Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Функция Ф, определенная уравнением (1,8), носит название потенциала скоростей. Возьмем от нее производную по времени: дФ Р дФ вЂ” — откуда Р=Р-у'. (1,10) Это выражение является единым уравнением движения для звуковых колебаний в жидкости или газе, которое эквивалентно трем уравнениям (1,4). Если, решая некоторую задачу, определить потенциал скоростей Ф, то скорости частиц и давление в каждой данной точке в любой момент времени могут быть найдены из равенств (1,9) и (1,10). Уравнение неразрывности д!ч(Ри) = —— др дг или — + — + — = —— д(р г) д(рч) (дрЦ др дк ду дг дг' (1,11) 14 Сформулируем теперь второе важное соотношение в теории движения жидкостей — уравнение неразрывности.
Оно выражает в сущности закон сохранения массы и математически формулирует тот очевидный факт, что при втекании через границы элемента объема потоков среды (положительных и отрицательных) масса данного элемента объема изменится, что вызовет соответствующее изменение плотности. Очевидно, что при нарушении однородности структуры среды (например, если в результате сжатия внутри данного элемента произойдет конденсация пара в виде капель или если при понижении давления в жидкости возникнет разрыв — кавитация), уже нельзя характеризовать изменение количества вещества в данном элементе просто произведением его объема на плотность.
При выводе уравнения неразрывности в его простейшей форме предполагается, что в процессе движения агрегатное состояние вещества не изменяется — среда является сплошной и однородной. Суммарное количество вещества, вытекающее из бесконечно малого элемента объема гЬ за единицу времени, равно б)ч(Ри)ао. За единицу времени произойдет уменьшение плотности и соответственно уменьшение массы на — — сЬ.
Эти две величины др дг нужно приравнять, и уравнение неразрывности запишется так В частной производной д(р$) д, =У, др — =а,— . '+ар. +1 дх дх дх дх можно пренебречь вторым и третьим членами, поскольку Зр,1 и их производные по х — малые величины; так же поступим и с другими члеиамн левой части уравнения (1,11). Тогда / д: "дч де 1 др (1,12) а так как — = — то др д(зр) дг дг ' б)чи =— д~ дг (1,13) Волновое уравнение Перепишем уравнение неразрывности (1,13) в несколько иной форме.
Используя соотношения (1,6) вместо †, напнгр Ре шем— б)чи =+ — —. ! др х дг Производную от р по г заменим на основании формулы (1,10) д'ф через р —,, а производные от скоростей 1, ч и ( по х„у дм ' и з, — через вторые производные от Ф по координатам х, у и з, согласно уравнению (1,9): д'Ф д'ф д'у р д'ф (1,14) Обозначая стоящий в левой части дифференциальный опе- ратор Лапласа через ЬФ и введя обозначение х х с'= — —— Р ро получим следующее уравнение: с'оФ= —,, дг-' (1,14а) (1,15) Это уравнение носит название волнового уравнения.
В нем имеется только одна неизвестная функция координат и вре- Написание уравнения неразрывности в виде (1,12) или (1,13) (т. е. его „линеаризация") допустимо в случае весьма малых деформаций. В общей форме уравнение неразрывности нелинейно. мени, Ф(х, у, а, 1). Решив это уравнение, можно определить все основные величины звукового поля, т. е. скорости частиц среды и звуковое давление. Если взять производную по 1 от обеих частей уравнения(1,14) и учесть, что на основании соотношения (1,8) и (1,10) то получится волновое уравнение в другой, часто употребляе- мой форме: с ДР= д,.
д'р дР ' (1,16) ь Физический смысл волнового уравнения может быть истолкован следующим образом. Лапласиан характеризует разницу между концентрацией некоторой величины в какой-либо точке и в окрестностях этой точки. Волновое уравнение выражает тот факт, что при избытке давления в некоторой точке оно стремится с течением времени уменьшиться, а при снижении давления оно стремится увеличиться. Решив уравнение (1,16), можно определить Ф интегрированием р по времени (Ф = 1 Р-Ф), а затем найти скорости час— Р тиц по формулам (1,9).
Аналогичное преобразование волнового уравнения с заменой потенциала Ф какой-либо другой величиной, определяющей звуковое поле (например, смещением или скоростью частиц), вообще говоря, не может быть сделано. В частном случае, когда волновой процесс происходит лишь в одном измерении, такое преобразование возможно. При выводе волнового уравнения, как мы видели„ делается ряд упрощающих предположений: 1. Вязкость среды отсутствует. 2. Среднее давление и плотность среды принимаются независимыми от времени.
3. В уравнении движсния постоянные во времени объемные силы не учитываются. Переменные объемные силы, действующие извне, отсутствуют. Внешние силы действуют на среду только через ее границы. 4. Постоянные скорости и их градиенты принимаются малыми. 5. Переменные скорости и их градиенты полагаются также малыми.
