Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 4
Текст из файла (страница 4)
На рис. 2 показано положение и величина составляющих давления суммарного импульса в начальный и в два последующих момента времени. Если в начальный момент времени имеется некоторый произвольной формы импульс давления р, (или скорости (,), за- .данный в функции от х, то из уравнений (2,3) можно определить обе произвольные функции Ф, и Ф„вообще говоря, не равные друг другу. С течением времени импульсы вида Ф, и Ф, будут перемещаться, не изменяя формы, первый по направлению + х, а второй по направлению — х.
Из приведенного рассуждения совершенно ясно, что некоторая фаза любого импульса, соответствующая значению а аргумента функций Ф, или Ф, (начало, конец, максимум или другая характерная точка в случае. импульса сложного вида) за время от ~1 до ~я для первой части импульса, выражаемой функцией Ф, от аргумента с1 — х, переместится из положения х,= с1, — а в положение х,= с1, — а и для второв части, выражаемой функцией Ф, аргумента с1 + х, из положения х~ = — с1, + а в положение х~ = — с~, + а.
Таким образом, для первой части импульса, распространяю- щейся по направлению +х, имеем: х,— х, =то, ьв — й а для второй части импульса, распространяющейся по направ- лению — х, х,— х, = — с. Из этих выражений совершенно ясно, что введенная ранее (гл. 1) / х величина с = у — имеет физический смысл скорости распростра- Р пения произвольного импульса, возникшего в каком-либо слое среды. Если х и р от частоты не зависят, то и скорость с не зависит от частоты, т. е. дисперсии звуковых волн нет. В области ультразвуковых волн х в газах существенно зависит от частоты, вследствие чего появляется дисперсия.
Выводы о неизменности формы импульса относятся в одинаковой мере к импульсу давления или импульсу скорости частиц, а также и к импульсу, содержащему сочетание того и другого, и справедливы, если отсутствует дисперсия. Всякая (плоская) деформация среды, возникшая в некотором слое в начальный момент времени, передается в виде двух импульсов, разбегающихся в противоположные стороны со скоростью с, причем форма импульсов, т.
е. вид функции ф, и ф, (или р и 1), при распространении не изменяется. Такой процесс распространения деформаций в упругой среде называется плоской волной. Так как скорости колебания частиц направлены по линии распространении волн, то в данном случае мы имеем продольные волны. Когда импульс возникает в газе около жесткой стенки, совпадающей с плоскостью х=О, волновой процесс не может распространяться по направлению отрицательной оси х и решение волнового уравнения может быть написано в форме: ф=ф, (с~ — х), (2, 4) 1=ф', (с~ — х), (2, 5) р = рс ф, (сг — х). (2, 6) Если движение среды на твердой границе (х=О) (или вид функции $ при х=О) задано в функции времени, то вид функции ф', и ф, (с1 — х) будет известен и волновой процесс будет вполне определен во всех других точках среды в любой момент времени. Таким образом, в данном случае для полного определения вида волнового процесса не надо задавать двух независимых начальных условий для давления и скорости частиц, а достаточно задать лишь одно граничное условие либо для 1, 21 Разлагая правую часть в ряд, имеем: Пренебрегая малыми членами порядка выше первого, получим: р-тРо —.
ор Ро Так как зто выражение имеет форму закона Гука, можно заключить, что (2,10) я тРо Это соотношение, как ясно из вывода, выполняется лишь для малых амплитуд колебаний. Для скорости звука при малых амплитудах получим: (2,11) формулы Более точное выражение получим, используя (2,8) и (2,9): Ро откуда о — 1 с=~/Ю. (Р) =со(Р ) -со(1+т — ор+ ) (212) т. е. скорость звука в газе зависит от амплитуды колебаний. При больших амплитудах Р в области сжатия (р)0) скорость распространения волны будет больше, чем в областях разрежении (р<" 0).
Это приведет к изменению формы волны: форма синусоидальной волны будет искажаться, в ней возникнут гармоники. Для волны импульсного типа, где р имеет постоянный положительный знак, с) с,. Можно было бы предполагать, что при медленных звуковых колебаниях адиабатный закон не соблюдается, так как температура между нагретыми и охлажденными участками среды будет успевать выравниваться за период колебания.
Однако такое заключение не оправдывается. Выравнивание температуры должно происходить между частями звуковой волны с различной температурой, но части волны с наибольшей разницей температур лежат на расстоянии полволны друг от друга, и хотя при уменьшении частоты увеличивается время, в течение которого температуры могут выравняться, но в той же степени растет расстояние между слоями с разной температурой. В результате при понижении частоты условие адиа- батности будет выполняться не менее строго, чем при высоких частотах. Как показывает анализ явлений теплопроводности, в волне* малые отклонения от адиабатного закона наступают не при низких частотах, а, наоборот, при чрезвычайно высоких.
