Лекция_5 (1048776), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пусть на неподвижную, находящуюся в состоянии равновесия, консервативную систему действует бесконечно большой импульс силы, который, в соответствии с теоретической механикой, определяется следующим образом:

.

Тогда, в соответствии с теоремой о движении центра масс при действии ударных сил по окончании действия импульса силы система приобретет скорость , где а – обобщенная масса системы.

Смещение груза за время действия импульса при также будет стремиться к нулю. Поэтому можно считать, что по окончании действия импульса силы в момент времени система будет иметь смешение, равное нулю ( ), и скорость . В дальнейшем, при система будет совершать свободные колебания, закон которых хорошо известен:

,

где .

Принимая во внимание определенные только что начальные условия движения системы, найдем постоянные интегрирования:

Таким образом, .

Введем обозначения для описания закона движения консервативной системы под действием единичного импульса:

а окончательно получим:

Реакция на действие силы, изменяющейся по периодическому закону

Предварительное замечание. Так как мы рассматриваем линейные механические системы, то для них справедлив принцип суперпозиции. Суть его заключается в том, что перемещение системы, вызываемое несколькими нагрузками, равно сумме перемещений, вызванных каждой нагрузкой в отдельности.

Основываясь на этом принципе, попробуем решить нашу задачу. Пусть к системе приложена некоторая сила :

Определим закон движения системы, предполагая, что в начальный момент времени она была неподвижна, то есть и .

Представим внешнюю силу в виде суммы следующих один за другим бесконечно малых импульсов:

.

Каждый такой бесконечно малый импульс будет вызывать смещение системы .

Тогда смещение от положения равновесия в некоторый момент времени t определяется суммой перемещений от бесконечно малых импульсов:

или, раскрыв выражение для определения реакции на единичный импульс:

Полученная зависимость носит название интеграла Дюамеля.

Более удобной считается несколько иная форма записи этого интеграла. Введем новую переменную , тогда

Тогда пределы интегрирования будут следующими:

нижний

верхний

Таким образом, получим:

или

.

Рассмотрим несколько примеров.

П усть к системе внезапно приложена постоянная сила . Решение получим, используя интеграл Дюамеля:

Теперь пусть внешняя сила линейно зависит от времени: , где – коэффициент пропорциональности. В этом случае интеграл Дюамеля будет иметь вид:

Интегрируя это выражение, получим:

Рассмотрим еще один пример, когда на систему действует кратковременная сила постоянной величины. Очевидно, что в этом случае не обойтись без метода припасовывания. Рассмотрим два этапа движения системы: на первом этапе система движется под действием силы и , на втором этапе система совершает свободные колебания ( ).

Этап 1.

Закон движения для такой внешней силы мы уже получили:

,

.

Очевидно, что в момент времени система будет иметь следующие параметры состояния: .

Эти значения обобщенной координаты и обобщенной скорости являются начальными условиями движения системы на втором этапе.

Этап 2.

Закон движения консервативной системы без воздействия на нее внешних сил нам хорошо знаком:

или, с учетом начальных условий:

Периодический закон изменения возмущающей силы

Пусть возмущающая сила, действующая на консервативную систему с одной степенью свободы, изменяется по некоторому произвольному, но периодическому, закону с периодом :

В этом случае вынужденные установившиеся колебания могут быть исследованы двумя способами:

Первый из них основан на разложении функции a ряд Фурье:

Коэффициенты разложения в ряд Фурье определяются по известным вам зависимостям:

В этом случае дифференциальное уравнение движения системы будет иметь вид:

.

При решении этого уравнения опять будем иметь в виду, что рассматриваемая система линейна и к ней применим принцип суперпозиции. То есть общее перемещение системы равно сумме перемещений, вызванных каждой гармоникой, входящей в разложение возмущающей силы :

Следует отметить, что при выводе общей зависимости перемещения системы использовалась только гармоника установившихся вынужденных колебаний системы.

Анализ полученного решения показывает, что амплитуда вынужденных колебаний при периодическом законе изменения вынуждающей силы стремится к бесконечности при обращении в ноль знаменателя любого члена разложения в ряд Фурье, то есть при , где .

Таким образом, резонанс будет возникать всякий раз, когда частота любой гармоники совпадает с частотой собственных колебаний системы:

.

Рассмотренный только что способ решения задачи вынужденных колебаний системы при периодическом законе изменения возмущающей силы удобен для выявления условий возникновения резонанса. Для определения же закона движения системы этот способ не очень удобен, так как требует вычисления бесконечных рядов, которые не всегда достаточно быстро могут сходиться. Поэтому для определения закона движения механической системы рекомендуется другой способ решения задачи.

При решении задачи по второму способу предполагают, что период движения системы равен периоду изменения возмущающей силы , то есть

Рассмотрим движение системы в течение одного периода. Решение неоднородного дифференциального уравнения представим, как и прежде, в виде суммы двух решений: общего решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения, которое можно записать в форме интеграла Дюамеля:

Только в отличие от решения подобной задачи при гармоническом законе изменения возмущающей силы параметры и являются неизвестными величинами, которые и необходимо определить. Для этого используем условие периодичности движения системы.

Используя записанное решение, найдем зависимость, определяющую закон изменения скорости системы:

Для нахождения производной от последнего слагаемого воспользуемся правилом Лейбница, позволяющим проводить дифференцирование по параметру:

.

Таким образом:

поэтому:

Теперь положим, что .

На основании принятого допущения о периодичности закона движения системы можно записать:

.

Кроме того, учитывая тригонометрические соотношения:

получим, что:

Введем обозначения:

В результате имеем:

Решая эту систему относительно двух неизвестных величин, найдем:

Подставив эти зависимости в исходное решение неоднородного дифференциального уравнения, окончательно получим:

В качестве примера рассмотрим колебания консервативной системы под действием периодической силы, изменяющейся по закону «прямоугольного синуса»:

Аналитически эта функция записывается следующим образом:

Решение по первому способу.

Так как функция нечетная, то, в соответствии с правилами, которые мы записали ранее, коэффициенты разложения функции в ряд Фурье:

При этих условиях решение будет иметь вид:

Очевидно, что при частоте возмущающей силы система будет входить в резонанс.

Второй способ. В соответствии с ним найдем сначала значения входящих в решение коэффициентов и :

После этого легко находится решение:

Или, после ряда преобразований:

Характеристики

Список файлов лекций