Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Предполос,' жим решение уравнения (5,5) в форме выражения для бегущей синусоидальной волны: х! ду о —;=И=Ее' ~ (5,8) где с, — некоторая, пока неизвестная, величина, имеющая смысл фазовой скорости. Так как 1=/1ш и 1= — '., то, подставляя /в> ' Таким образом, суммарная сила давления на элемент ь'г' бу- дет равна: д'~ 5х — —, Ьх. дх' соотношение (5,8) в формулу (5,5), получим после сокрашения на л, ~) т.."-) рыр+г; =/ — „, (5,8а) или — = — — / — = — ) 1 — у' — ) = —, (! — у2р)), ! р .г, р)' .гП ! с) х шк х~ юр) с~ где с — скорость звука в свободной среде, а 2:р = — '.
Подсчеты показывают, что для труб с диаметром, большим 1 см, в области звуковых частот р ~1. Для труб, наполненных О,!2 воздухом, р — — '-=-, откуда при у=100 гц и г,=1 см г, )гу т 0,012. Величина с,, определенная из вышенаписанного уравнения, имеет комплексное значение. Положим / —,=/-, рг1 — у2~ =1+у'=т (5.85) Возводя в квадрат, имеем: —, (1 — /2)р) = ая — ~~ — /2ар. с' Приравняем действительные и мнимь)е части; найдем из 2-х уравнений: ~+~)~-1~ ) р )г2 ~ !1/! 1.У'! ) Формула волны (5,8) примет вид: т ) 7)к а !пи+«х) +рх (5,9) Величина т='р+/а носит название постоянной распространения. Действительная часть !) этой постоянной характеризует ослабление амплитуды волны на единицу длины пути и называется коэффициентом затухания. Из формулы (5,9) следует, что на отрезке длины х волна ослабевает в еР" раз.
В теории электрических линий затухание принято выражать в натуральных логарифмических единицах, которые получили название непер. Говорят, что затухание составляет йх непер или р непер на единицу длины. Так как еР"=10' "Р", то можно оценивать затухание и в десятичных логарифмических единицах. Затухание по амплитуде на отрезке х составит 0,43йх логарифмических единиц или по интенсивности 20.0,43йх=8,6))х дб, т.
е. затухание в децибелах получается умножением затухания в неперах на 8,6. а! Мнимая часть (е) постоянной распространения называется в теории линий фазовой постоянной Из структуры формулы (5,9) видно, что эта величина по смыслу аналогична волновому числу, но при скорости распространения сь отличной от скорости с. В широких трубах г, (а значит и а) зависят от частоты.
Таким образом, будет иметь место дисперсия, и звуковой импульс при распространении изменит свою форму. Аналогичное положение создается, если среда, заполняющая трубу, обладает брльшой вязкостью. Если величина р = — ' ~ 1, то 2вр 'Г =,(,;~)= Фазовая скорость при наличии затухания будет равна с'= — с (1 — ь), т. е.
близка к с и немного меньше ее. Коэффициент затухания при у ~ 1 будет приблизительно равен: ",=йр = — ". (5,10) +те 2ре ' 2 Затухание на одну длину волны составит» р' = йф ече 2я<р = — ' мр В отличие от затухания в свободной среде, где, согласно Стоксу, р †,, в трубах большого диаметра, для которых 2ит'* и, ~/~, получим дополнительное затухание р" г'~. Общее затухание будет больше стоксовского. В капиллярных труб- ках, где г,= — „р от частоты зависеть не будет. ан г,'' Определим величину давления р (х,е) из уравнения (5,5), в котором правая часть, согласно формуле (5,4), равна — —: др р(хЯ= — ~ р — ах — г, ~ 1ах+С(1) ,. де = — р 1 — 'еУх — г, ~ 1еех+С(е), е де где С® — произвольная функция времени; среднее значение р при малых амплитудах можно считать равным р.
Подставляя (для прямой волны) е=тае '" ет ' и — =ующее тл е(лми интегдг рируя по Х, найдем: р(Х,Г)=(,' ' (Г,+уор) +С®. т При а=О звуковая волна отсутствует, р и 1 равны нулю, следовательно, С(1) равно нулю. При малых потерях(р ч 1), используя (5,8а) и (5,8б), получим: р(х,~)=с — '. —.'=т' — =т рс 1 — У2р рс1е Ут, (5,11) с; 'у с, откуда видно, что давление отстает по фазе от скорости частиц на угол р.
Эта разность фаз, согласно уравнению (5,10), связана с коэффициентом затухания на 1 слг (р) соотношением — = — )., а с коэффициентом затухания на одну волну А 2я (р') — соотношением 2я' При малых затуханиях можно без существенной ошибки считать для прямой волны р = рею, а для обратной р= — рсс, (5,12) как это имеет место в среде без трения.
Затухание учитывается действительной частью в выражении для т. Для вычисления потока энергии необходимо знать разность фаз между р н 1, так как выражение для интенсивности имеет вид: "г = 2 Ке (Р Р) = 2 Р,1, соз т е ! в 1 где р, и $э — амплитуды звукового давления и скорости коле- бания частйц среды в точке х=О.в Распространение звука в отрезке трубы конечной длины Если в начале трубы имеется некоторый поршень с импедансом Л„ на который действует сила фэе'"', а на расстоянии Х * При выводах формул этого раздела не учитывалось отставание па фазе (т') деформации от давления, обусловленное релаксацией в среде. Учет это~о сдвига по фазе приводит к тому,что отношение р к ), то есть ком.
