Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если /с',<")г„т. е. вторая среда акустически более „мяг- кая", то фаза скорости частиц при отражении остается без изменения, в то время как давление меняет свою фазу на «. Наконец, при )~,= )г, отраженной волны не появляется, и рас- прострзнение во вторую среду происходит беспрепятственно. В этом случае, очевидно, С, р. с, где отношение — ' есть показа~пель преломления.
В слуср чае падения под косым углом при переходе из одной сре- ды в другую, при соблюдении условия l~, =К, (но р, Ф р,) будет происходить частичное отражение. Коэффициентом проникновения энергии из одной среды в другую следует назвать отношение интенсивности проходя- щей волны к интенсивности падающей волны: 4я,я, д,а,' Ж+ ю* Так как формула (3„5) симметрична относительно Я, и !с„ то коэффициент проникновения энергии будет одинаков независимо от того, идет ли волив из первой среды во вторую или из второй в первую. Например, при переходе из воды в воздух (или наоборот) я=0,0011, т. е.
0,9989 всей падающей энергии отражается обратно от границы. Для воды и стали х=0,013. Для воды и некоторых сортов дерева т=1, т. е. почти весь звук проникает из воды в дерево. При отрзжении на грзнице двух слоев воздуха с разностью температур Ь! легко найти, что х=! — 0,83.10 'Ьз'. Если да= 10', то х = ! — 0,83.10 ' — происходит почти полное проникновение и огра>кается лишь 0,83 .
10 ' звуковой энергии. Легко также найти отражение иа границе сухого и насыщенного паром воздуха (при той же температуре), для которого плотность примерно на 1!220 меньше, а скорость звука на 1 440 больше. Отраженная звуковая энергия составит 1,3 10 ' от падающей. Обратим внимание, что даже при очень малом ~, например, при переходе из воздуха в воду, звуковое давление в воде на основании уравнения (3,4) будет практически в два раза больше, чем в падающей из воздуха волне.
Р!олное давление в воздухе и в воде на границе почти точно равно удвоенному давлению в падающей волне. Если в воздухе и в воде применяется один и тот же приемнпк давления (например, гидрофон), то в воде звук, приходящий из воздуха, будет воспринят как столь же сильный, несмотря на то что в воду проникает ничтожная часть звуковой энергии. При использовании приемника скорости, согласно соотношению (3,3), получим во второй среде очень малые величины. Пусть отражение происходит от абсолютно твердой поверхности Я,=со. В отраженной волне фазз скорости противоположна фазе скорости для падающей волны, а амплитуда ее равна амплитуде падающей волны, поэтому сумма скоростей на границе равна нулю: (3,6) Так как фаза давления не меняется, то на границе давление удваивается: р, +р~ =2рг Таким образом, на твердой стенке при отражении будет узел стоячей волны и удвоенная амплитуда звукового давления.
Этот случай имеет место практически только в том случае, если реализованы условия образования плоской отраженной волны, а именно, когда размеры плоской отражающей поверх- !о ности значительно больше длины волны, и дифракционные явления на краях не меняют существенно общую картину отражения.
Если, наоборот, длина волны сильно превышает размеры отражающей поверхности, то благодаря дифракции звук огибает ее, плоская отраженная волна не возникает н связанного с ней увеличения давления на границе не происходит. По этой причине микрофон с жесткой диафрагмой (конденсаторный) при очень высоких частотах, когда диаметр диафрагмы микрофона гораздо больше длины волны, показывает в два раза большее давление, чем в бегущей волне; наоборот, при достаточно низких частотах он покажет истинное звуковое давление.
Такого рода поправки необходимо делать при акустических измерениях. Отражение от абсолютно твердой плоской поверхности при наклонном падении звука Пусть волна, падающая слева (рис. 5) на абсолютно твердук) поверхность под углом З, за некоторый промежуток времени распространяется на отре- У зок А0= 5. Длину от- резка можно выразить через координаты х„у точки А: 5=х со5 З вЂ” Р$1н 9. Величина 5 играет теперь в уравнении волны роль фазового пути, которую раньше, например в формуле (3,1), играла координата х, причем за положительное направление н а.- 5 при ято направление р с Рис.
5 пространения волны. Для падающей волны потенциал скоростей будет: ф А е~ )-)ос~ А с)))сос-йссосс+ЯУс)пс) ! (3,7) Аналогично для отраженной волны отрезок ОА' по ходу волны равен 5'= — хсозв' — уз)па', где а' — угол отражения,и потенциал скорости будет равен: ф А)В1( с+оссосс'ооус)осс) (3,8) Сумма Ф, +Ф) двух решений (3,7) и (3,8) должна удовлетворять линейному дифференциальному уравнению волны, что следует из принципа суперпознции. На границе (при х = 0) 41 Этому условию мы удовлетворим, приняв А'~=А, и 0'=0.
Следовательно, амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей и угол отражения равен углу падения. Итак, для потенциала скоростей получим: ф — ф + ф'~ — А влы+вхвы в) [егхв сов в + е-твхсовв] = 2А, соз (ях соз 0) еды+ вт мЯ И В этом выражении множитель е и '+вли" вв характеризует волну, бегущую вдоль оси у в отрицательном направлении (т. е. вниз — на рис. 5). Скорость этого следа волны найдем из соотношения с'= . в, так как волновое число в данном случае л в!пв ' равно й з(п 0. Следовательно, в с' = —. япв в „(ЗА О) Из формулы ясно, что фазовая скорость следа волны больше, чем скорость звука с. Множитель соз ~7гхсоз0) в уравнении (3,9), зависящий только от х, показывает, что амввлитуда волны испытывает периодические изменения по направлению оси х.
