Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е. ограниченной по полосе). Соответствующая весовая обра- ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКИ ботка характеристик на срезах может привести к сглаживанию ~пульсаций в полосах пропускания и пепропускания (фиг. 8.2, а); однако получить для нее математические соотношения в явном виде не удается. Нетрудно связать подавление боковых лепестков с компенсацией «хвостов» функций 51п х/х, но такой критерий не будет универсальным, Эта проблема в несколько другом виде встречалась и раньше в главах, посвяц!енпь!х нерекурспвным филеврам и преобразованиям Фурье. В последнее время [31 появились методы автоматической оптимизации (в рассматриваемом случае метод линейного программирования), оказавшиеся очень эффективными для расчета коэффициентов с целью подавления боковых лепестков.
Ц гл. 11 даны общие идеи методов оптимизации. 1. Кадег С. М., 6о16 В., Р1 !!а! Г11!ег Г)еэ!оп Тесйп!с)цеэ 1п !Ье Егес)цепсу 0огпа!и, Ргос. 7ЕЕЕ, 55, № 2, 149 (1967); есть русский перевод: Райдер Ч., Голд В., Методы расчета цифровых фильтров в частотной области, ТИИЭР, 55, № 5 (1967). 2. Вовпег )х.
Е., Егеццепсу алагир!!пд Е!11егв — Н!1Ьег! Твапв1оггпев апс1 Кевопа1огв, В$Т7 48 № 3 501 (1969) 3. КаЬ!пег 1. )х., Сто!д В., Мсбопеда! С, А,, ТЬе Арргох!гнат!оп РгоЫегп 1ог Хопгесцгвп е Ир1а1 Е11!егэ, 7ЕЕЕ Тгапв. оп Аиро апс7 Е1ес!гоасоизйсз, А1)-18, 83 — 106 (1970). 161 частотныв выьорки с целыми коэч фицивнтлми 1'лава 9 ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНОИ ВЫБОРКИ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ П. Линн 9.1.
Введение В предыдущих главах были рассмотрены методы фильграции дискретизованных сигналов. На практике часто бывает нелегко выорать метод, наиболее подходящий для заданного частного случая, и, даже если принято решение синтезировать фильтр во временнбй области, остался неясным вопрос, какой фильтр лецует использовать — - рекурсивный или нерекурсивный. Обычно важным н)атактическим критерием является объем вычислений, требуемых для выполнения фильтрации; при моделировании цифрового фильтра на универсальной вычислительной машине сокращение вычислений определяет возможность обработки входных данных в реальном времени. Однако независимо от того, выполняется ли фильтрация на вычислительной машине или с помощью специализированного оборудования, операции умножения требуют наибольших затрат времени и объема оборудования. Другими словами, сокращение вычислений зависит главным образом от степени минимизации числа умножений, требуемых для расчета очередного (отфильтрованного) выходного отсчета.
Если, кроме того, коэффициенты, на которые умножаются выборки, — небольшие целые числа, то умножение значительно упрощается по сравнению со случаями, когда эти коэффициенты приходится представлять числами с плавающей запятой и 5 — 6 десятичными разрядами. Часто использование рекурсивного фильтра приводит к значительному уменьшению требуемого числа умножений по сравнению со случаем использования нерекурсивного фильтра, имеющего аналогичную частотную характеристику® Однако коэффициенты, на которые умножаются выборки при рекурсивной фильтрации, приходится задавать с высокой точностью.
Причина состоит в том, что рекурсивный фильтр имеет на плоскости я полюсы, которые обычно располагаются близко к единичной окружности, так что небольшая погрешность в значениях коэффициентов разностного уравнения может привести к перемещению этих полюсов за пределы единичной окружности и, как следствие, к неустойчивости фильтра (в этой главе вместо плоскости я — ' будет использоваться плос- кость г, поэтому для обеспечения устойчивости фильтра полюсы должны располагаться внутри круга единичного радиуса). Но даже если не рассматривать проблему устойчивости, то, для того чтобы получить заданную частотную характеристику, полюсы фильтра должны быть расположены с достаточной точностью. В настоящей главе рассматривается семейство цифровых рекурсивных фильтров, у которых коэффициенты всех умножителей представляют собой небольшие целые числа [1].
