Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 28
Текст из файла (страница 28)
При этом задача оптимизации расчета цепей становится эквивалентной математической задаче минимизации функции т переменных. Существует много способов определения этой функции. Обычно используют критерий суммы квадратов ср(х„х„, х )=(е',+е',+ +е„')1~г 1,11.4) и критерий максимума модуля ср(х~, х„, х )=1пахое,1, 1е,~, ..., !е„О. (11.5) Решения, соответствующие минимальному значению для этих двух альтернативных критериев, называются соответственно решением наименьших квадратов и минимаксным решением. С математической точки зрения предпочтительнее метод наименьших квадратов, поскольку вычисления .в этом случае носят достаточно элементарный характер.
Иная ситуация имеет место при использовании минимаксного метода, так как первые частные производные от 1р по переменным х1, х2, ..., х не являются непрерывными функциями. Однако с точки зрения задания исходных данных и работы с фильтром минимаксный критерий является весьма привлекательным. В связи с этим ему было уделено значительное внимание [2 — 6]. Было показано, что задача синтеза нерекурсивных фильтров оказывается вполне разрешимой с применением модифицированных методов линейного программирования. Пример полосового фильтра, рассчитанного рассматривауь1ми методами, приведен на фиг. 6.11. Обширные сведения по расчету полосовых фильтров с импульсной характеристикой конечной длительности содержатся в работе [2].
Для расчета рекурсивных фильтров методами оптимизации использовалось несколько критериев [6]. Коэффициенты и характеристики таких фильтров обычн~ связаны нелинейными соотношениями. В некоторых случаях оказалось возможным выполнить преобразования, позволяющие использовать методы линейного программирования.
11.2. Минимаксный критерий и импульсная характеристика конечной длительности ет=х2з ю,=О, е =1 — х. 3 й' (11.6) Фиг. 11.1. Особенности критерия максимума модуля. 14» Выше было отмечено свойство минимаксного метода,- состоящее в том, что первые частные производные от ф по х1, х2, ..., х,„не являются непрерывными. Поясним это на ~примере, положив х1 — — 1. Тогда уравнения (11.3) примут вид 205 ГЛАВА 11 204 е,=х,— 1, (1 1.7) е,= — 1, ЕЗ 2' Фиг. 11.2. Контурная диаграмма. (1 1.9) Е„+,.
— — — Е1 е,=х,+ ха — 1,, Ф е,=х,— 1, Еа=Х,— Х,, е,= — х,— х,+1, е,= — х,+1, (11.10) Характер изменения функции 1р при изменении х и использовании' критерия максимума модуля показан на фиг. 11.1,а. Функция имеет ярко выраженный минимум при х2 —— 0,5, однако ее производная терпит разрыв. Другое важное свойство этого метода можно получить, положив х,=О. В этом случае уравнения (11.3) принимают вид график соответствующей функции 1р показан на фиг. 11.1,б. Она имеет минимум не в одной точке, а на интервале 0(Х2(1, что иллюстрирует еще одно свойство функций с разрывными производными.
Теперь логично отказаться от ограничений на х, и рассматривать, го как функцию двух переменных. Для графического представления этой функции изобразим контурную диатрамму, каждый контур которой соответствует определенному значению 1р (фиг. 11.2). Видно, что контуры имеют острые углы, причем форума контуров может резко меняться. Последнее связано с переходом от равенства 1р одной из ошибок к равенству другой ошибки при изменении переменных и лучше всего может быть продемонстрировано путем введения нового определения целевой функции: 1р(х„х„..., х )=1пах(е„е„..., е„, е„„,..., е,„), (11.8) где Это определение эквивалентно исходному [см.
формулу (11.5)1, но имеет более удобную форму записи и по существу представляет собой первый важный шаг в направлении получения минимаксного решения. Теперь в численном примере нужно рассматривать шесть ошибок: Е6 = — Х1 + Х2. Пусть эти ошибки измеряются вдоль третьей оси, нормальной к изображенной на,фиг. 11.2 плоскости х1, х2. Теперь они представ- МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ляются шестью плоскостями ~пронумерованными в соответствии с индексами левых частей уравнений (11.10)1, а функция го определяется поверхностью, расположенной наиболее высоко над плоскостью х х. Она является поверхностью выпуклого многогран- 11 2. гоника, причем наинизшая точка поверхности совпадает, вообще во я с его вершиной.
