Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Легко убедиться, что для функции Я=дг получится более сложное дифференциальное уравнение: д'О в дЩ 2с',-, др дг' г' ре-м рс сое р' (4,б) Скорость частиц можно представить в форме параллельного соединения двух скоростных потоков: ч= — — ! — = — + ~ =ч.+а Р ° Р Р рс рею' рс рорг где д, — активная компонента скорости частиц, совпадающая по фазе с давлением, а д,— реактивная компонента скорости чаи стиц, отстающая по фазе на —. 2' Выражение (4,б) следуетучитыватьпри измерении силы звука методом диска Рэлея. Известно, что легкий диск стремится повернуться в постоянном или переменном потоке жидкости (или газа) так, чтобы его плоскость стала перпендикулярной к потоку. Вели круглый диск радиуса Я висит на нити с крутильной постоянной й и плоскость его составляет угол 6 с направлением звуковой волны, то угол отклонения диска под действием звука вычисляется по формуле: сс= р з юп26 ~у 2рРРс Диск будет наиболее чувствителен, если 6= с,т.е.э1п 26=1.
Измерение диском Релея позволяет определить ср ', но для 61 ской волне, где д= Р . Скорость частиц отстает по фазе от рс ' давления на угол р, являющийся фтнкцией г; модуль амплитуды скорости частиц равен ~д )=, т. е. всегда больше ь~ рс соер ' чем ~б . В волновой зоне (йг=ь1) сову — 1 и в(пср-эО, и сферс ' рическая волна на больших расстояниях приобретает свойства плоской волны; для нее д=-~, однако давление и скорость рс' частиц изменяются обратно пропорционально г. В ближней зоне р и ре (Ь с 1),совр- йг, э1п1-э1 и р-е —.
В этом случае и= Р 2' рею и волна скорости частиц отстает по фазе на 90' от волны давления. Амплитуда -скорости частиц в ближней зоне убывает с. расстоянием обратно пропорционально г', тогда как р изменяется обратно пропорционально г. Из соотношения (4,5) следует, что скорость частиц выражается через звуковое давление формулой: вычисления р по формуле (4,6) необходимо знать еще и солт. Вблизи источника величина созт может быть значительно меньше единицы и нельзя считать, что р и д связаны соотношением р =рсд, как в плоской волне. Из равенства (4,5) условие неизменности фазы скорости д де д частицбудетиметьвид: е(м~ — 7«г — ч) — „г-1-д («~ — Ь' — 'р)=0, откуда фазовая скорость волны скорости частиц д(юе — «г — т) дг дс 1 1 е с'= — -= — = с(1+ —,,~ = —.
° дЕ д(„,Е Лг т1 + ««г«) аа т ' дг Из этого выражения ясно, что с') с; в ближней зоне с' будет намного превышать с. Выясним физический смысл постоянной а в уравнении (4,4). Определим амплитуду объемной скорости А, через бесконечно малую сферу, окружающую точечный источйик: 4«г«е-з«г.е Л' 4«а Тогда (4,7) Учитывая, что звуковое давление и потенциал скоростей Ф дФ связаны соотношением р = р =у«сФ, мы видим, что величина де а А« 7 «г 4«г — = — представляет амплитуду потенциала скоростей и для точечного источника можем написать: Ф .4« /( С вЂ” «Ы 4«г Величина 4ч появляется в предположении, что точечный источник излучает в свободное пространство, т.
е. в телесный угол 4е. Если излучение источника с объемной скоростью А, происходит в пределах конуса с телесным углом «е, имеющего жесткие стенки, то Аа а =уер— Величина объемной скорости А, через бесконечно малую сферу (или бесконечно малый сегмент с телесным углом 2), окружающую источник, называется ироизаодитсльностью источника. Если реальная сферическая поверхность радиуса г«колеблется по закону 7«е' ', то на поверхности сферы должно соблю- даться граничное условие д(»,,1)= д,е'"', откуда на основании (4,4) и (4,5) е д'о ° 4 — дч =РлР 4„, ' ~з1н 94'е ~ '~ ~, (4 где Я,= 4"'~ оЬ вЂ” амплитуда объемной скорости через поверх- ность сферы, а Ро — значение угла Р при»=». Уравнени (48) показывает, что реальный сферический излучатель радиуса», с объемной скоростью Я, будет эквивалентен точечному источнику с производительностью О.
Ао= Яо эщ то= г ~+Л го очевидно, что А, всегда меньше, чем Ом Используя выражение а через Яю можно звуковое давле- ние записать в следующей форме: Оэ »( а — ли — ги+т, м в г Р 4л»1.»1 ьли »« Таким образом, мы учитываем замену реального источника (с объемной скоростью Я,) точечным источником, вводя в выра- '~"--:) жение для р множитель и отсчитывая фазовый 'гг1+ Л' П путь не от начала координат, а от поверхности сферы, т.е. исходя из расстояния (» — »4). Сопротивление излучения пульсирующей сферы Суммарная сила давления звукового поля, окружающего сферу, нз ее поверхность 5 должна по величине равняться силе, приводящей эту поверхность в колебательное движение.
