Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Колебания переполнения Колебаяия предельного цикла Фиг. 10.16а. лированными, и в пределе, когда входной ситнал равен нулю, на выходе рекурсивных цифровых фильтров наблюдаются периодические сигналы или предельные циклы. Таким образом, фильтры, импульсная характеристика которых должна спадать до нуля, могут не иметь такой характеристики вследСтвие квантования результатов умножения в различных'узлах фильтра. (Фильтры, считавшиеся асимптотически устойчивыми в смысле ограниченности входа и выхода, оказываются на границе устойчивости.) При условии, что не !происходит переполнения 15), ошибки,предельных циклов низкого уровня не нарушают устойчивости фильтра.
Приводимый ниже пример 4 служит иллюстрацией возникновения предельных циклов в цифровых фильтрах. Пример 4. Рассмотрим цифровой фильтр 1-го порядка с разностным уравнением у (пТ) =х (пТ) — 0,9 [у (пТ вЂ” Т)1. (10 56) Здесь у(пТ), х(пТ) — выходной и входной сигналы, а 0,9 — коэф- фициент умножителя.
Возможная схема построения такого фильтра показа'на на фиг. 10.16а. Идеальные значения выходного сигнала при подаче на вход последовательности 10, О, О, ... приведень! во втором столбце табл 10.1. В третьем столбце представлены выходные отсчеты, когда каждый результат умножения у(пТ вЂ” Т) на 0,9 округляется до ближайшего целого.
Из приведенной таблицы видно, что через 5Т секунд в фильтре начинаются колебания. Амплитуда колебаний -равна 5, частота колебаний — половине частоты дискретизации:фильтра. При разных порядках и коэффициентах умножителя ,фильтра амплитуда и частота колебаний будут различными. ЭФФЕКТЫ КВЛ11ТСВЛ11ИЯ В 1111Ф РОВ!э! Х ФИЛВТРЛХ После выполнения действий разностного уравнения в различных узлах фильтра могут возникнуть колебания переполнения, обусловленные ограниченным динамическим диапазоном фильтра. Эти колебания очень велики и весьма нежелательны, поэтому важно предупредить их появление.
Простой метод состоит в сбросе на нуль выходных отсчетов в тех узлах, где произошло переполнение. Более сложные методы разработаны Сэндбергом 116) и Эбертом и др. [21]. Однако не все происходящие в узлах переполнения представляют опасность. Джэксон и др. ~22) показали, что при расчете частичных сумм двух и более отсчетов может быть допущено некоторое переполнение. Пример. Пусть в некоторый момент времени в 8-разрядном цифровом фильтре складываются следующие числа: 0,0; +5,0; +6,0; — 2,0; — 4,0. Будем считать, что !параметры состояния фильтра с фиксированной запятой представляются следующим образом: Зкак Целая часа! ь -, Драбиая часа! ь 191 глава ~о 190 0,0 Таблица 10.2 Двоичный дополнительный код Десятичный вид' 0,0 Зпмппнон 1-л пстичная сумма 5,0 5,0 2-'я частична сумма Правильный отвея« без перепплнения 6,0 Переполнение, ' ревультат -5 неверен Деля«но быть 11 7,0 11,0 3-я частична сумма фиг, 10.1бб.
елая часть Дробная часть 2,0 Переполнение, результат -7 неверен Дплжно быть у П 9,0 4-я частичная сумма 1триложеиие 10А 11елая часть Дробная часть 4,0 5,0 Правильный ответ+5 Первый разряд является знаковым, следующие три представляют, н целую часть, последние четыре — дробную. Максимально возмож- ное значение числа равно 7'~/и. В табл. 10.2 показана последовательность формирования частичных сумм при сложении заданных чисел в дополнительном коде.
Из таблицы видно, что окончательный результат +5 верен, хотя при счете дважды имели место переполнения. Таким образом если значение окончательной суммы не выходит за пределы 1 Ф 15 динамического диапазона фильтра (в на1уем примере 7 /,в), временные переполнения можно допустить. Диаграмма формирования «астичных сумм;представлена на фиг. 10.16б. Пояснения к диагзамме: 1) 1-я частичная сумма.
Начинаем с точки А (О, О) и добавтяем 5,0, перемещаясь на 5 шагов против часовой стрелки в точ«у В (5, О). 2) 2-я частичная сумма. Перемещаемся от В (5,0) на 6 шаов в С( — 5,0). эффсКты Квлн о .влнтовлния в цифровых Фильтрах чки С смещаемся на 2 шага в 3) 3-я частичная сумма. От точки а с мма. От Р ( — 7 О) по часовой стрелке пе- Е или В) где пол чим ~ы~~~- ремещаемся на 4 шага в точку (или, где и п тельный результат +5,0. г1остроеиие цифрового фильтра сами известны как рекурсивные или Фильтры с нулями и полюсами имп льсной характеристикои как фильтры с бесконечнои и у ). О и также ствоятся на основе сумматоров, умно «рильтры . ни так фиг, 10.17.
Прямая форма цифрового филь Ра. 192 ГЛАВА 10 (10.57) преобразуется к виду 110.58) тде 1 )т 12)= ~ 112 110.59) 1-0 110.60) (10.61) Для последовательной формы 110.62) 110.63) у1пТ) НИЯ х1пт) Фиг. 10.20. лей и элементов задержки.
