Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 20
Текст из файла (страница 20)
7.26, б), пропускающее только Н отсчетов (фиг. 7.26, в). Следовательно, «истинный» спектр времен«он последовательности свертывается с преобразованием Фурье от прямоугольной функции. В результате рассчитанный спектр может быть лишь аппроксимацией истинного (фиг. 7.26,г). Нежелательный эффект секционирования можно ослабить, если вме):то прямоугольного использовать другое временное окно. Главное требование при этом состоит в том, чтобы на концах выделяемои секции окно не имело разрывов. Г!римером используемой в спектральном анализе функции окна, имеющей простую форму за-' писи и удобной в использовании, является ы(А)=0,511-,, сов(2лй/(Л! — 1))1, А=О, 1, ..., Л' — 1.
1О Заказ % 550 146 глав 'к МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ !47 тируюеций нный спектр Ш точек О с й1 — 1 Вызванные секиионированием потные высакачасп1 отные состоавлякпщие,которых не было в Р['г"1 Разрывы 4' ~ /г причем х, (А) = х (А) [о (А), А =О, 1, Фиг. 7.26. Появление ложных высокочастотных составляющих спектра при сек- ционировании. а — 'бесконечная последовательность данных; б — прямоугольное окно; в — отрезок, взятый из исходной последовательности; г — периодическое продолжение отрезка.
Можно показать, что умножение на эту функцию соответствует интерполяции спектральных составляющих по формуле Х (и) = — 0,25Х (и — 1) + 0,5Х (и) — 0,25Х (и+ 1). Таким образом, вместо Р„„(п) получил. Р,(п)=~ Х,(п) ~', п=0, 1, Второе условие, состоящее в том, что энергетический спектр должен иметь заданное разрешение, можно понимать следующим образом.
Имеется дискретизованная функция с периодом дискретизации, выбранным согласно теореме отсчетов. Тогда в соответствии с этой теоремой анализу должны подлежать массивы последовательных отсчетов функции. Последовательность из Ж отсчетов будет иметь длительность 1ч'Т секундви может быть использована для вычисления спектра с разрешением .по частоте 111ч'Т Гц.
Поскольку Т фиксировано, то, выбирая М, можно получить нужное разрешение. Третье условие, касающееся статистической устойчивости, связано с тем, что анализируются отрезки данных длиной М, взятых из одной исходно' последовательности Р, (и). Статистическая устойчивость является самостоятельным критерием по отношению к разрешению и секционированию.
Один из простых способов добиться устойчивости состоит в усреднении нескольких спектров, полученных для последовательных М-точечных отрезков исходной последовательности. Такая операция иллюстрируется на фиг. 7.27. Фиг. 7.27. Сглаживание энергетического спектра. з, б, в, г — энергетические спектры, полученные соответственно для 1, 2, 3 н 4-го отрезков иременибй последовательности 5ОВЯООТ1ЙЕ чк1Й[й) О1мем51ОЙ5 ОР АяяАТ5 мпзт Ве Ах[2,м/2],ВХ(2,нг4) ЛЙО Х[М) ННЕЯЕ М = 2»»й АЙО Я 1$ $01ТАВСЧ СНОВЕН ТО ОЕТЕЯМ1ЙЕ 1НЕ СЕНОТН ОГ ТНЕ ОАТА ЗТЯ1НО ТО ВЕ АЙАСЧВЕО, тне еоо[члсемсе 5тАтемент нозт нхче тне бояне ЕОО1ЧАСЕЙСЕ [Х[ 1), АХ[ 1, 1) ),[Х[НХ2 1],ВХ [1, 1] ] тме Ронея 5Рестяпм 13 яетОянео 1н тнЕ Г1язт нАСГ ОР х ТНЕ А,С.Г, 15 ЯЕТЦЯНЕО 1Н ТНЕ ВЕСОМО НАСР ОГ Х ТНЕ РОНЕЯ 5РЕСТЯОМ 15 А ЯЕАС Н/2 РО1НТ ГОНСТ1ОЙ ТНЕ А.С Р ° 15 А ЯЕАС М/4 Р01НТ РОМСТ1ОЙ О1НЕН51ОЙ АХ(2,64),ВХ [2<З2) СОННОЙ х [126) ЕОП1ЧАСЕЙСЕ [Х [1), АХ [1,1] ), [Х [66],ВХ [1,1) ) 1ЙТЕСЕЯ й й = й 1 Й = 2 ° »Я Й1 = ЙУ2 САСС йгто[АХ й] ОО11=1Й Х[1) = АХ[ 1, 1] ° »2 » АХ[2, 1) ° »2 1 СОН) 1Й[еЕ О021 = 1еН Х[1 + Й1)» Х[1) 2 СОН11ЙПЕ й "- й 1 САСС йр Т4 [ВХ и) ЯЕТ[ейй ЕЙО Фиг.
7.28. Программа для вычисления энергетического спектра и автокорреляциоиной функции действительных временнйх рядов. 1О» глл[5а 7 Длинная последовательность разбивается на смежные М-точечные., отрезки, и для каждого из них вычисляется энергетический спектр. ' По мере увеличения числа усредняемых спектров спектральные со- ставляющие все меньше отличаются от «идеальных» значений, которые были бы получены при бесконечном числе усредняемых спектров.
