Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Эти условия определяT ют точку в трехмерном пространстве, однако она относится'к числу недопустимых, так как в ней нарушаются ограничения, наложенные на у1 и у2..Это положение .всегда можно изменйть путем увеличения Л от'нуля до тех пор, пока не станут выполняться все ограничения. В этом случае потребуем, чтобы Л=1, как записано,под табл. 11.1. Затем одна (или несколько) из условных переменных изменяется до нуля, и мы получаем новую точку путем перестановки соответствующей условной переменной с независимой переменной, значение которой с начального изменено на нулевое.
В данном случае мы переставляем у, с Л, причем общий элемент соответствующих строки и столбца носит название ведущего. Ведущие элементы в таблицах подчеркнуты. Строка и столбец, содержащие ведущий элемент, также называются ведущими. Операция перестановки включает решение уравнения ведущей строки относительно независимой переменной, соответствующей ведущему столбцу, и подстановку результата в остальные строки. Для рассматриваемого примера это означает, что первое уравнение решается относительно Л, а результат подставляется в остальные пять уравнений.
В результате получается новая система уравнений, приведенная в табл. 11.2. Матрица ее имеет ту же размерность, а Л и у1 поменялись местами. Мы по-прежнему считаем, что находимся в точке, соответствующей нулевым значениям независимых переменных х1 и хь а также у1. Далее поменяем местами независимые переменные и соответствующие им зависимые переменные, начиная с первого столбца и продолжая вплоть до получения искомого решения, т.
е. до тех пор, пока все независимые перемен- и тодь1 оптимизАции с(штвзл 111111овых фильтров ные не будут относиться к переменным у, а все коэффициенты в строке Л не станут положительными. Для получения допустимого решения нужна одна перестановка, затем еще т перестановок для исключения переменных х из числа независимых цеременных и, .кроме того, ряд- промежуточных перестановок для получения по'ложительных коэффициентов в строке Л. Возвращаясь к табл.
11.1 и выбрав в качестве, ведущего 1-й столбец, мы видим, что для уменьшения Л следует х1 изменять в положительную сторону, причем максимально допустимое значение х1 определяется величиной у6. Поэтому 6-я 'строка становится ведущей; результаты перестановки у6 и х1 приведены в табл. 11.3. Две последующие перестановки, показанные в табл.
11.4 и 11.5, приводят к окончательному решению. 210 ГЛЛВЛ 11 211 Таблица 11.5 11.4. Алгоритм перестановки 0,25. — 0,5 0,5 — 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 '. 0,25 0,5 — 0,5 0,5 0,5 — 0,25 0,5 0 ха 0,5 — 0,25 0 0,5 х, (11.19) Решение: х, = 0,75, х,= 0,5 Ь 1 а Г5 (11.20) Таблица 11.5 — 0,5 1 0,5 0 0,5 0 1 а!, т.1-2 0,5 1 0,5 1 — 0,5 0,5 0,5. Перечислим формальные правила выбора ведущего элемента в 1-м столбце: Случай 1. Независимая переменная относится к переменным к (этот случай имеет место при первых т+1 перестановках).
а) Выделить знак коэффициента в строке Л. б~) Выделить в 1 м столбце элементы того же знака, исключая строки, соответствующие переменным х, в) При положительном знаке выбрать в качестве ведущего элемент, для которого отношение ас, т+2 а;1 минимально. г) При отрицательном знаке выбрать в качестве ведущего элемент, для которого отношение а!, т+~ а!1 м а ксн м аль но. Случай 2. Независимая переменная относится к переменным у (это достигается после первых т+ 1 перестановок), а) Выделить знак коэффициента в строке Х. б) При положительном знаке перейти к следующему столбцу, в противном случае в) выбрать в качестве ведущего элемент, для которого отношение Ф максимально. '~осле выбора описанным методом ведущего элемента нужна формализованная методика для получения новой системы уравнен!.;..
переставленными переменными. Она строится на основе алгоритма перестановки Штайфеля [71. М1.ТОДВ! 011ТИМИЗЛЦИ11 СИ11ТВЗА Ц!1ФГ'ОВЫХ ФИЛВТРОВ Как видно из таблиц, система уравнений представляется матрицей, содержащей 2п строк и т+2 столбца. Если ац и Ь;; — элементы старой и новой матриц соответственно,.а,. — ведуший элемент, то алгоритм перестановки записывается следу1ощим образом: (11. 17) Ьо=ао — ', ! э~ г, 1'ф з, (11.18а) Подставив выражение (11.17) в (11.18а), увидим, что при замене последнего уравнения на Ь,,=а,,-+а,,+ Ь„., ! ~ г, 1ф з, (11.186) методика вычислений становится более эффективной.
