Лекция_5 (1048776)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 5

Вынужденные колебания линейных систем с одной степенью свободы

До сих пор мы рассматривали механические системы, движение которых происходило под действием двух сил: восстанавливающей и диссипативной. Эти силы не только влияют на движение системы, но и управляют этим движением, поскольку они сами являются функциями обобщенных координат и скоростей.

Другую важную категорию образуют вынуждающие силы, то есть силы внешнего происхождения и не зависящие от обобщенных координат и скоростей системы. Колебания, возникающие при действии на систему вынуждающей силы, называются вынужденными.

Для простоты исследования рассмотрим сначала вынужденные колебания консервативной системы. Дифференциальное уравнение ее движения в этом случае будет иметь вид:

или:

.

В теории колебаний различают два способа возбуждения ывнужденных колебаний: кинематический и силовой.

П ри силовом способе на механическую систему воздействует какая-либо внешняя сила, изменяющаяся по заданному временному закону. Так, для маятника такое движение будет описываться следующим дифференциальным уравнением:

или, при условии малых колебаний системы:

.

При кинематическом возбуждении колебания системы возникают в результате изменения по заданному закону положения одной из точек системы. Так, если в рассмотренном только что примере несколько изменить условия закрепления верхнего конца маятника, то получим случай кинематического возбуждения колебаний.

Т еперь точка подвеса маятника перемещается по горизонтали по некоторому закону . Составим уравнение движения такого маятника. Воспользуемся для этого уравнением Лагранжа II-го рода. При малых колебаниях скорость маятника будет складываться из двух слагаемых: скорости перемещения точки подвеса маятника и скорости, возникающей при качении относительно точки подвеса . Таким образом, кинетическая энергия системы будет равна:

.

Потенциальная энергия системы определяется в этом случае зависимостью:

.

Таким образом, имеем:

В результате получаем:

.

Как видно, при кинематическом способе возбуждения структура дифференциального уравнения полностью совпадает со структурой дифференциального уравнения при силовом способе возбуждения. В рассмотренном случае кинематическое возбуждение привело к появлению инерционной силы , играющей роль возбуждающей.

Р ассмотрим еще один случай кинематического возбуждения вынужденных колебаний. Пусть профиль дороги задан в виде синусоиды и система движется по нему с постоянной скоростью V. Тогда, очевидно, и .

Деформация упругого элемента происходит под влиянием изменения профиля дороги и перемещения массы. Поэтому можно записать:

или

.

И, в этом случае, как видно, возникает некоторая вынуждающая сила , изменяющаяся по гармоническому закону.

Таким образом, и для силового, и для кинематического способов возмущения структура дифференциального уравнения вынужденных колебаний системы остается неизменной. Решение же этого уравнения во многом определяется зависимостью .

Гармонический закон изменения вынуждающей силы

Наиболее простым случаем является случай гармонического закона изменения вынуждающей силы

,

где Н – амплитуда возмущающей силы;

р – частота возмущающей силы.

В этом случае дифференциальное уравнение будет иметь вид:

,

где .

Решение такого дифференциального уравнения распадается на два случая: частота свободных колебаний системы k не совпадает с частотой вынуждающей силы ( ) и случай совпадения этих частот ( ).

1. Случай несовпадения частот k и p.

В этом случае общее решение неоднородного дифференциального уравнения записывается как сумма двух решений:

,

где – общее решение однородного дифференциального уравнения ;

– частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Общее решение однородного дифференциального уравнения нам уже знакомо:

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения можно принять в следующем виде:

.

Для проверки правильности принятого решения подставим его в исходное дифференциальное уравнение:

или

.

Таким образом общее решение неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид:

,

где постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяются из начальных условий движения системы. То есть, для момента времени t=0 должны быть известны начальное отклонение системы от положения равновесия q₀ и начальная скорость .

В результате несложных и хорошо Вам известных преобразований можно получить, что:

и .