Таким образом, волна, бегущая вдоль оси у, „модули- рована" в пространстве по закону соз (кхсоза). В плоскостях, перпендикулярных оси х, амплитуда имеет везде одинаковое значение. Плоскость максимальных амплитуд мы получим, полагая ях соя 0 = ия. Расстояние между плоскостями максимальной амплитуды л 2 будет больше полуволны. Таким образом, параллельно отражающей поверхности образуются интерференционные полосы 2 с расстояниями между пучностями и узлами, равными (рис. 6).
Эти волны можно назвать „псевдостоячими". Параллельно отражающей поверхности, как уже сказано, бежит с волна со скоростью г' = —, модулированная по фронту. в!п в должно быть соблюдено при любых у равенство нулю нормальной компоненты скорости: лФ, дФ', — '+ — '=О. дх и'х Поток энергии в этой волне направлен параллельно оси у, т. е. вдоль границы. Если а = 0 (нормальное падение), то из уравнения (39) получим: Ф=2А,солих е'"' или КеФ=2А,соэ)сх.сох иг. В этом случае волна вдоль поверхности исчезает, и мы имеем процесс обычных стоячих волн с узловыми плоскостями, Х отстоящими на — друг от друга. 2 с+5У и Стоячая волна характеризуется ( 1 1 1 выражением, в котором переменные хи1входят раздельно в двух мно- У 1 ' ~ы Рис.
а Рис, 7 жителях. Важно отметить, что при а = 0 скорость следа волны (3,10) равна бесконечности, поток же энергии вдоль стенки равен при этом нулю. Совершенно такой же процесс, как при отражении под углом, мы получим при наложении двух плоских волн одинаковой амплитуды, идущих под углом друг к другу. Пусть волны идутв направлениях АА' иВВ', лежащихподуглом180' — 26 (рис. 7). Перпендикулярно оси у везде скорость частиц будет равна нулю, так как ввиду симметрии х-компоненты скорости в двух составляющих волнах будут равны и противоположны друг другу. Аналогичная картина волн, соответствующая отражению от стенки с другой стороны, будет иметь место и в правом полупространстве х)0. Картина отражения плоской волны АО от абсолютно твердой поверхности может быть, таким образом, формально представлена как наложение на прямую волну АА' ее,зеркального" отражения в плоскости )'=О, т.
е. волны ВВ'. Преломление волн на плоской границе двух сред Пусть границей раздела двух сред является плоскость 1 Х=О (рис. 8) и на эту границу раздела падает под углом 9, плоская волна. В первой среде возникает плоская, отраженная под углом Вь волна; во второй среде возникает преломленная под углом 0, волна.
Удельное акустическое сопротивление первой среды обозначим через К! = р, сь второй — К, = р, ам Рис. 8 Напишем отдельно волновые уравнения для каждой среды: с,! Ь „+ — „)= й„(первая среда), (3,11) Давления и нормальные компоненты скорости на границе раздела с обеих сторон должны быть одинаковы. Поэтому граничные условия могут быть записаны так: 0 «О «=и «-и Потенциалы скоростей в! и !! средах можно представить в виде: ф — А е) ! ! — а~«««! У) + А'е)! !««!«««!У! ! 1 ,1! 1 !) с-««+и У) (3,14) где а,=й!соэ9); Ь,=К)з!па); а,=)с,созВ;, Ь«=й,з!па«; (3, 15) Легко показать, что Ь, =Ь,=Ь. Действительно, скорости движения следа волны вдоль оси у в 1 и 11 средах, равные соответственно — и —, должны быть равны.
В самом деле, ь, ь, если вдоль границы с левой стороны движется максимум или минимум давления, то в силу непрерывности давления с правой стороны, параллельно ему, также должен двигаться максимум 44 или минимум давления, равный по величине и с той же скоро- стью. Таким образом, я я — — или Ь =Ь, Ов 09 1 и откуда О, с, япря с, с, (3,16) Лв с, Япа, Япа, Япа, ' Из этой системы уравнений можно определить отношения ам- плитуд: ов а, Р, а, А,' Рвов сов О, — Р,с~ сов Ов (3,17) А~ рв а„ вЂ” +— р, а, А, 2 р,с, сов О, + р,с, сов 0„ ' 2р,с, сов О, Рвов сова, + Р,с, сов О, ' А~ рв а, + Р1 Из этих формул при одинаковых плотностях двух сред (р,= =р,) после некоторых преобразований найдем: А,' яп (О, — Ов) (3,18) А~ в!п (Ов+ Оу) В случае одинаковых упругостей (р,с',=р,с,') Л; ся(0,— Ой А( ся (01+ Ов)' Формулы (3,18) и (3,19) совпадают с формулами Френеля для коэффициента отражения света, поляризованного соответственно параллельно или перпендикулярно плоскости падения'".
Подставляя а, и ав в уравнение (3,17) и используя закон преломления, получим: р. сся О, А; р, оси 0, А, 2 А~ р, с!я 0„ — + —— р, оси О, Л, р, сСяв, — +— р, с~и О, в Си. Ш у с т ер. Введение в теоретическую оптику. ОНТИ, М,, 1955, стр. 52 и 245. Мы получили закон Снеллиуса, который соблюдается не только для звука, но и для любых волновых процессов. Подставляя в граничные условия (3, 13) выражения (3, 14), получим: р~ (А~ + А, ') = рвА„ а,А, — а,А; = а,А,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
