Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 21
Текст из файла (страница 21)
8.2, б, показана на фиг. 8.2,а. Каждый блок на схеме представляет систему с характеристиками (8.1). Значения А в этом примере для заданных й равны (8.2) При этих значениях А импульсная характеристика (8.3) равна ну- лю при — т/2(1~т~'2. Ь(~)=~ ААе' '~~' (8.3) при — т/2(1(т/2. представляется частотными выборками, взятыми с интервалами 1/т Гц.
На фиг. 8.1 показаны элементарные частотные характеристики с максимумами на центральных частотах 0'1/т и 2/т Гц, а также соответствующие им импульсные характерйстики у <дялу17т т т ) н1п л Д вЂ” А/т) т 2 2 ) лД вЂ” /г!т)т ° 0 при других ~. Графики на фиг. 8.1 построены для Й=О, 1, 2. Фиг. 8.1. ст — элементарные импульсные характеристики: б — элементарные частотные характеристики. Заметим, что каждая из элементарных частотных характеристик равна нулю на всех частотах дискретизации, за исключением собственной центральной частоты. Благодаря этому свойству частотная характеристика, составленная из суммы элементарных характеристик, в каждой точке дискретизации определяется только одним из заданных чисел — величиной соответствующей частотной выборки, Результирующая частотная характеристика системы имеет вид [11 Ф Н(~)='~'А т """(~ ~~~) 17' — 7е7'т) т л соответствующая ей импульсная характеристика равна 07 сх ф' Об Ц Об Ф1! Льтры ВА Осиовс члс1 От!!О~ 1 вь! корки Фиг, 8.2.
а — частотная характеристика; б — блок-схема системы, й= — 3 — 2 — 1 0 1 2 3, А = 0,2 0,7 1 1 1 0,7 0,2. 153 /г2л1 соз Т Т Т 2 2 (8.4) ЬК! 0 нрп других 1. Л(п Т) = е а"'сов о и Т а (-а+)ы) г И)пТ) = е1-и+1 )пт у — А ~ у 1 1 а+от к — =И(Я = 1 Х 1 -1 (-а+1ю)г Гребенчап1ьш" Косинусньш 1рильп1р резонатор Р задержек Ь2' -а то 2т 0 Л!пТ) = е-ато 11(з) — 1 — ~-ое- го 8.3.
Реализация элементарных характеристик Наиболее простой является импульсная характеристика в том случае, если опа действительная. Большинство фильтров на основе частотной выборки имеет действительные элементарные характет11!стнки Йй (1): .1!а фпг. 8.3 показан гребенчатый фильтр (смысл термина пояснеи гннж"). импульсная характеристика которого состоит из единичных импульсов: положительного при 1=0 и отрицательного при 1=т. За этих! фильтром следует резонатор с импульсной характеристикой сои й 2лЦТ, 1)0.
Как показано на фиг. 8.3, отрицательпып;!мпульс гребенчатого фильтра возбуждает косинусный резон!1то". в протпзофазе по отношению к отклику на положительи1йй 1!х!!!).1ьс. в результате чего импульсная характеристика комбипа- :!'1!! !''1, !Вт!!Ов их!ест нп '! кос1111усопд11.1ы1ОГО ими) льса. )~ !и!усо!!далы!ые импульсные характеристики очень просто 1;и1,1;,!и в экспопенциальной форме Юл1 /Ь2:т1/т — )ь2де и 2соз ' =е'' +е О Ген Да ВИДНО, Что ОтСЧЕтЫ ЧаСтОтНОй ХаРаКтЕРИСтИКИ На ОтРИЦательных и положительных частотах однозначно связаны между собой.
что всегда имеет место при действительных импульсных характеристиках. Необходимым условием физической реализуемости является то, что импульсная характеристика должна начинаться -,!с ппи т= — т/2, а в момент 1=0, что соответствует задержке вс Фнг 8.3. Получение элементарной импульснои характеристики. Ч>!1З!ЬТРЫ 11А ОСНОВЕ ЧАСТОТНОЕ! ВЫ11ОРК11 всей системе. Все элементарные характеристики должны иметь одинаковое запаздывание т/2.
