Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 23
Текст из файла (страница 23)
167 1ЕЕ 9.5.1. Фильтры нижних и верхних частот единичной окружности с последующим устранением одного или нескольких из них за счет введения совпадающих с ними полюсов приводит к рекурсивным фильтрам, преимуществами которых являются целые коэффициенты и линейные фазовые характеристики. При этом всегда сохраняется возможность возведения заданной передаточной функции в целую степень, что приводит к увеличению крутизны спада характеристики и уменьшению уровня боковых лепестков. 9.4. Фильтры верхних частот и полосовые фильтры Методика размещения устраняющих нули полюсов на единичной окружности в точке я=1 может быть модифицирована для построения фильтров верхних частот и полосовых фильтров. Фильтры верхних частот получаются при введении полюсов в точке е= — 1. В качестве примера рассмотрим передаточную функцию вида а-т)г Н (г)= Ей соответствует уравнение с пятью членами.
Расположение нулеи и полюсов, а также весовая функция показаны на фиг. 9.8. Если Фиг, 9.8 Расположение нулей и полюсов и весовая функция рекурсивного фильтра с пятью членами. Фиг. 9.9. Расположение нулей и полюсов для двух полосовых фильтров. а — центральная частота фильтра Ф, =п)2Т; б — центральная частота фильтра а,-игаТ. ЧАСТОТНЫЕ ВЫБОРКИ С ЦЕЛЫМ'1 КОЭФФИЦИЕНТАМИ требуется, чтобы у фильтра верхних частот нуль передачи был иа нулевой частоте а=О, числитель НЯ должен иметь вид (1+я-~)", где Й вЂ” четное целое число. При введении устраняющих нули полюсов в точках е=-1-! получим полосовой фильтр с центральной частотой ао — — п~2Т, где Т— период дискретизации. Для построения полосовых фильтров с центральными частотами ав — — п(ЗТ или ао — — 2л/ЗТ следует ввести на единичной окружности три равноудаленных друг от друга устраняющих нули полюса, один из которых затем компенсируется при добавлении нулей.
На фиг. 9.9 показаны два вида расположения нулей и полюсов, типичные для полосовых фильтров. 9.5. Боковые лепестки фильтров с целыми коэффициентами Увеличивая порядок нулей и полюсов фильтра, можно ослаблять уровень его боковых лепестков по сравнению с главным лепестком. Однако при этом в разностном уравнении возрастает число членов, так что улучшение качества фильтрации достигается за счет увеличения объема вычислений.
Уровень боковых лепестков, соответствующий заданному расположению нулей и полюсов, можно рассчитать с помощью длин векторов, проведенных из точки на единичной окружности (соответствующей частоте, которая представляет интерес) к полюсам и нулям. Вычисления существенно упрощаются, если учесть, что значение частотной характеристики на средней частоте между двумя смежными нулями служит достаточно хорошей оценкой уровня бокового лепестка на интервале частот между ними. Используя элементарные сведения из геометрии и тригонометрии, можно показать, что отношение уровней главного и бокового лепестков (они являются наибольшими) остается постоянным.
Главный лепесток Зтг Ь з'и Первый боковой лепесток ~ 2Й где Й вЂ” число нулей, равномерно расположенных по единичной окружности, и — порядок каждого нуля. Отметим, что й" равно коэффициенту передачи фильтра в центре полосы пропускания. 9.5.2. Полосовые фильтры с центральной частотой ва — — тг(2Т Главный лепесток ~ й . ° Зтг 1" Первый боковой лепесток ~ 2 й, ~ 51п Отметим, что (й/2)" равно коэффициенту передачи фильтра в центре полосы пропускания. 12а 1 ЛАВА 9 Первый боковой лепесток й ч!пл— 3 1, 151 о1П 2й ~1П 3 — И !5 а В а1бгОЗО аО Упражнения 9.5.3. Полосовые фильтры с центральной частотой ав = д(ЗТ ИЛИ ао=2П(ЗТ Главный лепесток о7' 3 И На фит.