6. Предполагается, что движение является безвихревым (потенциальным). 7. Возникающие деформации среды полагаются малыми и связь между деформацией и напряжением полагается в форме прямой пропорциональности (закон Гука). 8. Среда, в которой распространяются волны,— однородна; переход вещества из одной фазы в другую не имеет места. Несмотря на большое количество сделаняых допущений, волновое уравнение в простейшей его форме (1,15) очень хорошо описывает основные свойства звуковых волн, что указывает на обоснованность вышеуказанных допущений в довольно широких границах. Отметим важное свойство решений волнового уравнения. Если функции Фь Ф,... Ф„ — решения волнового уравнения, то вследствие линейности уравнения и функция л Ф= ~1 аФг, где а,— постоянные величины, также является его решением. Таким образом, отдельные решения могут быть наложены друг на друга и их сумма будет решением волнового урав- нения.
Отдельные волновые процессы, подчиняющиеся волно- вому уравнению (1,15), при совместном существовании просто складываются; это свойство решений называется принципом суперпоаиции. Если колебательный процесс происходит по гармоническому закону, то можно положить Ф(х, у, е, ~)=Ч" (х, у, е) сова~, где Ч (х, у, е) — ункция только координат, а а — угловая Ъ частота процесса ы=- —, где Т вЂ” период колебания1. ПриТ д'Ф нимая во внимание, что уФ=о%'созе~, а —,=- — ь"чгсоза1, из уравнения (1,15) получим другое, более простое: ЬЧ~+й'Ф =О, где и= —. Это уравнение дает решение волновой задачи для гармонических колебаний и называется уравнением Гельмгольца.
Как мы увидим далее, постоянные с и и имеют вполне определенный физический смысл. 2 с. и. Ря<еьнвп ГЛАВА и ПЛОСКАЯ ВОЛНА Уравнение плоской волны Предположим, что в любой плоскости, перпендикулярной к оси х, все величины, характеризующие волновое движение в данный момент времени, одинаковы и изменение состояния движения происходит только при переходе от одной плоскости д'Ф д'Ф к другой. В этом случае производные —,, и —, в уравнении (1,14) равны нулю, а Ф зависит только от х и А Волновой процесс будет описываться уравнением: ~ д1Ф д'Ф дх' дм Это — волновое уравнение для ллоской волны. Вид это~о уравнения показывает, что все движения происходят лишь дФ дФ в направлении оси х, так как скорости ч= — — — и Г.
= — — всегда ду де равны нулю. Для решения уравнения (2, 1) введем, согласно методу д'Аламбера, новые переменные: и=сг — х, о =сГ+х. Тогда д'Ф д'Ф д'Ф д'Ф = — — 2 — +- —,, дх' дн' диде+ дУ ' и уравнение (2, 1) после сокращения примет вид: д'Ф д /дФ~ 18 Интегрируя его, найдем, что —,=Р(о), где Р(о) — произволь- дФ ная функция от о. Вторичное интегрирование дает: Ф (и, о) = ~ Р(о) сй+ Ф,(и) = Ф,(и)+ Ф,(о), где ) Р(о)аьо обозначен через Ф,(о), а произвольная функ- ция Ф,(и) появляется как произвольная постоянная интегри- рования по о. Возвращаясь к переменным х и 1, получим: Ф(х, 1) =Ф,(с1 — х)+ Ф,(сГ+х), (2,2) где Ф, и Ф,— совершенно произвольные функции от аргу- ментов заданного вида. Таким образом, общее решение волно- вого уравнения характерно не видом функции, а видом аргу- мента (сс-+-х), составленного из переменных х и т.
Из уравнения(2,2) найдем, согласно формулам (1,9) и (1,10): 5 = Ф1(сс Х) — Фг (сс+Х), (2,3) р = рсФ ~ (сс — х) + рсФ (сс + х), где Ф', и Фг — производные функции по их аргументу. Следо- вательно, р и $ выражаются формулами того же типа, как и Ф с двумя произвольными функциями. Пусть в начальный момент (с =0) в среде в интервале от х= О до х=а создано такое возмущение, что скорости в этом интервале равны нулю, а давление равно 2р,.
Условия в на- чальный момент могут быть самыми различными; они называ- ются начальными условиями. Первое из уравнений (2,3) по- зволяет тогда заключить, что в интервале от х =0 до х =а при с=О, Ф:(х)=Ф1( — х). Следовательно, согласно второму уравнению (2, 3), р (х) состоит из двух равных частей и в ин- тервале х от 0 до а при с=О р=2рс Ф1( — х) =2р,. Первая часть импульса р, = рс Ф1(сг — х) в момент даст р,=р, и $=~' при значениях аргумента с1,— х, лежарс щих в интервале от сс,— х= — а до сс,— х=О, т. е. между точками с абсциссами х=с1, и х=сс1+а (рис. 2).
Иными словами, первая часть импульса продвинется, ие изменяя своей формы, на расстояние с1, по направлению положительной оси х. Вторая частьимпульсарь — — рс Ф'(сс+х) дастр,=рви $= — л" рс в интервале аргумента от с1,+х=а до сг,+Х=О, или от х= — с11+а до х= — с1,; эта часть импульса, не изменяя своей формы, продвинется на отрезок с1, в направлении отри- 1Ь цательной оси х. Скорость 1 будет иметь значеиияр'и — Р— ' в области каждого из двух импульсов отдельно и будет равна нулю в той части пространства, где импульсы налагаются друг на друга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
