновесного положения с отрицательной скоростью, то есть момент трения должен быть положительным. Поэтому уравнение движения будет иметь следующий вид:

, или .

Решение такого уравнения нам хорошо известно и имеет вид:

,

где , С₁ и C₂ ­– постоянные интегрирования.

С учетом заданных начальных условий С₁=0, и .

При переходе через равновесное состояние ( ) изменяется знак обобщенной координаты и она становится отрицательной, что отражается и на знаке момента трения. Однако направление его действия осталось прежним: он направлен в сторону, противоположную скорости движения системы. Очевидно, что это обстоятельство необходимо учесть в дифференциальном уравнении движения системы:

или .

Решением этого уравнения будет функция:

,

где , В₁ и В₂ ­– постоянные интегрирования, которые можно определить из начального условия движения системы. То есть будем считать, что начало момента времени на данном этапе . Начальная координата , а начальная скорость движения на этом этапе может быть определена из предыдущего этапа:

;

.

Из этих начальных условий имеем: В₂=0, .

В результате:

При достижении крайнего положения в отрицательной области значений обобщенной координаты, система остановится и начнет движение в противоположную сторону с положительной скоростью. Время достижения этого крайнего положения легко определяется из вышесказанного:

.

После прохождения этого крайнего положения наступит третий этап движения системы. На этом этапе изменяет направление скорость движения, а, следовательно, и направление момента трения, что необходимо отразить это в дифференциальном уравнении:

или .

Решение этого дифференциального уравнения записывается в виде:

Для определения постоянных интегрирования D₁ и D₂ опять примем, что в момент начала третьего этапа t=0. Кроме того, из решения на предыдущем этапе можно определить начальные значения для этого этапа обобщенных координат и скорости. Очевидно, что:

Используя эти условия, получим:

тогда:

В момент времени t₃ система пройдет через положение равновесия. Величину t₃ можно легко определить:

.

После прохождения положения равновесия наступает четвертый этап движения системы, который характеризуется положительными значениями обобщенной координаты и обобщенной скорости. Это должно отражаться и на дифференциальном уравнении:

или ,

решение которого можно представить в виде:

.

Для определения постоянных интегрирования Е₁ и Е₂ воспользуемся состоянием системы в конце предыдущего этапа, а именно:

Принимая в начале четвертого этапа время t=0, получим:

В результате:

Четвертый этап закончится, когда система остановится. Время остановки системы на четвертом этапе легко определяется:

При этом отклонение системы от положения равновесия составит:

.

Отсюда делаем вывод, что за один период амплитуда колебаний рассматриваемой системы уменьшится на величину

.

Очевидно, легко можно найти и период колебаний такой системы. Для этого просуммируем все времена прохождения системы каждого из четырех этапов:

.

В заключение решения задачи изобразим движение системы на фазовой плоскости. Для этого у нас все есть:

Н ачало I-го этапа движения: .

Начало II-го этапа движения: .

Начало III-го этапа движения: .

Начало IV-го этапа движения: .

Конец IV-го этапа движения: .

Характеристики

Список файлов лекций