9.10 эти три отношения построены в функции й для п=1. При п=2 (в этом случае на единичной окружности располагаются полюсы и нули 2-го порядка) передаточная функция полу- Фпг. 9.10. Изменение уровня боковых лепестков для фильтров трех типов в функции числа нулей й, равномерно расположенных по единичной окружности в плоскости г. а — фильтры нижних и верхних частот; б — полосовой фильтр с центральной частотой ы,=п(гт; в — полосовой фильтр с центральной частотой ы,=АОЗТ или ы,= / = глот. чается путем возведения в квадрат функции, соответствующей и= 1, и число децибел, приведенное на фиг.
9.10, нужно удвоить; при а=З оно утраивается и т. д. Фильтры на основе частотной выборки с целыми коэффициентами 1. Изобразите графически в плоскости я нули и полюсы простого рекурсивного фильтра нижних частот скользящего среднего, который имеет первый нуль 'передачи на частоте а=п~БТ. Зайтиши.те выражение для передаточной функции этого фильтра, а также его разностное уравнение. Рассматривая воздействие на фильтр члстотныв выгорки с цвлымн коэфч Вцп1вптлмн единичного импульса, получите его весовую функцию (т. е. импульсную характеристику).
2. Фильтр верхних частот имеет передаточную функцию Н(г)= 1 (1 — г-') ~ Наидите его весовую функцию, а затем, используя методику сверт ки, оцените коэффициент передачи фильтра на частотах вплоть до 1 = 1(2Т Гц. 3. Рассчитайте рекурсивный полосовой фильтр со следующими данными: а) максимум коэффициента передачи на частоте ао=2и1ЗТ; б) ширина главного лепестка гт~ЗТ рад/с; в) первый боковой лепесток ниже главного ло крайней мере на 17 дБ. Запишите разностное уравнение фильтра и оцените выигрыш в количестве умножений за счет перехода к рекурсивной форме. ЛИТЕРАТУРА 1.упп Р. А., Есопопис 11пеаг-Ржаве Кесптяче Р1р1а1 Г111егв, Нес1гоп Ееггегэ, 6, 143 — 145 (1970).
10.1. Введение (10.2) Коэцэ цэициеншы с Фиг. 10.1. Ф ,Глава 10 ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ В. Лоуренс Для .представления состояния и значений коэффициентов цифровых фильтров используются числа с конечным числом разрядов.
Это обстоятельство приводит к ошибкам: 1) квантования входного сигнала по уровням; 2) квантования коэффициентов фильтра по конечному числу двоичных разрядов; '3) квантования результатов арифметических операций; 4)~ колебаний предельного цикла низкого уровня (эффекты мертвой зоны); 5) колебаний переполнения. Происхождение ошибок первых трех видов, представленных на фиг. 10.1, детально рассмотрено в последних разделах настоящей главы.
Влияние этих ошибок можно-неограниченно уменьшать, выбирая достаточно большую длину слов (число разрядов), но это приводит к удорожанию цифрового фильтра. Величина ошибок, возникающих при работе цифровых фильтров, зависит от вида выполняемых арифметических операций и формы построения фильтра [1 — 4[.
ЭФФВКТЫ КВЛНТОВЛНИЯ В ЦИФРОВЫХ ФИЛ!>ТРЛХ 10.2. Построение цифровых фильтров В приложении 10А на фиг. 10.17 — 10.20 представлены четыре рассмотренные ранее формы построения цифровых фильтров: арямая, прямая каноническая, параллельная и последовательная (каскадная) . 10.3. Анализ арифметических устройств В цифровых фильтрах операции над числами выполняются с помощью арифметического устройства с фиксированной или плавающей запятой. Ошибки, возникающие при:работе таких филь- гров, неодинаковы. Фильтры с фиксированной запятой легче анализировать, но им присущи недостатки двоичной арифметики с фиксированной запятой и более жесткие ограничения по динамическому диапазону [4 [. 10.3.1.
