Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Следующий раздел посвящен детальному рассмотрению ошибок, возникающих в различных частях фильтра. 10.4. Эффекты квантования 10.4.1. Квантование входного сигнала Аналоговый сигнал х(1), подлежащий обработке в цифровом фильтре, должен быть, предварительно преобразован по амплитуде и времени в цифровую форму. В процессе дискретизации каждой выборки сигнала х(пТ) по амплитуде используется квантование по уровням с шагом Ео, приводящее, как правило, к появлению ошибки в системе. При анализе она рассматривается как аддитивный шум, поданный на вход фильтра.
Таким образом, предполагается что входной сигнал создается двумя различными источниками и содержит следующие компоненты: 1) входной сигнал без шума х(пТ); 2) аддитивный шум е(пТ): х (пТ)=х(пТ)+ е(пТ). (10.7). Относительно этог ш ого шума можно сделать следующие предположе-. ния: Ф 1) ошибка каждой выборки равномерно распределена в диапао/ до о/2 при округлении и от — Ео'до 0 при усечении; 175 ГЛАВА 10 х(пТ) Фиг. 10.3. (10.8) (10.9) аз О г г Ео ВЫХ— и=о Ео 12 (1— агл 1 (10.1З) (10.14) дг) о' = — '. ~~ ~Ь'(тт). (10.1О; юи О 2) ошибки различных выборок статистически независимы. Эти ия означают, что аддитивный шум — белый, с нуле— 1 вым средним и дисперсией о2, равной О/ теорию шумов линейных систем, можно рассчитать дисперсию (среднюю мощность) выходной шумовой последовательности. Рассмотрим линейную систему с передаточной функцией .Изображенную на фиг.
ф . 10.3. Выходная шумовая последователь- ,ность евы (и ( Т) вычисляется с помощью свертки импульсной характеристики Й(т1) с е, (пТ): е,„„(пТ) = ~ Ь (тТ) е,„[(п — т) Т1, л)-О которую можно рассматривать как взвешенную сумму случаиных .Величин с автокорреляционной функцией, определяемой выраже- нием ,е) „„гТ)= ~ е,„„(пТ) е,„„[(п — г) Т1=.
и О т-~~ 'Я 11 (тТ) е,„[(п — т) Т) /т [(т — г) ТЪ е,„[(п — т — г) Т Ъ, л О)и которое после осле суммирования по и принимает вид К,„„(гТ) = К (гТ) '~~ Ь (тТ) Ь [(т — г) Т1, Л ( реднее значение выходнои мощности у ) ш ма) можно исперсию с рассчитать, положив в (10.9) г=0, т. ~.' й,„„( О) =ог =й,„(0) ~ У (тТ) .
л)-О и Е'/12 (см. Приложение Обозначив здесь Й, (С,' через о или О/ 10.Б), получим ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ При бесконечной импульсной характеристике Ь(пТ) выходную дисперсию проще вычислять в плоскости е с помощью вычетов, рассчитывая, согласно дискретной теореме Парсеваля, значение контурного интеграла: Е Е 1 1) а' = — 1 ~ ь'(тт) = — ~ —, фн(Г) н*1Г) — 110.))) т О (см.
приложение 10В). Применение этой формулы иллюстрируется в примере 1, Фиг. 10,4. Цифровой фильтр 1-го порядка с импульсной характеристикой Ь(1) = ~а1гб(1 — лТ). и-О Пример 1. Рассмотрим систему 1-го порядка, изображенную на фиг. 10.4, которая описывается следующим разностным уравнением: у (пТ)=а,у(пТ вЂ” Т)+х(пТ)+е(пТ). Здесь 1а~(1. Импульсная характеристика этого фильтра определяется выражением аи (10.12) Подстановка этого выражения в (10.10) дает ' Н (г) — передаточная функция идеального фильтра, ио ее можно модифицировать так, чтобы включить ошибки округления при умножении, а также ошибки, связанные с квантованием коэффициентов. ГЛАВА (О 176 177 (10.15) (10.16) то 1 г1 Н (г) Н' (г) — 1 (10.17) (10.20) ( О Ег 243 Один полюс-- Два полюса-- 486 з1п 8 'х где [а,1„, =а, + у( Ео 4Вй Два полюса и-- одиннупь Фиг.
10.5. Перейдем теперь к анализу в области г. Так как 1 Н(г)= Подставив (10.17) в (10.11), получим еЗ ' ' ~' (10.18) вых= 12(2,Ц) ' (1 а г 1) (г 1, ) 1 ° 3 ачение о' вычисляется с помощью вычетов в особых точках н вых внутри контура интегрирования (в круге единичного радиуса). быми точками (полюсами) подынтегральнои функции ( ) ( ) '.на плоскости г ' являются точки г — =а, и г — =1/аь При ~ 1(( внутри, контура интегрирования размещается лишь один полюс г — '~=аь Вычет в этой точке равен 1/(1 — а(), поэтому огых= 2 (2 2~ц Х (вычет) = 12 (1 — аг) Ег (10.19) ых= 12 (2цД 1 т.
е. мы получили такой же результат, как и при прямом сумми- ровании 1см. формулу (10.14) 1. Тип положение Оценка дисперсии полюсов ЭФФЕКТЫ КВАИТОВАНИЯ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ Если, например, а1=0,9, то г Й = 12.0,19 На фиг. 10.5 приведены значения дисперсии (средней мощности шума на выходе) для трех, простых фильтров. Следует отметить небольшое уменьшение дисперсии при введении нуля, так что нуль способствует уменьшению шума на выходе. 10.4.2.