Следует отметить, что увеличение Х пе приволиг к более устой- чивому. спектру в смысле уменьшения дисперсии вычисленного спектра относительно «идеального». Это объясняется тем, что, хотя время анализа увеличивается при удлинении записи, количество вы )исляемых спектральных составляющих возрастает, Вопросами спектрального анализа занимался ряд исследовате- лей; более глубокое их освещение можно найти в работах 19 — 111. На фиг. 7.28 приведен текст простой подпрограммы ИК1И, ко- торая позволяет эффективно вычислять энергетический спектр и автокорреляционную функцию действительных временных рядов последовательностей. ЛИТЕРАТУРА 1.
ВгасепсеП Р., Т!1е Гонг)е) Тгапв(оггп апа 1з( Лрр!1са11опв. А1с»згаъ-Н1111, 1». 1965. 2. Я!па!е1оп Р. С., А Язо1 В1Ы)оогар)1у о1 йе Гаэ1 Гопбег Тгапэ(огтп, 7ЕЕЕ Тгапз. оп Аиро апг! Е1ес1гоасоиз1кз, А1)-17, № 2, 166 (1969). 3. Вего!апс1 О. Р., Еав1 ГопПег Тгапв(оггп НаггЬ»аге, 1ЕЕЕ Тгапв. оп Лакло апс) Е!ес(гоасопв1!св, А1)-17, № 2, 166 (1969).
4. Соо!еу 1. 1Ч., Тпкеу .1. Ф., Ап Л1аог1111гп 1ог МасЫпе Сопарп(а(!оп о! Согпр!ех Гонг)ег Вег!ев, Май. о)' Сотр., 19, 297 — 301 (1965), 5. Вг10)загп Е. О., Моггок Р. Е., Т)зе Гав( Гонг)ег Тгапв(оггп, 7ЕЕЕ 5рес1гит, 4, 63 — 70 (1967); есть русский перевод: Брнгхэм Э., Морроу Р, Быстрое преобразование Фурье, ТИИЗР, 55, № 10, 21 — 29 (1967). (>. Сос)1гап %.
Т. е1 а1., Ъ~11а! !в йе Газ( Гопбег Тгапэ!огп1., Ргас 7ЕЕЕ, 55, !664 — 1674 (1967); есть русский перевод: Кокреп У. и др., г)то такое быстрое преобразование Фурье~, ТИ77ЭР. 55, № 10, 7 — !7 (1967). 7. 8йт!е1оп К. С., А Мейог) о! Сопзрп(!щ йе Газ( ГопПег Тгапэ1оггп, 1ЕЕЕ Тгапз оп Аиро апг! Е1ес1гоасоиз1кз, А1)-15, 91 — 98 (1967). 8. Не!шэ Н, Р., Еав1 Гоппег Тгапв(оггп Мейог! о! Согпрп1!пд Р!11егепсе Ег)па1!опв ап4 8ипп!а(1по Р!11егепсе Г!11егв, 7ЕЕЕ Тгапз. оп Аиро апг! Е1есггоагоивгка, АЬ-!5, 85 — 90 (1967) 9. В!п~ )зап1 С., Оос!1геу М.
Р., Тп)'еу,). %., Мо(~ргп Тес)зп!Чпеэ о! Рожег Брес1га) Ев1!гпа1!оп, 7ЕЕЕ Тгапв. оп Аиро апг! Е1ес1гоаааоиз11сз, АЬ-!5, 56 — 65 (!967). 10. ~1 е!с)з Р Р, Т)зе Иве о! йе Гав( Гонг!ег Тгапв(оггп 1ог 1пе Ев4!гпа1!оп о! Ров сг прес(га, 7ЕЕЕ Тгапз. оп Аиро апг! Е1ес1гоасоиз1кз, АЬ-15, 70 — 73 (!967). !1 К!с)загг!в Р. 1., Соп1рп11па Ре!!аЫе Рогег Ярес1га, !ЕЕЕ 5рес1гит, 14 83 90 (!967). Глава 8 ФИЛЪТРЫ НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНОИ ВЫБОРКИ Р.
Богнер 8.1. Введение Излагаемый в этой главе метод позволяет получать фильтрь| со строго линейными фазовыми характеристиками, которые удобно описывать в частотной области и просто программировать при моделировании на ЦВМ. По сравнению с большинством рекурсивных фильтров оии требуют большей памяти, но во многих случаях память удается использовать одновременно для нескольких фил ьтров. Эти фильтры близки по своим свойствам к фильтрам, сингезируемым методом дискретного преобразования Фурье. Как и нерекурсивные фильтры. они имеют импульсную характеристику конечной длительности.
Преимущества арифметики с комплексными числами особенно ощутимы при разработке цифровых фильтров методом частотной выборки. 8.2. Сущность метода Этот метод применим как к аналоговым, так и к цифровым фильтрам. но в последнем случае его легче реализовать на практике. Рассмотрим дискретизацию колебаний во временной области. Непрерывный сигнал с ограниченной в пределах )-11)г Гц полосой может быть точно восстановлен по его выборкам, взятым через интервалы 112 К=Т секунд.
Частотная характеристика идеального иитерполирующего фильтра при этом постоянна в пределах от — 117 до !Г Гц и равна нулю вне этих пределов. Соответствующая имо !)7 г пульсная характеристика имеет вид ® 2у 5)п п7!Т 1!т Каждая выборка сигнала является амплитудой такой импульсной характеристики. Фильтры на основе частотной выборки описываются аналогичными соотношениями, но в частотной области, т. е импульсная характеристика, ограниченная пределами )-т!2 секунд, 151 150 ГЛАВА 8 О, (8.1) О ное И 0,2 е" 0,1 О 1 г З Д 5 б а Типичная результирующая частотная характеристика, соответствующая системе на фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