Будет показано, что это,практически важное преимущество обеспечивается только после принятия достаточно серьезных ограничений на расположение полюсов и нулей фильтра в плоскости я. Эти ограничения дают еще одно преимущество: все фильтры этого семейства имеют идеально линейные фазовые характеристики, обеспечивая постоянную задержку для всех спектральных составляющих входного сигнала. Фактически эти фильтры можно рассматривать как частный случай фильтров на основе частотной выборки, описанных в гл. 8. Детальному анализу этих фильтров предшествует рассмотрение некоторых общих свойств цифровых фильтров с линейной фазовой характеристикой. 9.2. Цифровые фильтры с линейной фазовой характеристикой Любой фильтр с импульсной характеристикой (называемой также весовой функцией), симметричной относительно момента з =0 подачи единичного импульса, имеет чисто действительную частотную характеристику. Можно также показать, что фильтр с антисимметричной относительно 1=0 весовой функцией (в том смысле, что часть характеристики, расположенная слева от ~=0, равна перевернутому зеркальному отражению ее правой половины) имеет чисто мнимую частотную характеристику; иначе говоря, на всех частотах он создает фазовый сдвиг 90 или 270'.
Простой пример симметричной весовой функции приведен на фиг. 9.1. Соот- Фиг. 9.!. Простая симметричная весовая функция. ветствующую ей частотную характеристику можно рассчитать, используя метод, описанный в гл. 3. В результате получим функ-, цию НОИ)=1+е ~вт +е/Ят- -1+ 2созит, являющуюся чисто действительной (фиг. 9.2). Отсюда следует, что любая весовая функция конечной длительности, симметричная от- 11 заказ нз 550 ГЛАВА 9 а, У=О аа откуда Н(г) = Фиг. 9.2.
Модуль частотной характеристики, соответствующей весовой функции, изображенной на фиг. 9.1. носительно ~=О, приводит к действительной частотной характеристике, равной конечной сумме косинусов, включая постоянную составляющую. Таким образом, частотная характеристика, соответ- Фиг. 9.3. Более сложная симметричная весовая функция. ствующая представленной на фиг.
9.3 весовой функции, имеет следующий вид: Н(уа)=а +2а,соэаТ+2а,соэ2оТ+... +2а„созпиТ. (9.1) Конечно, цифровой фильтр с импульсной характеристикой, начинающейся до момента ~=0, физически чеосуществим, поскольку его отклик на входной импульс опережает сам импульс. Однако его легко преобразовать в физически осуществимый, сдвинув импульсную характеристику по оси времени таким образом, чтобы она начиналась с момента ~=0 или позже. Это не повлияет на амплитудно-частотную характеристику, но превратит нулевую фазово-частотную характеристику исходного фильтра в линейную фазовую характеристику. 1~ 9.3. Рекурсивная реализация фильтров нижних частот с линейной фазовой характеристикой Рек сивная форма построения цифровых фильтров с симметричными весовыми функциями рассматриваемого типа пр од кур к с к окращению объема вычислений.
Другие преимущества рекуриеигов. сивной формы связаны с использованием целых коэффициеиг Это положение легко проиллюстрировать на простом примере ве- ЧАСТОТ11ЫВ ВЫ11ОРКГ1 С ЦЕЛЫМ11 КОЭФФ111Н1Н11ТАММ Фиг. 9.4. Весовая функция «скользящего среднего» с 2й + 1 членами. совой функции «скользящего среднего», показанной на фиг. 9.4, которая симметрична относительно 1=ИТ. Передаточную функцию такого фильтра можно найти непосредственно по определению г-преобразования: Н(г)= (~~ =1+г-'+г '+ .. +г-'« = ~ .. ((9.2) Х (г) 1 — г ' Функция НЯ равна нулю при (1 — ы '« ') =О, т. е. она имеет 2Й+1 нулей, равномерно распределенных по единичной окружности в плоскости ы. Кроме нулей, она имеет в точке г=1 простой полюс.