Квантование коэффициентов фильтра по конечному числу разрядов Выходная последовательность идеального цифрового фильтра описывается разностным уравнением у (пт) = ~~~1, а,х [(и — 1) т1 — ~~ ~ь,.у [(и — 1) т). При квантовании коэффициентов а; и Ь; она изменяется. Эффект квантования состоит в замене идеальных коэффициентов а; и Ь; на слова конечной длины. Возникающие при этом ошибки аналогичны встречающимся при проектировании аналоговых фильтров, когда требуемое значение индуктивности равно, скажем, 5,498 мГн, но после намотки катушки измеренное значение индуктивности может оказаться равным 5,52 мГн. Квантование коэффициентов а; и Ь; изменяет исходное положение нулей и полюсов синтезируемого фильтра на плоскости г — ' и, как следствие, приводит к изменению его амплитудной и фазовой характеристик.
При определенных условиях эта погрешность может нарушить устойчивость фильтра. С учетом квантования последовательность на выходе цифрового фильтра можно выразить следующим образом: М м у„, (пТ) =~ [а,]„,х [(и — 1) Т1 — ~ [6,1„,у„, [(и — 1) Т1, (10.21) (=О (=О При выполнении арифметических операций с фиксированной запя- той у; и 6; меняются в пределах — 2 '(у1, 6.(2 ' [6, 93.
179 ГЛАВА 1О ~~Р [а ([,г Н„,Я = 1+ ',~', 1ь;],„.-' (10.22) (=О х[ ( Фиг. 10.6. (10.24) (10.29) (10.25) ~Гь2+4 (10.26) а нули — в точках а, т 2а2 1' а1 4аоаг, 2а, (10. 27) — — — ь а,— 4аа, 4 2 2 1 У (10.28» а,=т„ Передаточная функция такого «квантованного» .фильтра равна'" Проиллюстрируем на примере системы 2-го порядка характер изменения положения нулей и полюсов при изме ен м нении коэффициентов. Пример 2. Рассмотрим разностное уравнение 2-го порядка у(пТ) =а х(пТ)+а,х(пТ вЂ” Т) +аах'(пТ вЂ” 2Т) + + Ь,у(пТ вЂ” Т) + Б,у(пТ вЂ” 2Т).
(10.23) Ему соответствует передаточная функция а, + а,г-' + а 2-2 Н(~) 1— полюсы которой размещаются в точках Изменение коэффициентов а((, а1, а2, Ь1 и Ь2 приведет к другим зна- НИЯ 1 т т т т4 И, КаК СЛЕДСТВИЕ, К ИЗМЕНЕНИЮ аМПЛИтУДНО-'(а- ЧЕНИЯМ 1, 2, 3, 4 т а. В некоторых стотной и фазово-частотной характеристик фильтр . случаях полюсы, первоначально расположенные в у т в стойчивой области достаточно близко к единичнои окружнос и т на плоскости г †', могут сместиться в область неустойчивости.
В связи с этим необходимо найти такие формы построения фильтров, для которых изменение коэффициентов приводит лишь к незначительному смещению полюсов. В;приводимом ниже примере показано, что различные формы имеют неодинаковую чувствительность к изменению коэффициентов. эФФеКты КВАнтОВАния В циФРОВых ФильтРАХ Пример 3. Рассмотрим систему 2-го порядка, расположение полюсов которой в плоскости Г-' показано на фиг. 10.6.
Полюсы 1 [ П ость| ' -" в точках ~-~=1/т[ и ~-~=1/г' Передаточн ф - ° ~~люсами можно записат~ щих форм: Н1 (а)— 1 (1 — г1г 1) (1 — г 2 ') 1 (10.30) Рассмот рим различные формы реализации этих передаточных функций. 1) Ка ) Каскадная (последовательная) форма. Она представлена на фиг.
10.7, причем . 14асиадная (последовательная) форма „„ф а,=т2. 2) Прямая форма Она представ 1а Ь,=тг+Ъ ~2 т 1~2 (10.З1) (1 .32) на .фиг. 10.8, где (10. зз) (10.34) гллвА и гиты кВАнтОВАНИя В цифРОВЫх фИЛ~ трАХ 180 181 (10.36) (10.35) (10.38) дг2 дав (10.40) дгд дЬз (10.42) дгз дЬ1 (10.41) дг2 Г2 г — г2 дЬд г| гд Видно, что если гд и г; одного знака дгд дгд дЬ ~ да, дг дгз 2 при любых возможных гд и г;, дЬ, да, дгз дг2 дЬ ~ да если г и г одного знака. Отсюда следует, что в большинстве практических случаев измене- ние Ь! и Ь2 приводит к большему смещению полюсов г! и гр, чем .изменение а! и а~.
Это означает, что в рассмотренном примере прямая форма построения, по-видимому, более чувствительна к эф- фектам квантования коэффициентов. Общую связь между смеще- нием .полюсов и изменением коэффициентов можно получить из формулы Кайзера [15~ при любых возможных г и гв, д+1 й (1- — *:„) (10.43) Лг,= ~!~~ ПФГ Фнг. 10.8.
Прямая форма цифрового фильтра. Найдем из формул (10.29) — ~10.34) следующие частные произ- водные: — — О, , дад дай (10.37) 1, ! дад 1 (10.39) дЬ гд — г| 1 гд ° (Вывод этой формулы приведен в приложении 101-.1 3 Фьициеита 1 а я! 22 Гт — положения по.!юсов идеального фильтра. Используя это соотношены, Кайзер до азал что чувствительность смещения полюсов к коэффициентам увели ается с ростом порядка фильтра при прямой форме его еализации. Таким об а Р зом, он пришел к выводу, что реализация филь- Р тра выше 2 го о п Рядка в прямои форме нежелательна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