Поскольку все элементарные характеристики симметричны относительно средней точки, общая импульсная характеристика также будет симметричной, а фазовая характеристика — строго линейной. .Фиг. 8.4. а косннусный резонатор; б — комплексный резонатор; и — требенчатый фильтр.
155 ГЛАВА 8 154 Греаенчшпые %+ 3 , папаса 1 1 ()с! — а) Т 1 — г-се (8.5) д, паласа 2 Фиг. 8.5. 8.4. Полная структура фильтра (8,8) На фиг. 8.4 показаны некоторые реальные схемы, используемые для построения фильтров. Косинусный резонатор является рекурсивным фильтром второго порядка с полюсами около единичной окружности (в плоскости ~).
Комплексный резонатор [2~ имеет дискретизованну!о импульсную характеристику вида ()со,— а) Т 2 С)со,— а) Т 3 ()со,— а)Т где (а),=Ит(/т. Ее можно получить, если, подать на вход резонатора единичный импульс. При каждом цикле вычисления выходной от(!'с ! — а) Т счет умножается на е ~ . Постоянная затухания а является обычно небольшой положительной величиной, обеспечивающей устойчивость фильтра при неточных коэффициентах.
Результирующая передаточная функция Й-го резонатора имеет вид Комплексный резонатор удивительно прост для программирования. Это всего одна строка на ФОРТРАНе: У=1""В+ Х, (!'о! — а)Т где Х и У вЂ” входной и выходной сигналы, а В=е ~ . Если требуются лишь косинусные характеристики, на выходе берется только действительная часть У. Гребенчатый фильтр требует значительного объема памяти, что не имеет особого значения при работе на ЦВМ и не очень существенно в том случае, когда один гребенчатый фильтр используется со многими резонаторами или фильтрами, образующими единую систему.
На фиг. 8.5 показано, каким образом можно использовать один гребенчатый фильтр одновременно с несколькими резонаторами при создании одного или ряда фильтров на основе частотной выборки. с е 8.5. Интерпретация с помощью нулей и полюсов Как и все системы с ограниченной импульсной характеристикой, гребенчатый фильтр имеет в передаточной функции только нули.
Они находятся там, где его передаточная .функция. Н(г)=1 — г ~ (8.6) равна нулю. Здесь ВТ=т — задержка гребенчатого фильтра. Таким образом, нули расположены равномерно по частоте (откуда ФИТ! 1~т!'1~1 ! !А ОС!1!>111' '1АОТО1 !)ОП 1)Ы1 О!'К1! и название «гребенчатый» фильтр) в точках я=))1 (фиг. 8.4), т. е. при г=е'"~, т=О, 1, ..., 0 — 1. (8.7) При пренебрежимо малом затухании полюсы резонаторов (комплексных) находятся в точках (фиг.
8.4) (И2гсТТт )И2тсТТОТ Е)'И2п10 и, таким образом, компенсируют часть нулей. Это похоже на то, как если бы сначала всю характеристику «прибили гвоздями» к оси частот через равные интервалы, а затем вынули некоторые «гвозди». Можно показать, что нескомпенсированные нули образуют комплексно-сопряженные пары и поэтому их влияние взаимно компенсируется, но такие детали редко имеют существенное значение. 157 л А, ~ з(пгТ) е '): 1=1, 2, (8.13) т=п — г) '. ! (8.9) е!'и пТ л з(тТ) е ' ~ где ~,=ЮТ. Отсюда У)~ — ~ 1 яппи [1 — 1)) 0г яп)г(1 — 1),) Т (8.14) Л А ~ з(тТ)е ' ~ т=п — Р+г (8.12) 8.6. Связь с дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) [21 Рассмотрим комплексные резонаторы при а=О.
Отклик )гг-го резонатора в моменты пТ (п=О, 1, 2, ...) на единичный им(пульс, 1о> (л — т)Т приходящий в момент пгТ, равен ет ) . Следовательно, отклик 1г-го резонатора на сигнал з(тТ) (т=..., — 1, О, 1, 2, ..., и) в момент пТ будет иметь вид (фиг. 8.5, и) л хг, (г)Т) + 1у„(г)Т) == ~~» з (г)гТ) е'"~ (" т= — 'г л =е' г" ~ з(тТ) е ' г -де (!!1, = 2тй(0Т = 2л1г/т. Если резонатору предшествует гребенчатый фильтр, то наличие в его импульсной характеристике отрицательного импульса, следующего за положительным через 0Т секунд, приводит к появлег(1!ю второй суммы в выражении (8.9): л х~(пТ) + 1у„(пТ) =е'"~"' ~' з(тТ) е '"~л'~— л — ег"г'" ~ з [(т — 0) Т[ е1 )' л — о — з(тТ) е '"'~ ~е '"~~ .
