Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В этом случае предпочтительнее параллельная или каскадная форма. 10.4.3. Кв ... К аитоваиие результатов арифметических операций д го умножения параметра состояния !> на коэфРезультат каж о фициент должен 6 ф н ыть усечен или округлен. При выполнении каждой итерация азн р р остного уравнения эта операция над произведениями ппиВО ит к о р д шибкам в различных узлах системы. Для анализа влияния этой о шибки, аналогичного эффекту квантования на входе, в разных узлах фильтра вводится белый шум. Поскольк д в различных узлах системы, средняя мощность кольку шума на выходе будет зависеть от структуры фильтра.
Существуют четыре основные формы реализации передаточной функции: 1) прямая; ская (меньшее число элементов задержки); 2) прямая каноническа 3) параллельная (прямая и каноническая). 4) каск ) каскадная (прямая или каноническая). / т делах ассч Для каждой из этих четырех структур в последующ р итывается среднее значение мощнос у у их подразходе, связанного с квант а ости шума на выоперации. ов нием результатов арифметических 10.4.8.1.
Прямая форма У оная модель прямой формы построения ьильт а !!у ия фильтра с иуля, содеРжащая источники шума, подключенные к Р м Узлам фильтра изображена на фи источники подключены не а на иг... се шумовые можно объе ин лючены непосредственно к сумматору поэтом их д ить в один шумовои источник, соединенный с с мтами;. аким образом, передаточная функция от шумового источника до выхода состоит только из полюсов дит че ез н ли (о , тогда как сигнал прохо-' ми;) .
Реднюю р э нули (они описываются коэффициентами а,! С синюю ' Па раметрами состояния называются цифрового фильтра. я временные выборки на выходах узлов гллвл 1о 182 об„,(лТ) (10.45) (10.46) и=О (10.47) евб (пТ) Фиг. 10.10. 10.4.З.2.
Каноническая форма и в:.а ~вых (~) ~11( ) В (г) В (г) (10.44) Л -умнажитела Фиг. 10.9. Шумовая модель для прямой формы цифрового фильтра. мощность шума на выходе фильтра можчо вычислить следующим образом. Пусть передаточная функция фильтра описывается формулой А (г) и(')= В(,) Ф где А(~) определяет нули, а В(~) — .полюсы. В предположении, что шум введенного источника представляет собой стационарный в гчироком смысле случайный процесс с нулевым средни~м:11 — 3, 5 — 11], спектральная плотность мощности шума на выходе будет ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ 183 где 1/В(я) ' — 'эффективная передаточная функция только для шуМа, а ЗИ(г) —, ИЕКтРаЛЬНаЯ ПЛОтНОСтЬ МОЩНОСты ИСтОЧНИКа ШУМа, подключенного к сумматору.
Средняя мощность шума на выходе Определяется среднеквадратическим значением шумовой последовательности, равным среднему значению автокорреляционной функции в начале координат. Лвтокорреляционная функция е„, (пТ) имеет вид Я, „(г) = ~ ', е, (пТ) е,„„[(п — г) Т1. и 0 В начале координат, где г=0, Я „(О) =~ , 'е,„„(пТ) е,„„(пТ).
токорреляционная функция равна преобразованию Фурье от функции спектральной плотности мощности, поэтому среднее значение автокорреляционной функции в начале координат равно среднему значению энергетического спектра, т. е. ПФ Яв . (г) — ~.. (г). Я,„„(0) . 5,„„(г) Таким образом, согласно формулам (10.45) и (10.47), средняя мощность шума на выходе может быть вычислена по формуле оввы„=(1+ Ф+ М) ' . У вЂ” ~ — — (10.48) Ев С' 1 Г 1 Ф Ыг 12 (2л!); (-~) В (г) ~ В (г) г ° где (1+И+М)ЕЦ12 — средняя мощность шума, вызванного округлением произведений, Ео — шаг квантования, а (М+Лт) число полюсов и нулей. Фильтр каноническои формы содержит половину Общего числа элементов задержки, необходимых при прямой форме построения фильтра. Шумовая и эквивалентная шумовая модели канонической, формы, изображенные на фиг. 10.11 и 10.12 соответственно, показывают, что эквивалентный источник шума вводится в систему иначе, чем в фильтре прямой формы.
Эквивалентный шум еь(пТ), обусловленный умножением коэффициентов Ь» на значения параметров состояния, проходит через всю цепь (полюсы и нули), тогда как шум е,(пТ), связанный с перемножением а» и параметров состояния, просто добавляется на выходе. 11» 185 ГЛАВА 10 184 г 0'„1 кщ1пТ) Фиг, 10.12. (10,52) Фиг. 10.11. Шумовая модель для каиоиичсской фовмы цифрового фильтра. Таким образом, дисперсия на выходе (общая средняя мощ- ность) будет равна сумме дисперсий на выах1зде, обусловленных от- дельно еь (пТ) и е„(пТ). Дисперсия на выходе, обусловленная еь(пТ), равна Н()Н*() ~, где НЯ вЂ” эффективная передаточ ая функция для еь(пТ), М вЂ” число полюсов. Дисперсия на выход", ооусловленная е (пТ), рассчитывается по формуле О'=(1+ 111) 50 ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ Поэтому вы~ажение для общей дисперсии шума на выходе, равной сумме оь и о, будет иметь следующий Вид: МЕ' юг Ез общ 12 2 ' Н® Н ® +(1+У) —, (10.51) Итак, при канонической форме построения фильтра часть шума и сигнал проходят как через нули, так и через полюсы системы.