Эта вершина образуется при пересечении ря, г т ех плоскостей, имеющих, согласно уравнениям (11.10), ном р 1,3 и 5. Три перечисленные плоскости определяют значения фу тр нкции гР вплоть до уровня го=0,5 включительно и создают трехстоонние контуры, изображенные на фиг. 11.2. Для больших значе- Р ний гР определяющими становятся еще две плоскости, четверта .Цестая, которые создают в итоге пятисторонние контуры.
Шестая плоскость с номером 2 не является определяющей ни в одной из точек и не влияет на окончательное решение. Представив графически все три плоскости, определяющие положение вершины в наинизшей точке, получим искомое решение: 206 гллвх и 207 (11.11) (11.15) Таблица 11.1 Е"=[ Е ] (11.12) 1 1 1 1 1 1 (11.14) кд — — 0,75, к,=0,5, 4Р =0,25., .:Будучи весьма наглядной, .графическая..методика'является громоздкой даже для случая двух переменных .и практически неосуществима при большем их числе. Поэтому следует разработать более формализованную методику. Она составляет содержание следующего раздела, а сейчас укажем три основных ее момента: а) постановка задачи как задачи оптимизации с ограничениями; б) достаточные условия решений (т. е. минимальное значение ~); в) алгоритм перехода от п. «а» к и. «б» с помощью конечного числа шагов. Отметим также также, что в,противоположность традиционнной задаче линейного ~программирования при исследовании операций мы не будем вводить предположение о том, что переменные х; положит льны.
Б е е, . удем считать, что эти переменные не ограничены ы могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. 11.3. Постановка задачи н ее решение Первый, уже выполненный шаг в направлении решения задачи заключается в увеличении размерности вектора ошибкн согласно формулам (11.8) — (11.10). Матричная форма записи этой операции имеет вид где вектор Е содержит 2п элементов. Следующий шаг, состоящий в добавлении новой переменной Л к каждой из ошибок, позволяет сформулировать задачу оптимизации с ограничениями. Примене- ние этой идеи к уравнениям (11.10) дает у,=х,+х,+Л вЂ” 1, у =хд+ Л вЂ” 1, уз — хд х,+Л, у4 хд х +Л+ 1 (11.13) УŠ— — — х,+Л+1, УŠ— — — х, +х2+ Л.
Задача оптимизации может быть сформулирована следующим об- разом: минимизировать Л так, чтобы Уд~ У2. ° ° ° е УЕ ~~ 0. методы оптимизации сиитвзл цифровых фильтров Эта формулировка эквивалентна исходной задаче, потому что для заданных х~ н к2 минимальное значение Л, удовлетворяющее ограничениям (11.14), равно.~р. В этом смысле новая переменная Л может рассматриваться как целевая функция. Матричная форма записи уравнений (11.13) ймеет следующий вид: 'У =Е*+ Л41, д 13 — вектор-столбец, все элементы котоРого Равны единиц~. Для практических вычислений систему уравнений удобнее представить в виде таблицы, содержащей 2п строк и т+2 столбцов (табл. 11.1).
Так как мы имеем систему из 2п уравнений относительно пд+1 независимых переменных, то целевую функцию 'можно записать следующим образом: Л =Ха,уд + Ь, (11.16) где д принимает т+1 значения в диапазоне от 1 до 2п, Если каждый из коэффициентов а; положителен, минимум Л достигается, когда все у;, выступающие здесь в качестве условных переменных, равны нулю.
Соответствующее им значение Л равно Ь. В заключение рассмотрим, как следует выполнять необходимые алгебраические операции над системой уравнений, представленной в табл. 11.1 [или вообще над системой (11.15)1 для получения зависимой переменной Л в виде (11.16). На первом этапе мы ищем так называемое допустимое решение ~т. е. решение, удовлетворяющее ограничениям (11.14)1; второй эт~п своди"ся к получению такой последовательности допусти,лых реше"и"., чтобы Х никогда не увеличивалась и приводила в конце концов к оптимальному решению. Начнем с табл. 11.1. Положим каждую из независимых пере- 209 208 ГЛАВА 11 Таблица 11.3 «2 0,5 1 1 0,5 0 1 1 1 0,5 0 — 1 — 2 У2 Уз 0 0 0,5 Уа 0,5 — 0,5 Таблица 11.2 х х2= 0 «2 Таблица 11.4 1 1 1 1 Ф У2 Уб — 0,5 0,5 0 1 0,5 0 Уб х( =0,5 — 2 — 1 У ° ! б 0,5 0,5 — 0,5 У,=0,5 менных х1 и х2, а также Л равными нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
