Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 2
Текст из файла (страница 2)
На элемент среды сЬ действуют силы давления со стороны окружающей среды: на грань АВС)) элемента сЬ вЂ” сила давления Р(х, у, а, 1)Нуае, направленная по положительной оси х, где Р (х, у, я, 1) †средн величина давления в области площадки АВСО; на грань ЕГСтН вЂ” сила Р (х + Их, у, я, 1) Фу ~й в направлении отрицательной оси х, где Р(х+Ых, у, г, ~)— средняя величина давления в области площадки ЕЕСтН. Ввиду малости Ых можно считать, что ет. ° ~ Р(х+Йх, у, з, 1)=Р(Х у, 2, 1)+д с(х= ~~ее~, =л~ т ° оч та" р~~ Суммарная сила, действующая на элемент жидкости в направлении оси х, будет равна: Р(х, у, г, ~)йу йя — Р(х+ Ых, у, я, 1) Иу Ж др др дх = — — „дх Ыу Ыг= — — сЬ. д.е Из аналогичных рассуждений получим компоненты сил давления по осям у и яс — — - аЬ и — — Ыо.
др др ду дг Кроме сил давления, на элемент гЬ могут действовать некоторые постоянные силы, пропорциональные массе элемента,— массовые силы — Х, У, Л, часто называемые также объемными силами. К таким силам относятся, нзпример, сила тяжести, элект ически ы в а.с си~ т. п. Прежде всего нужно считаться с постоянной во времени силой тяжести.
В реальных условиях в акустике мы имеем дело, в простейшем случае (при отсутствии ветра), с покоящейся в целом средой, ограниченной некоторым объемом или простирающейся достаточно далеко, в которой происходят некоторые местные движения колебательного характера. Так как действие силы тяжести компенсировано градиентом давления, существующим в покоящейся среде, то она не вызывает никаких движений. Ее действие сводится лишь к тому, что величина постоянного давления Р, является функцией координаты я. По направлению действия силы тяжести Р, постоянно увеличивается, а вместе с ней увеличивается и йлотность среды р.
Поскольку изменение Р, с расстоянием происходит медленно, можно в 'некотором ограниченном объеме считать величину Р, (а также и плотность среды) постоянной. Рассматривая колебательные процессы (звук), можно, таким образом, в уравнении движения отбросить постоянные массовые * При распространении звука в жилноствх р часто бывает сравнимо с чоа и больше См силы типа гравитационных. При дальнейших выводах примем, что в той области среды, где мы рассматриваем волновое движение, переменные объемные силы, которые, вообще говоря, могут существовать, отсутствуют.
Звуковые волны в зависимости от начальных и граничных условий могут быть чрезвычайно разнообразными. При рассмотрении задач возбуждения звука внешние силы войдут в граничные условия; задавая вынужденное движение на некоторой границе, мы учтем действие переменных сил на среду и сможем исследовать процессы излучения звука колеблющимися телами. Таким образом, ограничимся рассмотрением возникших вследствие движения границ колебательных движений, происходящих без непосредственного воздействия внешних сил на среду и распространяющихся в результате передачи движения посредством давления одних частей среды на другие.
Решение волновых уравнений путем введения переменных объемных внешних сил, действующих на среду во всем рассматриваемом объеме или в некотором ограниченном объеме, также вполне возможно, но мы не будем рассматривать эту задачу. Таким образом, при выводе волнового уравнения будем предполагать, что движение элемента жидкости происходит в отсутствие внешних сил.
При движении элемента ап в реальной среде возникают силы трения, пропорциональные при малых скоростях первой степени скорости движения. Примем, что силы трения отсутствуют, т. е. будем рассматривать волновое движение в идеальной жидкости (или газе). В уравнение движения входит ускорение частицы. Скорость частиц в жидкости меняется с течением времени в каждой точке среды. Пусть в точке О скорость равна и, в момент времени ~, и и, в момент времени 1,.
Через интервал времени И=1, — 11 частица среды переместится из точки О в точку О' на расстоянии йг= иМ по направлению скорости движения. Так как скорость меняется не только во времени, но и в пространстве, то скорость в точке О' в тот же момент времени отлична от скорости в точке О. Пусть эти скорости будут равны и1 в момент Г, и и2, в момент 1я.. таким образом, в момент Г~ скорость частицы, находившейся в момент 1, в точке О, будет их, а изменение скорости: их — иь Ускорение будет равно — Представим это выражение в виде: и,— и, и.' — и, 1в — й м — й + В пределе при очень малых йг первый член дает частную проди нзводную по времени —, которую в данном случае можно нз- дХ' звать местной или локальной производной. Величина з,--з, учитывает изменение скорости и вследствие перемещения в пространстве на отрезок йв и в пределе даст величину, называемую переносным ускорением.
Можно написать, что ди ди из — из — — —, Ьз = —, иМ. дз дз ди Переносное ускорение будет равно и —. Полное ускорение чадз' стивы выражается полной, или субстанциальной, производной и будет равно: +,) д(из+ и') ~ ди (1, 3) которое сводится, как можно показать, к тому, что скорость и должна быть значительно меньше скорости звука. При соблюдении этого условия можно полную производную по времени от скорости с достаточной точностью приравнять ее частной производной по времени: ии ди Й дз' !О аи ди ди — = — + — и.
