Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 27
Текст из файла (страница 27)
$ О (г)го~ (г) г—. т-О Обобщенная связь между смещением полюсов и изменением коэффициентов фильтра [15] Рассмотрим передаточную функцию Н(л), заданную в виде Лl (г) Лl (г) и и -)-Х»-' П(1 — — ',, ) й=! !' ! где л; — полюсы Н(л) на плоскости г — ', Ь(, — коэффициенты фильтра, определяющие положение полюсов, и — число полюсов, а Ф(~) — передаточная функция нулей. Приравнивая знаменатели левой и пра)азой частей равенства (10.76), получим Найдем частные производные правой и левой частей (10.77) по ЬА: ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ В ЦИФРОвых ФИльтрАХ ,-=~ —,.' „; й ( — '.,') 1рт — ! --~ Положив для каждого т-го полюса г ==тт, получим ~т г' дЬА 1= ! Ошибки округления результатов арифметических операций для прямой и канонической форм цифрового фильтра 1-го порядка Пример 5.
Рассмотрим фильтр 1-го порядка с передаточнои функцией 198 ГЛЛВЛ Ш 1) Прямая форма. Полную среднюю мощность шумов округления на выходе фильтра можно получить, используя формулу (10.48): и-1 'л 1(г-1 вых 12 (2л1) ~~) Л 1 1)а 1 а 1 1) ) ' я 1 ( ' ) Здесь 1/(1- ф ') — передаточная функция для шумов обоих шумовых источников. Множитель 2 В правой части равенства (10.83) показывает, что шумы возникают В двух узлах фильтра. Значение правой части (10.83) можно найти с помощью вычета в единственном атолюсе л — '=р; при этом в Е',2л1 1 12 (2д1) 1 — 1)в (10.84) поэтому среднее значение общей мощности шума на выходе фильтра при прямой форме его построения становится равным Ев 2 оввых — 12 1 ив (10.85) 2) Каноническая форма.
Среднюю общую мощность выходного шума для фильтра, изображенного на фиг. 10.236, можно рассчитать, используя выражение (10.51): Передаточная функция для шума еь (пТ) равна 1+ ссг 1 1 — 1)г-1 Шум от другого источника е,(пТ) добавляется непосредственно на выходе, поэтому его вклад равен Ео(12. Вычисляя о', из формулы (10.86) по теореме о вычетах, получим выражение Е', ! (1+ ра) (р+а) а ! Е', овых — 12 ~ ~ (! — ф) ~ ~ + 12 ' (10.87) (10.88) которое можно упростить к виду 2Е', Е, '(а' + 2ар — 9') вых — 12 (1 Р) + 12 (1 Рх)~ Сравнение правых частей (10.85) и (10.88) показывает, что при канонической форме шумы округления меньше, если член Е, '(а'+ 2ар — р') 12 (1 — р') отрицателен. Если этот член больше нуля, предпочтительнее прямая форма. Если же он равен нулю, то при канонической,и прямой форме получаются шумы округления одинакового уровня.
ЭФФЕКТЫ КВЛНТОВЛНИЯ и ЦИФПОВЫХ ФНЛЬТВЛХ 199 ЛИТЕРАТУРА Ч. Циф оная обработка сигиалов, изд-во «СоПЫ! 1~МИ1Г14 Р Вс Ь 2. !аскаоп 1., Ап Апа!увЬ о! !хоппе-оП о!ве 1п й А асу о! И~Из! Г!1~1~ 1ЕЕЕ Т-18 !хв б (1971); есть русский перевод: '1,'ч'огй!еп й оп йе сснгасу о С1гси1! ~Могу, Лну Б., Влияние конечной длины слова на точность цн р Рубежная Радиоэлектроника, М ( ), в 6 (1973). 4.
1.аътепсе ч'. В., ()ае о! Оборона! ГнпсИопа 1п, е еырп с!е геаЫга1!оп г(ев ПИега йр$анх Адел 5. Вопгап!яо Г., Ре!!апйп! Г., РгоЫета е геа 'га.1 п б. БапйЬегд 1, 1ч'. Г!оа4!пя- о1п - онп -о , '1ч'. Г ! -Р ' 1-!хо пй-оН Асснпш!акоп (п ИяИа1-Г1Иег !хеа11- ~Мю11, В~~1, 46 (Ос!. 1967). 7. )асЬаоп 1., Оп !Ье 1и!егас(!оп о! !хоппе-о оЬе ап уп 4а! Га!1ега, ВБТ1, 49 (ГеЬ. 1970). Ргос 1пэ! Е!ес! Епя 112 (! 1965) Р' '! 1 Г14 га Кеайед чгИЬ Г1оа!!пя Ро1п1 ЕЕЕ 57 М~ 10 (О~!.