Обычно, хотя и не всегда (см. пример 5 в приложении 10Д), нули ослабляют шум, поэтому, когда речь идет об ошибках округления В арифметических устройствах с фиксированной запятой, каноническая форма, по-видимому, лучше прямой формы. В работе ~~191 показано, что при работе с плавающей запятой уровень шумов округления для канонической и прямой форм одинаков. 10.4.З.З. Параллельная форма Передаточная функция фильтра параллельной формы (фиг. 10.13) представляется В виде линейной комбинации переда- Фиг. 10.13 тп . — у ая модель для паРаллельиои формы цифрового фи ьт функций 1-го или 2-го поря ка (~)=К+Н1(2)+Н (2)+ +Н ( ) =к+ ' ~+ ~*-' ! — ~,г-' + д .~ р-~ + ° + . тих Упрощенных передаточных функ й 1 „ сия ш ма р дка реализУется в прямой или каноничес й ~ - о или -го У ~ а выходе каждого блока с передаточн й фу ависимости От структурнои фор„ фоРмУле ( 0.48) или (10.
51). Полная диспе си а по 13 заказ ла вво ГЛАВА 1О 186 187 10.5. Измерение шумов 10.4.3,4. Каскадная форма е(пТ) = д,(пТ) — д 1пТ) аум г Х у(лТ)+е 4 (лТ) аг уГ '.Г Н„(2) 2 О„1 .'Е Н212) Х1пт) и, 12) 10.4.3.5. Заклочение равна сумме средних значений мощностей шума на выходе всех,, блоков, т. е. о,'е,„= ~~~~~ о;, (10.53) 1-1 где Ь вЂ” число параллельных каналов.
Передаточная функция фильтра каскадной формы (фиг. 10.14) разбивается на составляющие 1-го или 2-го порядка следующим образом: Н(г)=КН,(г) Нг(г)... Н„(2)= 2-' — а, 2-' — тг '+6 (10.54 1 — р12 ' лг '+ ~2-'+ 1 ( .4) И в этом случае мощность шума на вь;ходе каждого блока можно определить, используя формулы (10.48) или (10.51) в зависимо- Фнг. 10.14. Шумовая модель для каскадной формы цифрового фильтра. сти от формы его .построения.
Для каскадной формы шум на входе каждого каскада включает в себя выходной шум предыдущего каскада, а также шум, созданный внутри каскада. Поэтому выходной шум первого каскада проходит через нули и полюсы остальных каскадов. Вообще выходной шум 1-го каскада проходит через все нули и полюсы (1+1)-го и всех последующих каскадов системы. В математической форме общая средняя мощность шума может быть выражена следующим образом: ь а а,'а~= г а) — ф П 1н» 1а) н11а)1 ', 110.55) )=О А=1+1 где 1 — число каскадов. В общем случае эффекты шумов округления зависят от формы построения цифрового фильтра, даже если все варианты построения дают одну и ту же передаточную )функцию. Для выбора кон- ЭФФ1:КТЫ КВА11ТОВАНИЯ В ЦИФРОВЫХ ФИЛ)аТРАХ кретной формы, минимизирующей нежелательные эффекты шума, можно использовать формулы (10.48), (10.51), (10.53) и (10.55).
Доказано, что в большинстве случаев наилучшей является каскад- ная форма 12]. Блок-схема экспериментальной установки для измерения шумов округления, возникающих в цифровом фильтре, представлена на фиг. 10.15. В двух параллельных цепях схемы содержатся два Фиг. 1015. Блок-схема измерения шумов цифрового фильтра. одинаковых цифровых фильтра с передаточными функциями Н(в), а также два аттенюатора, один из которых включен до фильтра (в первой цепи), а другой — за фильтром (во второй цепи). Сигнал в одной из цепей ослабляется до прохождения через фильтр, а в другой — после фильтрации. Таким образом, разность между сигналом на выходе фильтра в первой цепи и сигналом на выходе аттенюатора во второй цепи является непосредственной мерой шумов округления, создаваемых цифровым фильтром с передаточной функцией Н(л).
10.6. Предельные циклы низкого уровня В предыдущем разделе при рассмотрении ошибок округления и усечения, возникающих после умножения в различных узлах фильтра, предполагалось, что все они взаимно независимы и некоррелированы от выборки к выборке. Как показано рядом авторов, рассматривавших эти вопросы ) 2 — 9, 16 — 20], теоретические реяульта)ы, полученные при этих предположениях, хорошо согласуютс с экспериментальными данными, но лишь при условии, что входной сигнал фильтра имеет достаточную амплитуду. Для входных сигналов низкого уровня шумы округления становятся корре- 13* 188 189 ГЛАВА 10 Таблица 1О.1 (входные отсчеты 10, О, О, - ° ) Выходные отсчеты Время идеальные квантованные +1Π— 9 *8 — 7 +6 — 5 +5 — 5 +5 +1Π— 9 +8,1 — 7,29 +6,561 — 5,8949 +4,80541 — 4,324869 +3,8923821 ОТ 1Т 2Т ЗТ 4Т 5Т 6Т 7Т 8Т 0,000000 -1-5 соТ 10.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