(8.10) -г)прт Но 11Т вЂ” целое число, кратное периоду 2л/(!))„так что е ~ =1. Следовательно, х (пТ)+1у~(пТ)=ег"~" ~ з(тТ) е 1"~ . (8.11) т=п — Р+! га пТ Это выражение можно рассматривать как колебание е ~ с амплитудой, равной коэффициенту ДПФ„сигнала з(тТ) на частоте (»,, вычисленному по !последним 0 выборкам. На выход' фильтра на основе частотной выборки с учетом весовых коэффициентов А, имеем х (и Т) + 1у (пТ) = ~' А, [х~ (пТ) + 1у~ (и Т) [ = Полученное выражение описывает синтез методом преобразования Фурье (обратного ДПФ) частотной функции .
которую можно рассматривать как произведение текущего ДПФ 1(' х(н)Т) и ДПФ, значения которого и» частотах (1„равны А„. Таким ооразол(, фильтраиггя методом частотнои выоорки зкви)алентна фильтраиигг методом фурье-преобразования с последую. (грим умножениелг на частотную характеристику фильтра и обрат. ньгм преобразованием. До спх пор рассматривалась только действительная частотная характеристика фильтра (А)„1г=1, 2, ...). Однако нет причин, в сн.!у которых А, не могли быть комплексными, что позволило бы :!меть произвольн -ю фазовую характеристику фильтра. Комплексные значения А), могут быть заданы в декартовых или полярных координатах.
причем последние предпочтительнее для задания )мплитулы и фазы. В с:!учае комплексных 71), системз нс является линейно-фазовой, так как ее импульсная характеристика несимметричная. 8.7 Приближения, связанные с дискретизацией В разд. 8.2 были рассмотрены элементарные частотные характеристики аналоговой системы (случай бесконечной частоты дискретизации), Для дискретных систем передаточная функция элементарного фильтра равна произведению передаточных функций комплексного резонатора [выражение (8.5)] и гребенчатого фильтра [выражение (8.6)1: Н 1 — 7 — 1 — °вЂ” — о 12:тг! — Р г, (7) 1 — -1ег-"Аго 1 И-'л'/07-1 ' г.
к. е-'-""=1. Чтобы получить частотную характеристику, подстае!'ат е)2л)т. Н вЂ” [ 1 --1л (1 — 1,) от гл (1 — 1 ) от — тл (1 — 1 ) от (1)— )' е — тли 1)т тл(1 1)т — Тл(1 1)т 1 э [е и — е Система обладает строго линейной фазовой характеристикой и конечной задержкой ОТ[2. Модуль частотной характеристики (8.14) заменяет здесь идеальную характеристику (8.1) и отличается от ГЛАВА 8 !58 159 ЛИТЕРАТУРА О, Д Р,б с 0,4 0,2 / / / Фиг. 8,6.
нее в основном знаменателем. Если тг(! — ~А) Т мало, т. е. разность ! и ~~ мала .по сравнению с 172Т (наивысшей возможной частотой сигнала), то 51 и тг Ц вЂ” ~д) Т вЂ” тг Ц вЂ” ~д) Т, и обе функции почти не отличаются. Это происходит, когда Т вЂ” О,. т. е. при непрерывной (аналоговой) фильтрации. Отличие от аналогового случая связано исключительно с появлением при дискретизации повторя!Ощихся полюсов. Для аналогового варианта знаменатель тг(! — ~~) Т содержит только один полюс при ~=~,. 8.8. Явление Гиббса и частотная характеристика Синтезируемая частотная характеристика должна в точности соответствовать заданной в точках частотных выборок, но между ними она может проходить достаточно произвольно (фиг. 8.6). Та- кое поведение связано с явлением Гиббса, которое описывает выбросы функции скачка, представленной усеченным рядом Фурье (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