Отношение этой силы к создаваемой на поверхности скорости называется полным механическим сопрогпивлвнием, или механическим импедансом Щ. На основании равенств (4,4) и (4,5) получим: Л= =5рс соз Р, е то= Яр(г,) l ч(~ д =5рс(соРт,+ у'"з1и Р, сов Р,)= лв »2„. лго 'ЧРС~1 4 Лигй+I~ 1 Лага~ =ЙО+./~ О= = ~Рс(К +Л".1. Здесь А', и 1' обозначают соответственно механическое активное и реактивное сопротивления, з гго и Уи — безразмерное активное и реактивное сопротивления.
Йи=о Рс Ро=ЮРс 1 + лиг! 4 с 1 + Фигии' (4,10) 3 ( иг„г) 1+ й'г„'1+ й'гии 1 + й'г! Зм 4 где М,= + ., и М= — яг„'Р— масса среды, вытесняемой г1 сферой. Реактивная компонента импеданса имеет инерционный ви "и в д в 1 г и Х б иги Ряс. 13 характер и аналогична импедансу индуктивности в электрической цепи. Для длинных волн (! ~ь2яги или яги«,'1) и си Р ~ = — иУ= 3М. и 4ис 0 иги и 1 Зависимость 9,' и 1'; от йги = †представле на рис. 13. На 2иси низких частотах (длинные волны) Яи растет пропорционально м' и 5', а г'и — пропорционально м и г1.
Следовательно, при яги <, *1 сферический излучатель будет мало эффективным. При увеличении частоты г7„ стремится к единице, а гси -и.5Рс. При йи » 1 сферическая поверхность излучает такую же энергию на единицу площади, как и плоская, синфазно колеблющаяся поверхность, а4 Проводимость сферического излучателя равняется обратной величине импеданса. Из соотношения (4,9) получим: л лм — — / = — +— л Яра совт, Яре Ярсь; Ярс «оМ, ' Из этого выражения следует, что сферический пульсирующий излучатель можно представлять нагруженным на активное сопротивление 5рс, параллельно которому подключено инерционное сопротивление )ьМ,=уЪ;5рс.
Если сферический сегмент с площадью 5=юг,- "излучает в телесный угол ы„то сопротивление излучения л'г, 'рв'~~ 1 Жф)аегм =огоРс1 1 р в~ д ' 1 1 ла Таким образом, при заданной скорости ~уэ активное сопротивление сегмента площади 5, излучающего в телесный угол 2, 4к будет в — раз больше, чем сопротивление излучения сферы в свободном пространстве. Реактивная компонента будет равна: 1'о)сеги = м 3( — ') ° 1 Л, „= м 3( — ')1, 2. Так как — есть масса среды, вытесненной сферическим вы- кг3Р 3 резком, опирающимся на площадь сегмента 5=Яг,', то ясно, что реактивная компонента для излучающего сегмента площади 5 выражается таким же законом, как и для полной сферы.
Присоединенная масса Выясним физический смысл величины )'м Представим себе реальную сферическую оболочку, имеющую массу М', сопротивление трения Ч и упругость Е'. Все эти величины мы будем понимать как параметры 'колебательной системы с одной степенью свободы; этой степенью свободы следует считать перемещение а нормально к поверхности. При вынужденных колебаниях сферической оболочки под действием силы ),в' ' в среде возникает звуковое поле, которое оказывает на поверхность силу реакции, равную — 5р(г~). С учетом этой дополнительной силы уравнение движения оболочки запишется так: М'а-)- Да+ Е'а = ),е' ~ — 5р(г,).
Согласно (4,9) и (4,10), 5р(га)=(Я~+доМ,) . д(г,). б с. н. Ржевнав Так как в синусоидальном режиме а=ума, а в силу граничного условия асср) = а, то можно заменить 5р(с,) через Я, +уоМ,)а и написать уравнение движения так: (М'+М,)а+Я'+)с,)а+Еа=ф,е''. (4,11) Таким образом, в результате действия реакции звукового поля к массе оболочки как бы добавляется масса М,, а к сопротивлению трения — сопротивление )г . Исходя из приведенных соображений, можно величину М, назвать присоединенной массой. Следует отметить важный факт появления присоединенной массы в результате реакции поля излучения, хотя по существу никакого нового вещества в систему не добавлено. Присоединенная масса появляется вследствие изменения инерционных свойств среды в условиях сферического звукового поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