Отметим, что неравенство !=,Аг означает ~исключение ведущей строки», а 1ч~'=з сводится к «исключению ведущего столбца». Применение этого алгоритма иллюстрируется на численном примере с помощью табл. 11.4. Ведущий элемент уже был выбран ранее (строка 4, столбец 3), поэтому начнем с модификации ведущей строки согласно уравнению (11.17), результат которой приведен в табл. 11.6.
Следующий шаг — модификация всех элементов в соответствии с (11.186), не .принадлежащих ведущим строке и столбцу; результат приведен в табл. 11.7. Последующая модификация ведущего столбца приводит к табл. 11.8, а завершающая замена самого ведущего элемента на обратную величину дает результат, представленный ранее в табл. 11.5. На этом этап перестановки заканчивается. ГЛАВА Н 212 213 Таблица 11.7 0,5 0 1 0 0,5 — 0,5 .1 — '1 — 2 — 1 0,5 0,25 0,5 0,5 .0,5 0,5 0,75 0,25 0,5 .
— 0,5. 0,5 0,5 — 0,25 Таблица 11.8 0,25 0,5- — 0,5 0,5 0,5 — 0,25 0,5 0 1 1 0 0,5 0,25 — 0,5 0,5 — 2 0,5 — 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 ЛИТЕРАТУРА 11.5. Особенности практического применения минимаксной оптимизации В предыдущих разделах рассматривалась линейная зависимость ошибок от,переменных. В противном случае необходимо использовать итеративную методику с применением в начале каждого этапа линейной аппроксимации ошибок. Подробности этой методики можно найти в статье !81. Основной недостаток метода минимаксной оптимизации заключается в повышенных требованиях, предъявляемых в отличие от метода наименьших квадратов к объему оперативной памяти вычислительной машины (поскольку матрица системы имеет 2пХ Х (т+2) элементов). Известно, что решение определяется взаимным пересечением т+1 гиперплоскостей, однако сначала мы обычно не знаем, каковы соответствующие им составляющие ошибок, и приходится совместно решать все 2п уравнений.
Однако в отдельных случаях наличие информации о том, что некоторые из ошибок можно не учитывать, позволяет добиться существенного сокращения времени вычислений и значу1ельно снизить требования к объему, памяти вычислительной машины. 1. Вокал б. С. Я., бе!дег б. Ч., Реа!дп апд Ор11ппаа!1оп о1 С!гец!1а Ьу Сотрп1ег, Ргос, 1ЕЕ, 118, № 5, 649 — 661 (1971).
2. КаЪ!пег 1.. К., бо16 В., Мсйопеда! С. А., Ап АрргоасЪ 4о 1Ъе Арргох!гпа1!оп РгоЫып 1ог Йопгеспгяче Р!8!$а! г!1!ега, 1ЕЕЕ Тгапя. оп Аиро апй Е!ес1гоасоиаГ1са, А11-18, № 2, 83 — 106 (1970). МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ 3. КаЪ!пег 1.. К., 1.епеаг Ргодгатп Реа!дп о1 г!п!1е 1!прп1ае йеаропае (Р1К) П!дйе! г!1!ега, 1ЕЕЕ Тгапа. оп Аиро апй Е!есГгоасоизПса, А11-20, № 4, 280 — 288 (1972). 4. КаЪ!пег 1..-К., ТесЪп!с!цеа 1ог Реа!дп!пд Г!и!!е-Рига!!оп 1трп!ае-1хеаропае Р!д1- 1а! В!Кега, 1ЕЕЕ Тгапа. оп 'Сотй~ипгсаГгоп Темпо!оду, СОМ-19, № 2, 188 — 195 (1971) . б.