1969); есть ру~ыий ж~мод: Лиу Б., вы фильтров е ф Канеко Т., Анална погрешностей цифровых илы~ "еским" операц1:ям11 10. ТЬотаа,), В., 1ш В., Етгог РгоЫепь 1п Ьахпр!1пк !хергеаепва опа, и . Сопо. Дес. (1964). йе Кесопс$гнс!!оп о! Яапа!в (гоги 11. 1.ш В., ТЬогпаа,!. ~В,, Е1тог РгоЫегпа 4п е Оа1а, Ргос. Ха!. Е!ес!гочс Со11!., 23 (Ж~. %..
ес!га о! Ованнес! Яипа!в, В, 11 у 13. %н)гочч В., Яа(1а!!са! Апа!уа!в о1 Акр 1ИВ е- пап ' 12. ВеппеИ . К., Бр, Я, 11 !4. Ка!гене!воп !., Оп Еггогв 1п(тос!нсес! Ьу СогпЬ1пег( $атрЫпд апй анап !ха юп, ИЕ Тгапэ. Аи!ота!1с Соп!го1, АС-7, (Арп11 1962). 1 . !. Г., Бо Р сИ а1 СопаЫега!юпа 1п,йе !хеа11ъа!!оп о111пюаг Ия! а 15. КаЬег, тпе па 1са Ра1!ега, Ргос.
ЗпХ Аппиа! А!!ег!оп Соп!. (Ос!. ). 1П 1П КЕ- 6. 1с 1., А А 1 Ь о! 11гпИ Сус!ев Йне !о Мн!в1рЫсаЫоп Коппс!1щ 1п еснга!че 0~ Иа! Г!Нега, Ргос. 7~й Апп~~1 ег ~~ о 1. ( 17. Вопъап!ио Г., Сопа(ап1-1прн1 ВеЬач!онг о! !хеснга!че ИдИа 1!егв, гйеп Нонке 1ЧогМн~р оп Ир,'Иа! Г!Иег!пр,', Ь!. 1., 1~0. . %., К ' 1. Г., А Вонпс! 11т!4 Сус1еа 1п Г!хес!.Ро!п! 1п1р1етеп1а!!оп о1 Р!р1а! ГИ(ега, 1ЕЕЕ Тгапэ. оп С!гси!! Т11еогу (Ь!оч. 1971). 19. Кап Е. К., Аяяагча! 1. К., Егтог Апа!ув!а о! Э1р;Иа! Г!Иег Ещр1оушд Г!оа1!пя Ро!п! Аййте!1с, 1ЕЕЕ Тгапэ, оп С1гси!! Т!1еогу, СТ-18, !чв б (Ь!оч.
1971). 20. Раг11ег $, К., Нева 5, Г, 1.!т14 Сус!е Овс!!1а!!оп 1п Иф1а! Г1Иега, 1ЕЕЕ Тгапа. оп С!гси!! Т11еогу, СТ-18, !чв 6 (г!оч. 1971). 1 Г!Иега 21. ЕЬег! Р М., Мако !. Е., Тау!ог М. 6,, Очег(!очг Ово(11а$юпа 1п Жр$а! ! ега, ВБТ1, 48, Мв 9 (Ноч 1969). еп!а!!оп 22. Хас11аоп 1, В, Ка!аег Я. Г., №Вопа!й Н. 5., Ап АрргоасЬ !о йе 1гпр!етеп а 1оп о1 Жр,11а! Г!Нега, 1ЕЕЕ Тгапэ.