плексное волновое сопротивление, будет равно ш, = ус етр]у(т' — т)]; в газе при звуковых частотах (т' — т) — малая величина и ш, мя рс. Выводимые далее формулы могут быть использованы для любых сред, если в них вместо ре ввести комплексное волновое сопротивление геь бя от начала труба закрыта поршнем с импедансом Е, (рис. 20), то на двух концах трубы будем иметь: х=о х=! г, о Инпеданс поршня Внешняя действующая сила Скорость Давление Граничные условия Ео 6 = фее/ "о ."- оенн и енм До'-о+ Зро = йо с е '"' Р,еооя ~А =Фрт Здесь и далее 1о означает величину ~".(0)! и, следовательно, не совпадает с обозначением в формуле (5, 8), где $, — амплитуда бегущей волны в момент 1=0 при х=0.
Волна, возбуждаемая колебаниями поршня к.„ распространится до конца трубы, отразится от импеданса к.о побежит — к Рис. 20 а, Рис. 21 $(х, ~) = 6+(х) + Е (х) = (ае " + бет") е' ', (5, 13) причем знак (+) относится к прямой, а знак ( — ) — к обратной волне. 34 обратно к началу, отразится от Е, и снова побежит к концу трубы. В результате будет бесконечное количество положительных и отрицательных волн, иалагающихся друг на друга. Все положительные волны имеют одинаковую частоту, и результирующая волна будет иметь ту же частоту.
Результирующая волна получается сложением всех элементарных волн, каждая из которых может изображаться вектором, характеризующим ее амплитуду и фазу; если сложить векторные амплитуды всех элементарных волн аь а, аа... (рис. 21), то получится общая амплитуда а прямой волны. Суммарную амплитуду обратных волн Ь найдвм так же, как векторную сумму ряда волн с амплитудами дь ео„ ета ... В общей форме скорость частиц в некоторой точке с координатой х с учетом прямой и обратной волн может быть записана как (Ео+ Юрс) а+ (Ео — орс) Ь = фо (Е, — орс) ае-тс+(Ес+ Юрс) Ьетс О (5,15) Мы имеем линейную систему из двух уравнений с двумя неизвестными а и Ь.
Обозначим детерминант системы через Ео+Юрс, А — 8рс (с.с — Юрс) е ", (с.с+ Юрс) е" = 2 (ЕоЕс+ Ю'р'с') Ягф+ 2Юрс (Ео+ Ес) СЛ11. Из уравнений (5, 15): и с+ Р' Етс м. Ь ~с — 'оРо тс Подставляя а и Ь в равенства (5,13) и (5,14), найдем: р=рс [(л,с+5рс)е +(с.с — Грс)е т ~-''~~ . (5,17) В этих выражениях первый член обозначает прямую, а второй — обратную волну. Обратим внимание на то, что фаза как прямой, так и обратной волны является функцией величины (1 — х), или расстояния от конца трубы.
Амплитуды давления и скорости чзстиц при х=1 равны: 22с Р, = — дсрсФо 25рс Ес= — ф,. с д Определим из (5,15) и (5,17) величины амплитуд скорости 1, и давления р, в начале трубы: р = рс [(Ес+орс)етс+(Ес — орс)е-тс~ 'о = рс [2с.с СЛт1+ 25рс ВЛ 11) ~ — ' = СЛ 1Ьрс+рс БЛ 7с ос; зитс Е,= [(Ес+ 5Рс)етс — (Лс — 5Рс) е тЯ = — ~~ Рс+СЛ71 Ес . (5,18) Исходя из соотношения (5, 12), выразим звуковое давление в трубе: р(х,~) = рс(ае '" — Ье'").
е ". (5,14) Величины а и Ь можно найти из граничных условий. Подставляя значении р(х, т) при х=О и х=1 в граничные условия и сокрасцая на е~"с, получим: Вводя амплитуды полной силы, действующей на площадь 5, Р =5р, и Г,=5ри получим: Ро=С"'11'го+5рс Вп11'оо оо — о о о+С"Т!'1о ° Знф (5,18а) Подобные соотношения, связывающие амплитуды волнового процесса на входе системы с амплитудами на выходе, хорошо известны для электрических систем, используемых в электрон радиотехнике и носящих название четырехполюсников.
Труба как четырехполюсник В общей теории пассивных электрических четырехполюсников известны следующие зависимости между напряжением и током на входе (~'„1о) и напряжением и током на выходе (К 1о). ~'о = А ~''о+ В1о (5,19) !о=СЬ;+Р1ь Величины А, В, С и Р называются коэффициентами четырехполюсника. Для отрезка трубы с сечением 5 и длиной 1 коэффициенты четырехполюсника, как ясно из равенств (5,18а), равны: А=Р=Сп 11; В=5рсЗЬ|1; С= — + Из этих уравнений следует: АР— ВС=А' — ВС=Сй 11 — Вйо11=1. Соотношения А=Р и А.Р— ВС=1 характеризуют так называемый симметричный четырехполюсник. Определяя из (5,19), Ь', и 1, через К, и 1о, найдем: Око — В!р — (С Ъо — А!о) А — ВС о А1) — ВС Если АР— ВС=1 и А=Р, что выполняется для трубы, то К,=А1'о — В1, и 1,= — С1~о+А1о.
Если при обращении четырехполюсника (когда его конец принят за начало, а начало за конец) считать положительным направление тока (скорости), которое первоначально было отрицательным, и обозначить 1о= — !о и 1; = — 1ь то 1:,= А1:,+В1о, 1, = С Р'о + А1о. Следовательно, в таком четырехполюснике, как труба, имеются тождественные соотношения (5, 19) или (5,20) между напряжением и током на входе и напряжением и током на выходе независимо от того, какая сторона четырехполюсника принята за начало. Это означает, что такой четырехполюсник обратим или симметричен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