Не!та .Н. Р., Р!р$а! Р1!!ега ж!!Ъ ЕЧп!г!рр!е ог М!и!гпах Кеаропаеа, !ЕЕЕ Тгапа. оп Аиро апй Е!сс!гоасоияГ!ся, А11-19, № 1, 89 — 94 (1971). 6. ТЪа!сЪауаропд Р., Каупег Р. !. Ю., Еесигяче Р!8!!а! Р!1!ег Пеа1дп Ьу 1!пеаг Ргоягаппп!пд, 1ЕЕЕ Тгат. оп Аис1~о апг1 Е!есГгоасоиаГгса, А11-21, № 2, 107 — 112 (1973) . 7. Я!е(е! Е. 1., Ап 1п1гос(цс4!оп 1о Ъ!пгпепоа! Ма!Ъета!!са, Асас(ехшс Ргеаа, 1963. 8. 1аЪ!ъаЫ Т., %апа!аЫе Н., Ап !!ега!!че СЪеЬуаЪеч Арргохппа(!оп Ме!Ъод 1ог Ъ!еМог1~ 1:!еа1дп, 1ЕЕЕ Тгаиь'.
ол С!гсит1 ТИеогу, СТ-15, № 4,'326 — 336 (1968). Оглавление ОГЛАВЛЕНИЕ 215 68 68 71 Предисловие к русскому изданию Предисловие 5 б . 7' 7 9 11 14 14 14 15 17 ,Глава '1. Введение 72. 79 80 81 82 Глав 82 82 85 86 87 88 90 90 Глава 18 18 18 20 21 93 96 97 97 98 99 99, 103 103 103 103 104 105 106 107 22 26 27 29 31 35 39 40 41 41 43 44 45 45 46 Глава 48 49 50 50 52 53 Глава 54 55 55 Глава 60 62 65 65 67 1.1. История и тенденции развития 1.2. Сравнение аналоговых и цифровых фильтров 1.3. Время и частота 1.4, Ограничения 1.5. 1'ибридные системы 1.6. Методика синтеза 1.7.
Почему именно время и частота? Литература . 2. Введение в теорию дискретизации и а-преобразований 2.1. Введение 2.2. Модуляция 2.3. Дискретизация 2.4. Преобразование Лапласа дискретизованного сигнала 2.5. Представление дискретизованных сигналов в комплексной плоскости 2.6. Восстановление сигналов. Теорема отсчетов 2.7. Соотношение между плоскостью з и плоскостью а.
а-преобразования 2.8. Общее соотношение между сигналами и положениями полюсов 2.9. Обратное а-преобразование 2.10. Разностные уравнения, а-преобразования и передаточные функции Упражнения на а-преобразования Литература . 3. Общие характеристики цифровых фильтров 3.1. Общие замечания 3.2. Уравнение цифрового фильтра З.З. Передаточная функция цифрового фильтра 3.4.
Полюсы и нули передаточной функции 3.5. Устойчивость 3.6. Частотная характеристика 3.7. Формы реализации передаточных функций цифровых фильтров 3.7.1. Последовательная форма 3.7.2. Биквадратная форма 3.7.3. Каскадная реализация 3.7.4. Параллельная реализация 1в. Литература . 4. Синтез цифровых фильтров по данным аналоговых фильтров 4.1. Введение 4.2. Косвенный метод синтеза цифровых фильтров 4.3. Билинейное преобразование 4.4. Обобщенные преобразования аналогового фильтра нижних частот в многополосный фильтр 4.5. Замечания 4.6. Сводные данные по преобразованиям 4.7. Пример Литература, Глава 6. Прямой синтез цифровых фильтров 5.1.
Введение 5.2. Полиномиальные 'цифровые фильтры нижних частот 5.3. Синтез монотонных цифровых,фильтров Баттерворта нижних частот 5.4. Частотные преобразования [41 Упражнения Литература, а 6. Фильтры с импульсными характеристиками конечной длительности 6.1. Введение 6.2. Аналоговый и цифровой трансверсальные фильтры . 6.3.
Импульсная характеристика 6.4. Дискретная свертка . 6.5. Частотная характеристика 6 6 Полюсы и нули 6.7. Сравнение аналогового и рекурсивного цифрового фильтров 6.8. Квантование коэффициентов 6.9. Проектирование нерекурсивных фильтров методом частотной выборки . 6.10. Временные окна . 6.!!. Реализация фильтров Упражнения Литература . Глава 7. Методы преобразования Фурье 7.1. Дискретное преобразование Фурье 7.2. Теоре~мы и свойства дискретного преобразования Фурье .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