дз дз дз (1, 1) Название субстанииольная производная указывает, что ускорение относится к движущемуся элементу вещества (субстанпии), ди При установившемся движении — =О, но ускорение движущез гося элемента среды все же имеется вследствие влияния втоди рого члена — и. Скорость и слагается из постоянной скорости дз и„(ветер; искусственно создаваемые потоки) и добавочной колебательной скорости й. Уравнение (1, 1) примет вид: ди ди+( +,) д(ио+ и') При выводе волнового уравнения предполаеаем, что в среде отсутствуют большие постоянные скорости и, следовательно, и, мало. Введем также ограничение переменных скоростей и' и будем считать их малыми. Скорость и может иметь большой градиент в пространстве (-) ди~ — ) (например, на границе быстро текущих струй или при расдз) пространении взрывных волн). На первом этайе ограничимся более простым случаем, когда больших градиентов как постоянной, так и переменной скорости нет.
Второй член в уравнении (1, 2), содержащий произведение двух малых величин, будет мал. Таким образом, будем считать, что выполняется условие: Напишем уравнения движения частицы среды оЬ, обозначив плотность среды через Р смещения частицы по осям координат через о, ч и Г и ее скорости через $, о1 и 1. По оси х уравнение движения будет иметь вид: Р до по= дх с(п.
А Сокращая на Ыо и выписывая аналогичные уравнения для дви- жения в направлении осей х, у и л, получим: др до дх' до др Р до ду' (1,4) дС др до дг' Уравнения (1,4) представляют компоненты уравнения движения по осям х, у ил. Они являются „укороченной" формой общих нелинейных уравнений гидро- и аэродинамики (уравнений Эйлера). Эти линеаризованные уравнения движения мы применим далее для вывода волнового уравнения. Если условие (1,3) не выполнено, то уравнения движения становятся нелинейными. Закон Гука ооРо = (Оо+ ао) (Ро + оР) = ооРо+ по аР + Ро ап + ао аР. Пренебрегая малой величиной второго порядка 6о 3Р, получим: оо ор + Ро оп = О.
илн ао ая Ро Яо ы В акустике можно считать, что величина Р подвержена лишь малым изменениям относительно ее постоянного значения Р, а покоящейся среде. Положим: Р = Р, + ор, где — ' ~ 1. (1,5) Изменение плотности связано с изменением объема. Пусть некоторый элемент среды о, с плотностью Р, имеет массу с,р,. Если объем немного изменится и станет равным по+ 8о, то плотность будет р,+ор.
Для данной массы элемента среды имеем: Величину - называют конденсацией, а величину — — объемной ьр ьоо Ро хо о де~0ормацией. Принимая во внимание (1,5), будем считать применимым закон Гука, согласно которому при малых деформациях избыточное давление, производящее деформацию, пропорционально величине деформации: Ьр ЪР=р=х — = — х —.
р, ооо Величина х называется модулем объемной упругости или просто объемной упругостью. Применимость закона Гука, т. е. линейность зависимости деформации от напряжения, является существенным допущением при выводе волнового уравнения. (1,б) Потенциал скоростей и уравнение движения Проинтегрируем уравнения движения (1,4) по времени. Из первого уравнения получим: ,1 р дх о Легко видеть, что р др р'дх р др 1 др р др р дх Согласно равенству (1,6), дР Ро, др х' отсюда р др х Ьрр, Ьр р др=р.р . =Р Согласно соотношению П,б), это очень малая величина. Таким образом, заменяя величину — — величиной — 1- ~, из трех урав- 1 др д ~р1 р дх дх~р )' иений (1,4) получим, перемещая операции дйфференцироваиия и интегрирования: Второй член в этом выражении мал по сравнению о первым.
Действительно дФ, дФ, ° дФо (1,7) Это значит, что движение в начальный момент является потенциальным. Для такого движения соблюдается условие: го1 и/г Р=О, т. е. движение является безвихревым. Функцию Ф, найдем в форме криволинейного интеграла: Ф(х,у, ) — ) (д х+д у+ д ае). Подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции Ф,.
При соблюдении условий (1,7) можно написать: нли, обозначан ~ — гй+Ф,=Ф(х, у, я, 1), Р ь (1,8) получим дФ ° дф ° дф (1,9) Таким образом, условия (1,7) выполняются в любой момент времени и движение будет потенциальным. Кроме того, легко видеть, что д( дч — — —. =0 ду д» ~~ — — =О, т. е. компоненты го1 и равны нулю и поле скоростей будет оставаться безвихрсвым. Итак, если в начальный момент зву- д.- "д1 д» дх 13 При интегрировании появляются произвольные постоянные !ы Ч„(,, которые, очевидно, являются функциями только координат, но не времени; они представляют собой компоненты скорости в начальный момент времени 8=0. Предположим, что ати скорости являются производными (со знаком минус) по осям координат от некоторой единой функции Ф,(х, у, г): ковое поле является безвихревым и потенциальным, то и в дальнейшем оно обладает этим же свойством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