От фильтров с конечной импульсной характеристикой 1КИХ-фильтров) они отличаются только наличием обратных связей [они содержат 1я — 1) элементов задержки в цепях обратной связи и 1',г — 1) элементов в прямых цепях). Четыре рассмотренные выше формы построения фильтров представлены на фиг. 10.17 — 10.20. Фильтр прямой формы, изображенный на фиг. 10.17, имеет г+~ элементов задержки, причем общее число Фиг, 10.18. Каноническая форма цифрового фильтра (имеет меньше элемеито задержки, т.
е. меньшую память). Фиг. 10.19. Параллельная форма цифрового фильтра. эФФеКты КВАнтОВАния В БНФРОВых ФильтрАх этих элементов превышает порядок фильтра. Такую же передаточную функцию можно получить с меньшим количеством элементов задержки, например, их число может быть равно з при 8)г или г, если 8(г, причем большее из этих двух чисел равно порядку фильтра. Фильтры, для которых. число'элементов задержки равно порядку передаточной функции, называют каноническими.
Передаточная функция т Е12 н12)= — ', ~ Й;2 1 1 Далее, передаточную функцию Н(4 можно разбить на члены 1-го или 2-го порядка и построить цифровой фильтр в виде параллельного или последовательного соединения блоков более низкого порядка 1фиг. 10.19,и 10.20). Для параллельной формы Н (г)=К-~- Н,(г)+ Н,(г)+... +Н,(г)= а, у, + бг-~ =К+ ~,.- +-+~-+ч.— + -- Н1г) = КН,1г) Н, (л) ... Н„(г) = г-' — р, г-'+ ~г-'+ л причем жаждая ~фунтщия Н,-Я может быть реализована в кгнонической или прямой форме 1см.
фиг. 10.17 или 10.18 соответственно). 194 195 ГЛАВА )О Приложение 1ОВ Приложение 1ОБ Дисперсия ошибок округления Фнг. 10.22. — ~~ е +— о 2 ~,(/) Ф. (10.67) о овпх— (10.68) ( — Н)'О (В) Ь (10.64) о",„„=о,*„Н (/) Н* (/) ф. (10.69) (10.65) После интегрирования Выше были сделаны следующие предположения относительно ошибок округления при выполнении арифметических операций: 1) ошибка е равномерно распределена в диапазоне от — Ео/2 до Ео/2, где Ео — шаг квантования; 2) среднее значение в равно нулю; 3) все ошибки взаимно независимы и некоррелированы от выборки к выборке.
Фиг. 10.21. Плотность вероятности ошибок округления. Плотность распределения вероятностей ошибок р(е) при этих предположениях графически представлена на фиг. 10.21. Здесь Л(е) = —. 1 Ео Дисперсия ошибок по определению [231 равна где р — среднее значение, .в нашем случае равное нулю, а р(е) =0 при е Ео/2 и е( — Ео/2. При этих условиях' выражение (10.64) можно переписать следующим образом: Ео/2 а*, = 1 (~ — 0)' — не. Ео — Ео/2 ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ В ЦИФРОВЬ'Х ФИЛЬТРАХ Дискретная теорема Парсеваля 'Рассмотрим. линейную систему, изображенную на фиг. 10.22, где х(1) и у(1) — входная и выходная функции времени ' соответственно, а Ь(1) — импульсная характеристика линейной системы (фильтра).
Энергетический спектр выходной функцииу®, обозначенный через Лд,(~), равен ~241 ~„(У) =~, (У) 1Н У)! '. (10.66) где ~ (1') — энергетический спектр входной функции х(1), Н(~)— частотная характеристика фильтра. Среднее значение выходной мощности равно интегралу от энергетического спектра: С учетом формул (10.66) и (10.67) оно может быть представлено следующим образом: ~ я„,О)но)н" ))) )). Если считать, что х(~) — нормальный случайный )процесс с дис- персией о,'„то формула (10.68) упрощается к виду Эту формулу можно преобразовать из частотной области в область. переменной л, используя преобразование 2=0 (10.70) отображающее мнимую ось плоскости я в единичную окружность в плоскости г ~251 и преобразующее интеграл, который ранее вы- числялся в пределах от — оо до +оо, в контурный по единичной окружности.
197 196 ГЛАВА )О д 1 г-1 (10.79) (10.71) (10.80) Отсюда (10.72) ф= —. дг 12лг откуда й+! т дгт (10.81) (10.74) т=о Приложение 10Д (10.75у Приложение 10г 1+ аг-' Н(г) = (10.82) реализации этои передаточнои и 10.23б соответственно. Здесь а должно быть меньше единицы, Прямая и каноническая формы функции показаны на фиг. 10.23а и р — коэффициенты, причем а может быть любым.
(10.76) Вход еа(пт) ~т) ь: — =й( — — ) й=! 1=! (10.77> л "=,'„и (! — *„' ) /=! Фнг. 10.236. Каноническая форма фильтра 1-го порядка. (10. 78) Фиг. 10.23а. Прямая форма фильтра 1-го порядка. МЙ Продифференцируем выражение (10.70): . 1г —,12„ег2"111~ Таким образом, преобразование (10.70) сводит выражение (10.69) к виду овнх=овх 2 . Н (г) Н* (г)— (10.73) Из формулы (10.10) находим О⠄— Ов„У ~!а (1И7 ) Приравнивая правые части равенств (10.73) и (10.74), получим теорему Парсеваля: СО ~ Р(тг) = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