Арифметическое устройство с фиксированной запятой В арифметическом устройстве с фиксированной запятой значение переменной или коэффициента У (меньше единицы) представляется в двоичном виде следующим образом: У=У,+ ~ У,2-', (10.1) ! 1 где У;=О или 1, и при реализации фильтра квантуется до вели- чины Здесь прн округлении к 1-,му разряду добавляется 1 или 0 в зависимости от того, 1 или О содержится в (1+1)-м разряде. При усечении разряды, следующие за старшими 1 разрядами, просто отбр асываются. Обозначим ошибку квантования через в: в= У вЂ” [У„,[; при округлении она ~меняется в пределах от — 2 ' до 2 ', т.
е.. — 2-'( У вЂ” [У„,1 < 2-', а при усечении — в диапазоне от — 2 '+' до О, так что — 2-'+'(У вЂ” [У„,[ < О. При перемножении двух двоичных чисел или слов к нечной длины У и У длина результирующего слова обычно больше длины ГЛЛВЛ ~О 172 ЭФ ВВКТЫ КВАНТОВАНИЯ В ЦиФРОВЫх ФИЛЬТРЛХ 173 10.3.2. Арифметическое устройство с плавающей запятой В арифметическом устройстве с фиксированной запятой ошибки находятся в фиксированном диапазоне, тогда как в случае плавающей запятой они пропорциональны величинам сигналов [3, 6, 9].
Обычно числа с плавающей запятой представляются так, как показано на фиг. 10.2. Маквиопо 17оря0ок Знпк Фнг. 10.2. Цифровое выражение числа У таково~ ' [здп1 [2'1 [р1, (10.3) где порядок а — целое число, ~равное или превышающее 1от2[У[, а мантисса р равна частному от деления величины числа на степень двойки, равную порядку, т.
е. (10.4) каждого из сомножителей. Если при реализации фильтра длина„ слова должна быть постоянной, избыточные биты (со стороны младших разрядов) обычно отбрасываются. Эта операция приводит к ошибке, которая аналогична ошибке, получаемой при работе. квантователя с равномерным шагом. Сложение двух двоичных чисел конечной длины вообще не приводит к погрешности, за исключением случая, когда имеет место переполнение. Для изучения проблемы точности цифровых фильтров, связанной с ошибками квантования, необходимо иметь некоторые сведения о свойствах этих ошибок.
Большинство специалистов, работающих,в этой области, пришли к заключению, что получение теоретических результатов, которые, .как ~правило, хорошо согласуются с экспериментальными данными, облегчается при введении следующих трех ~предположений [1 — 8]: 1) ошибки квантования [У вЂ” [У„в]] можно рассматривать как случайные величины; 2) ошибки взаимно независимы и не зависят от У и Г; .. 3) плотность распределения вероятностей ошибок округления равномерно распределена на интервале от — 2 ' до 2 '. М н антисса всегда квантована и принимает значеиия между 1 и 'Ь. Переполнения могут ароисходить в порядке (который и определяет динамический диапазон фильтра). При выполнении арифметических операций с плавающей запятой и сумма, и произведение двух чисел с конечной разрядностью подлежат квантованию.
Поскольку это квантование приводит к появлению ошибок в системе, сумма и произведение двух чисел записываются следующим образом: Сумма [У+ Ц„= (У+ Г) (1+ е); (10.5) Произведение [У. Р1„=(У.~')(1 +7), (10.6) где В и у рассматриваются как случайные числа, 'являющиеся следствием округления или усечения, которые меняются в следующих пределах: — 2 '<В, "г'< 2 ', для округления, 2 '<В 1<0, для усечения. де анализ и вых фильтров только для случая выполнения арифметических операций с фиксированной запятой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