В полученном выражении для Н(т) функции 1'(к) и Х(~) являются ~-преобразованиями соответственно выходной и входной последовательностей, поэтому связьгвающему их соотношению г (2) =2 Ч' (г) + (1 — 2 ~~ 1) Х (2) во временной области соответствует следующее разностное уравнение: У (") =У (и — 1) —,'- х (и) — х (и — 2й — 1). (9.3) Отсюда следует, что разностное уравнение, содержащее только три члена, эквивалентно нерекурсивному фильтру скользящего среднего с весовой функцией, содержащей произвольное число членов.
Если, например, 1=5, то весовая функция содержит 11 членов, а фильтрация осуществляется с помощью разностного уравнения у (и) =у (и — 1) — , 'х (а) — х (и — 11). Весовая функция, расположение нулей и полюсов, а также частотная характеристика такого фильтра показаны на фиг.
9.5. Перейдем к рассмотрению треугольной весовой функции, изображенной на фиг. 9.6. Используя формулу (9.2) и рассматривая треугольную весовую функцию как результат сложения совокупности сдвинутых последовательностей единичных отсчетов, получаем 1 — г-2«-1 г-1(1 — г 2«+1) л «(1 — г-1) ГЛАВА 9 164 165 11т 11Т вЂ” (9.4) Фиг. 9.5. Фильтр «скользящего среднего», весовая функция которого имеет 11 членов. д — весовая функция; б — расположение нулей н полюсов в плоскости гч в — модуль частот- ной характеристики.
Фиг, 9.6. Треугольная весовая функция, состоящая из 21+1 члена. Соответствующее разностное уравнение имеет вид у(п) = — у(п — 2)+2у(и — 1)+х(п — 2й — 2)— — 2х (и — й — 1) + х (и). Этот результат показывает, что треугольную весовую функцию с произвольным числом членов можна получить, используя рекурсивный фильтр, разностное уравнение которого содержит 5 членов. Например, 1=10 соответствует треугольной весовой функции, содержащей 21 член, а передаточная функция такого фильтра равна Н(г)= ~ (1 а-1)2 Она имеет 11 нулей 2-го порядка, равномерно расположенных по единичной окружности в плоскости !, а также полюс 2-го порядка ЧАСТОТНЫЕ ВЫ!!ОРКИ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ в точке в=1: Весовая функция, расположение нулей и полюсов и частотная характеристика фильтра показаны на фиг. 9.7.
Этот. Фиг. 9.7. Фильтр с треугольной весовой функцией, имеющей 21 член. а — весовая функция; б — расположение нулей н полюсов в плоскости х; в — модуль частот- ной характеристики. фильтр может быть реализован с помощью следующего разностного уравнения: у (и) = — у (и — 2) + 2у (и — 1) + х (и — 22) — 2х (и — 11) + х (и). Отметим, что нули и полюсы при А=10 расположены так же, как и у рассмотренного ранее простого фильтра скользящего среднего (имеющего 1=5), но простые нули заменены на нули 2-го порядка и простой полюс в точке а=1 на полюс 2-го порядка. Передаточная функция фильтра с треугольной весовой функцией, содержащей 21 член, равна квадрату передаточной функции цифрового фильтра скользящего среднего с 11 членами.
Учитывая, что умножение в частотной области эквивалентно свертке во временной области, приходим к выводу, что, как и следовало ожидать, треугольная импульсная характеристика может быть получена путем свертки весовой функции фильтра скользящего среднего с этой же функцией. В обоих рассмотренных фильтрах используются нули, равномерно расположенные по единичной окружности в плоскости г; устранение одного из нулей путем введения совпадающего с ним полюса (или полюсов) и создает полосу пропускания фильтра. Вообще можно показать, что равномерное размещение нулей вдоль 12 Заказ М 550 ГЛАВА 9 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