оп Аис(!о апг! Е!ес!гоасоиэ!1сэ, А(1-16, Ме 3 23. Рарон1!а А., РгоЬа~Ь!!!!у, Ггапс!от Чаг!аЫеа апс! ЯосЬаа!1с Ргосеааеа, Мс бгачг- 24. Рарон1Ь А., ТЬе Гонг4ег !п!едга! апс! 1!а Арр!!са4вопв, ЛМс(лгалч«Н! 1, 25. !игу Е. 1., ТЬеогу апс! Арр11са11оп о! г-Тгапа1опп №йос1, байеу, Ь!. 1'., 1964. Гл.ава 11' 201 е|=х,+х,— 1, е,=х,— 1, е Пример 2 Пример 1 Е2 Х1 Гз ~Г (О) — х1+х, соз О, (11.2) МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ Г. Баун 11 1 Введение П и син ри синтезе цепеи понятие оптимизации ~1" б очевидно.
Мы по би ае и,, олее или менее под ираем расчетные параметры (обычно это значения компонент) до тех по ор, пока реализация в некотором заданном смысле не станет оптимальной, приближаясь так Об ти идеальному ва иант . Д ЯСЬ таКИМ ООРаЗОМ К ПОЧ- му варианту. Для достижения этой цели нужно уметь оценивать реализацию на лю ц любом этапе ее синтеза. Последнее о ычно осуществляется и тем у м взятия отсчетов характеристики фильтра для и значений независимой переменной ( стоты) п ) и получения таким образом вектора ошибки Е: ной !например, ча- Поясним понятие векто а ошиб р ибки на простом примере из области нерекурсивной фильт а ии (гл. 6) " ф р ц ( л. 6), в которои методы оптимизации нашли широкое применение [2 31. Фил ильтр с откликом на единичныи импульс в виде последовательно т с и а!, а2, а!, и, О, ...
имеет частотную характеристику Н(а), равную Н (а1= (а2+ 2а, соя аТ) ехр ( — 1вТ), ности а та причем коэффициенты а, и а2 можно варьироват . Д ь. ~ля определен- также с целью предельного упрощении рим только модуль Н(а), обозначив его че (О) я примера рассмотвиде его через о'( ) и переписав в где Π— независимая переменная, а х! и х а 2 рассчитываемые коэффициенты (с точки зрения задачи оптимиза ременными). Идеальный отклик можно а з ции они являются пено задать с помощью исход- МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ йых данных для л дискретных значений О. Пусть таблица этих данных имеет вид е . ~(е) о' л/2 1 л О Все три элемента вектора ошибки можно записать следующим образом: Ез= Х,— Х2.
Они представляют собой разности между значениями д (О), вычисленными по формуле (11.2), и приведенными в таблице исходными данными. Требуемые условия будут полностью удовлетворены, если каждая из этих ошибок равна нулю и, следовательно, вектор ошибки Š— нулевой. Задавая переменным х! и х2 числовые значения, можно рассчитать соответствующие векторы Е. Результаты сведены в следующую таблицу: Возникают два вопроса: можно ли полностью, удовлетворить требуемым условиям, а если нет, то можно ли сказать, какой из двух вариантов лучше? При ответе на первый вопрос следует учитывать, что, имея две степени свободы, невозможно удовлетворить одновременно трем условиям, так что нельзя рассчитывать свести к нулю каждый из элементов Е.
Ниже всегда будет предполагаться, что число выборочных отсчетов и больше числа переменных т. С учетом сказанного следует рассмотреть, чтб такое наилучшее решение, т. е. получить ответ на второй из поставленных вопросов. Из приведенной таблицы видно, что во втором примере два из трех элементов ошибки равны нулю, поэтому он представляется ближе к идеальной реализации, чем первый пример, в котором только один элемент ошибки равен нулю. С другой стороны, инте- 14 Заказ № 55о ГЛАВА 11 МЕТОДЫ С "1ТИМИЗАЦИИ СИ11ТЕЗА Ц11<1'РОВЫХ ФИЛЬТРОВ 203 рес может представлять только ошибка в наихудшей дискретной, точке, так как именно на этой основе обычно задают исходные данные.
При этом второй .пример оказывается ничуть не лучше первого, поскольку величина наибольшей ошибки в обоих случаях равна единице. Возникшую трудность можно преодолеть, если принимать решение на основе скалярной величины, являющейся в свою очередь функцией вектора Е. Эта величина в теории оптимизации носит название целевой функции. Целевая функция служит скалярной мерой ошибки между полученной реализацией и исходными данными. Она должна уменьшаться по мере улучшения реализации и равняться нулю в идеальном случае, когда вектор Е является нулевым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