Откло- нение от условий адиабатности происходит также при рас- пространении звука в трубе с металлическими стенками. Од- нако на скорость звука это влияет очень мало. Адиабатный модуль упругости для жидкостей теоретиче- ски определять можно лишь из эмпирических уравнений со- стояния. Изотермический модуль упругости находят из опыта. При нормальном атмосферном давлении (Р, = 1,016 . ° 10' дик1сма) и температуре ОоС скорость звука в воздухе (р,.=1,29 1О ', 1=1,41) будет: с, = 3,33 . 10' см/сек = 333 м/сек. Среднее из большого числа измерений дает очень близкое к теоретическому значение се=331,5 м/сек.
Если предполо- жить, что звуковые колебания происходят согласно изотерми- ческому закону (Рп =сопз1), то при выводе соотношения (2,10) следовало бы положить 7=1 и тогда скорость звука в воз- духе составила бы 1,79 10' см1'сек. Эта, несогласная с опытом, величина была теоретически найдена Ньютоном. Введенная Лап- ласом поправка на адиабатность звуковых колебаний разрешила противоречие теории с опытом.
Таким образом, опыт весьма убедительно подтверждает предположение об адиабатности про- цесса звуковых колебаний. Для других газов теоретически вычисленное значение скорости также прекрасно согласуется с опытом. На основании уравнения Клапейрона Р,с,= — ' =ттТ(где Т— Ра абсолютная температура, па — удельный объем, тс — газовая 8,315.10' эрг постоянная на 1 г газа, равная ' — , а лт — молева град ' кулярный вес), получим: = ~ нт=)7"'~"'1т Из втой фдрмулы ясно, во-первых, что с не зависит от вели- чины постоянного (атмосферного) давления Р,.
Это — следст- вие того, что при увеличении Р, в той же мере растет и ра, а с, определяемое отношением Р, к р„не меняется. Во-вторых, учитывая, что с изменяется. пропорционально 71Т, можно напи- сать, что скорость звука при температуре 8 еаа са — — саУ1+аз са+ 2 8, а См. Рйлей. Теорин звука, т.
11, 8247. Гостелизлат, М., 1955. где х= — — коэффициент расширения газов, с,=~'Т.К 273 ( (скорость звука при 0'С). При комнатной температуре (20'С) См= 3,43. 10' см/сек. На каждый градус скорость звука увеличивается примепно на 60 см/сек и при 1000'С будет равна С,мь — — 7,20 10 см/сек. В других двухатомных газах т имеет ту же величину, что и для воздуха, и поэтому для водорода с плотностью 0,09 10 ' %м' скорость звука будет в у †' = 3,8 раза больГ52э У о,'оэ ше, чем для воздуха, и составит при 0'С около 12,6 10ьсм/сек= = 1260 м/сек.
Для жидкостей при вычислении звука приходится пользоваться опытными значениями адиабатного модуля объемной упругости. Так, для воды при 17'С х„=2,12 10" дан/см', рм= =0,999 г/см', 7=1; откуда см — 1,431 10' см/сек, что прекрасно сходится с опытом. Несмотря на большую теплопроводность жидкостей по сравнению с газами, выравнивание температур в звуковой волне не успевает происходить, и распространение звука в жидкостях является, как и в газах, адиабатным процессом. Скорость звука в воде возрастает примерно на 4,5 м/сек на 1 градус, а в зависимости от давления — приблизительно на 0,05 м/сек на 1 атм или на 0,005 м/сек на 1 м глубины. На глубинах 100 — 200 м (в теплых морях)и1 — 1,5 км (в океанах) скорость звука имеет минимум.
Так, в Тихом и Атлантическом океанах с э =1490 м/сек, тогда как на поверхности океана в тропиках с= 1530 м/сек. Скорость звука в воде в ззвисимости от температуры и солености определяется эмпирической формулой: С = 1450+ 4,209 — 0,037эх+ 0,018Р+ 1,14 (в — 35), где в — соленость в миллиграммах на литр или промилле (ь/м), Р— давление в атм. Скорость звука в твердых стержнях выражается формулой, аналогичной с=1/ — ', вывчденной для газов и жидкостей.
В этой формуле следует положить х=Е, где Š— модуль Юнга. Для продольных волн в сплошной среде х=Е ((+ и)(( — 2и) ' где й — коэффициент Пуассона, так что скорость продольных волн У г Г ()+и)(1 — 2и) Вещество рс 1,29 10 в 1,20 1О ' 0,09 1О а Воздух, 0' и 760 мм рт. ст. Воздух, 20' и 760 мм рт. ст Водород, 0' и 760 мм рт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