Таким образом:

.

Первые два слагаемых полученного решения соответствуют свободным колебаниям системы с собственной частотой k. Если принять, что при и , то такие колебания не возбудятся.

Третье слагаемое – гармоническое колебание с частотой, равной частоте свободных колебаний системы k, но амплитудой, не зависящей от начальных условий. Эти колебания всегда будут возникать при наличии вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону. Их обычно принято называть сопровождающими колебаниями.

Четвертое слагаемое представляет собой чисто вынужденные колебания системы.

Таким образом, вынужденные колебания линейной консервативной системы при гармоническом законе изменения вынуждающей силы представляются линейной комбинацией трех гармонических колебаний: свободных, сопровождающих и чисто вынужденных.

Однако, как показывает практика исследования данных колебаний, присутствие первых трех гармоник можно наблюдать лишь в самом начале процесса. Так как в любой системе имеется неучтенное трение (хотя бы внутреннее), которое приводит к постепенному затуханию колебаний с частотой k, то по истечении некоторого времени колебания становятся практически моногармоническими с частотой p. То есть, установившиеся вынужденные колебания системы можно описывать зависимостью

.

Амплитуда этих колебаний определяется выражением:

.

Эту зависимость в теории колебаний можно записать в следующем виде:

,

где – коэффициент динамичности;

– перемещение системы, вызываемое статическим приложением силы, равной амплитуде вынуждающей силы H.

Коэффициент динамичности показывает, во сколько раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний больше статического перемещения . Как видно из зависимости, величина коэффициента динамичности является функцией отношения частот . Графическое изображение этой зависимости называется резонансной кривой. При график этой зависимости имеет вид:

При значениях коэффициент динамичности становится меньшим единицы. Это значит, что в этой области деформация системы при действии на нее вынуждающей силы меньше, чем при статическом нагружении системы силой H. Это обстоятельство часто используют в технике при создании систем виброзащиты. Для уменьшения амплитуды вынужденных колебаний уменьшают коэффициент обобщенной жесткости. При этом собственная частота системы k уменьшается, что приводит к увеличению отношения .

В заключение отметим, что анализ зависимости показывает, что для знак отклонения величины q будет совпадать со знаком вынуждающей силы Q, то есть сила и колебания системы будут находиться в одной фазе. При знак силы Q и знак отклонения системы q будут противоположны, что говорит об их противофазном изменении.

В некоторых системах амплитуда вынуждающей силы не является постоянной величиной, а зависит от частоты возмущающей силы p. В качестве примера такой системы рассмотрим работу электродвигателя с неуравновешенным ротором.

А мплитуда вертикальной силы, передаваемой на фундамент, определяется частотой вращения неуравновешенного ротора:

,

где r – эксцентриситет центра масс ротора. Тогда закон изменения вертикальной силы:

Обозначим произведение . Тогда амплитуда колебаний системы:

.

Резонансная кривая такой системы будет иметь несколько отличный вид по сравнению с резонансной кривой, построенной при :

В данном случае при неограниченном возрастании отношения амплитуда вынужденных колебаний стремится не к нулю, а к отношению .

1. Случай равенства частот p и k.

В этом случае теряют смысл третье и четвертое слагаемые общего решения неоднородного дифференциального уравнения, которые соответствуют сопровождающим и чисто вынужденным колебаниям системы. Рассмотрим эти слагаемые при условии :

Такого рода неопределенности раскрываются по правилу Лопиталя, в соответствии с которым отношение заменяется пределом при отношения производных по p от числителя и знаменателя:

Таким образом, общее решение будет иметь вид:

.

В полученное решение вошел непериодический член , в коэффициент которого непосредственно входит время t. Такие члены называются вековыми или резонансными. С течением времени этот член безгранично возрастает, что отображается графически. Режимы, при которых p=k, называются резонансными.

Реакция консервативной системы на действие импульса силы

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций