Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(5,42) !Зри т Ф )Яре Мп И+ лг сое гг! рлг с1п И+ Ясс спев! с.. гзрстплгфЛг Щтя И+Яре. (5,43) !О! Если л.с=О, т. е. импеданс в начале трубы (например, инерционный импеданс, вызванный массой поршня) отсутствует, то Яре Яь тг+ е.г СЬ т! 60 Р Ег Яи тг+ Яре С!т тг Эта формула определяет только импеданс, добавленный к Е, вследствие того, что к Ас приставлена труба с конечным импедансом Лн При Ео= О и т //г Лм ~у5рс мп И+л., соз И.
(5,44) Величина Ем зависит, очевидно, от импеданса на конце трубы и от длины трубы. При условии И=пи 2 =+Яъ Ля Л Это значит, что труба, длина которой 1= — =и —, полностью передает импеданс Е, в начало трубы. Иначе говоря, труба Х длиной и — действует подобно абсолютно жесткому стержню. 2 Трубы, наполненные жидкостью, при соблюдении этого условия могут передавать очень большие переменные силы. Рассмотрим частный случай трубы с закрытым концом. Так как Е,=со, то при л,,=О Ем = 5рсСйтУ Р,. = — у5рс с1а' И.
(5,45) При низких частотах (И(~1) получим: ярс рсся' рссхс я ~00 ф! Рс (БО ы У у»' рссзс Величина Е= —, где У вЂ” объем трубы, представляет коэф- У фициент упругости объема воздуха У при действии силы давления на всю площадь 5. Действительно, в статическом случае, согласно закону Гука, р = — х — „, а х= рс' и Ь'к"=5с. Ыl Введя суммарную силу давления с)=5хс получим: рс'3' ф =5р = — — 1= — Л. Таким образом, величина Рс з трах Е= — = — ' У т= ='- и Р,— статическое давление) представляет коэффициент с упрутости замкнутого объема К Величина л.,с, согласно (5,45), будет отрицательна и мнима от И=О до И= — Д=Х/4). Таким образом, в пределах от 102 нулевой частоты до частоты 7= — ' мы будем иметь отрица- 4! тельное реактивное сопротивление, и отрезок трубы действует как упругость.
о л лл В ИНтЕРВаЛЕ От 7!!= — ДО ко=к (т. Е.4(7с -) ЗиаК Еоо меняется на положительный, и отрезок трубы действует как инерционное сопротивление. При 7!7= ос, т. е. 7=Л/2, Аоо=оо. Такой же результат будет л получен при !=и-2, где и — целое число. Следовательно, зал крытая(при х=!) труба длиной У=п- представляет как бы 2 абсолютно твердое, несжимаемое тело. Этот вывод получается, конечно, только как идеализация в предположении отсутствия затухания звука в трубе 9 =0). Если й ~- О, то при к.о=О и л.!= со из формул (5,45) после несложных преобразований найдем: Лоо = 5рс С 157! = Яа сС1Ь (/й + Г) ! = соо ло! СЛал+ !' ап Л! ЗЛО! (5 46) Рс 7м~ л! СЛа!+ с л! Ыф При ял=(п+ 2) с, т, е. 7=(п+ 2~ 2' ооо= сйсТЩ а при л 7о7=ик, т. е. 7=п — 2;оо=5рсСЩ7.
Если й! мало, то в первом случае л.оо — 5рс~! (вместо нуля, как это дает формула (5,45); во втором случае с,оо 5рсф!. Закрытая труба при условии !ЛЯ 7=(и+ — ) — (резонанс) имеет, если й! мало, очень малое сопротивление и может служить в качестве акустического „короткого замыкания" лучше, чем открытое отверстие, которое имеет и активное и реактивное сопротивления. При больших затуханиях в трубе, например, когда она заполнена пористым материалом (прн больших значениях 7), Лоо Юрс, так как С!5!о!' при больших ! стремится к единице.
Этот вывод не вполне корректен, так как при выводе фоомуль! (5, 41) предполагалось, что р невелико. В трубе с открытым конном следует считать Л! равным импедансу поршня площади о, излучающего в открытое пространство. Г!ри низких частотах л.о--О и из соотношения (5, 43) получим: Еоо = ЪсТйт!! "-!Бас 1д 7о!. (5, 47) В короткой трубе (й7ч-'1) с оо Фасо! = то (Яр) = гсоМ, (5, 48) где М=Яр. юз Следовательно, короткая (по сравнению с длиной волны) открытая труба дает импеданс инерционного характера, соответствующий движущейся массе М=Ю!р, равной массе среды в трубе.
При более высоких частотах Лм растет и делается I И равным бесконечности при к!=-2, ~1 = — [, затем становится 2 '~ 4,!' отрицательным (упругое реактивное сопротивление) в пределах я ! Х~ ! 1 х от к!=2-,[7= ! [ до 11=1.", (1=2). При 7=п2,хм — — О,т.е. х открытая труба длиной ! =и — практически не дает сопротивления для звука (при этом предполагается, что Р = 0 и Е, О, что возможно прн Х > 1'Ю). Уточняя выражение (5,48) для короткой трубы, следует учесть присоединенную массу (М') иа ее конце. Для трубы радиуса го с фланцем (по Рэлею) М' = — Рго, а для трубы без фланца (по Гутину) М'=2рга Если учитывать присоединенную массу на открытом конце трубы, то получим (при йг,<" 1) для импеданса трубы с фланцем: х оо /~ЮР(!+ з го) =улоР (1+ 0,8-~ „, 8 а для трубы без фланца: 2 ~м у" оР (Ю + — го) =Рл оР И+ 0 54га).
Таким образом, открытая труба без фланца становится как бы длиннее на величину О,б4 г,. Этот эффект необходимо учитывать при настройке органной трубы на определенный тон. Метод импеданс-диаграммы Выражение (5,43) для входного импеданса трубы используется в большом числе прикладных вопросов. Путем несложных преобразований легко убедиться, что уравнение (5,43) можно представить в более простом виде. Подставляя с,=ЮРсС!Лф, и Л,=О в (5,41), получим зл Ф! зл !!+ сл Ф! сл т! ~ =4" сл', „+злР,сл,с=~Р'С!" ((ч+Т1)= = барс стл [(а! + Р!) — у(ь, — а))[. (5,49) При 1=0, т.
е. при непосредственном действии силы на импеданс Е„Ем = Хрс С!5 (а, — /6,) = Еь что соответствует формуле (5,35). !04 Формула 15,49) дает весьма удобный графический способ нахомсдения импеданса Еаа в начале трубы по импедансу Лг в конце трубы, если затухание рг' мало. Идея этого метода применительно к акустике кало>кена впервые Морзом е в 1935 г. Этот же метод применялся ранее в теории электрических линий. Определив по импедансу Лг величины а, и 3ь мы должны, согласно равенству 1'5,49), не изменяя аь вычесть из 3, величину л оР=пгл' — (определяемую длиной трубы и частотой звука), т. е.
переместиться на диаграмме из точки с координатами гсгг, Угг рсоответствУюшими импеДансУ Ег) по окРУжнссти Равного а, с г 13 значит, равного глг' и о) на отрезок — -=- — „1равный числу Л>2 полуволн, укладывающихся в отрезке 7) в сторону уменьшения 3, т. е.
по часовой стрелке. В этой точке из диаграммы найдем величины Яга, Уга, соответствующие импедансу Лаа. Увел личение длины трубы на сгс'=и — (гссгг'=л ) соответствует Ь уменьшению фазы — на п, или перемещению по окружности равного а (или а) на и целых оборотов по часовой стрелке. а Увеличение длины трубы на Л/4 дает уменьшение фазы — на 1/2. Ввиду неодинакового масштаба фазы на окружностях равного поглощения это не будет соответствовать переходу на полоборота, но всегда будет соответствовать переходу с нижней части на верхнюю часть той же окружности или наоборот.
Как пример прим пения импеданс-диаграммы, определим импеданс отрезка закрытой трубы длины 1, в начале которого Р стоит слой ткани с сопротивлением сгг = †. Импеданс Егг Ярс ' на закрытом конце трубы соответствует )'гг —— — оо и гсгг=О 1нет потерь). Точка, изображающая этот импеданс, лежит на окружности а=О, (а=О, гч'=со), имеющей бесконечно большой радиус и совпадающий с осью г'г; центр окружности лежит на оси Яг в отрицательной бесконечности. Угол 3> будет на основании соотношения гр — — ге"' равен нулю (так как г;,= =+1). Для нахождения импеданса в начале трубы мы должны переместить точку по окружности е=О, т.
е. по оси г'г из — оо на интервал И~я по часовой стрелке. При ггг'=ля 13/гг=п, 1= и — 1 величина — изменяется на целое число единиц. Сде- 2) лав несколько полных оборотов, приходим снова в ту же точку -"' См, РЬ. М о г а е. >ггьгаггопа апг1 аоппй. сепг 'г'оги 1936, 341. 106 диаграммы, т.
е. опять получим );= — со и Р,=О. Таким Х образом, при Р=л — импеданс твердой стенки Е,=ос переносится без изменения в начало трубы, как это уже было показано ранее. Сопротивление ткани в этом случае ничего не добавиткимпедансу трубы. При к1=(и+--~я, или 1= ~п+ — ~-2-, фаза — изменится на (и+1/2) и точка сместится по окружно,сти я=О (ось 1',) на целое число оборотов плюс пол-оборота !6 и придет в начало координат ~ — =0,5), Импеданс трубы будет равен нулю ®=0 и 1;=0). Это значит, что закрытая труба длиной и†+ Х/4 имеет активное и реактивное сопротив- 2 ления, равные нулю (этот результат также был получен ранее).
~~ л Длянахожденияимпедансатрубыдлиной (и+ — ) —, закрытой на конце и со слоем ткани ЯД в начале, нужно прибавить сопротивление слоя к активному и реактивному сопротивлениям трубы. Так как сопротивление слоя чисто активное, то это сведется к тому, что точка переместится из положения (0,0) и займет положение Яь О). Если /~,=1, то мы придем в точку (1,0), где я=со, т.
е. а=1. Следовательно, труба длит л ной 1 = п — + — со слоем ткани удельного сопротивления ®, = = 1, Я=Зрс) в начале дает и = 1, или полное поглощение звука; конечно, я= 1 только при дискретных частотах ~„= (и+ )с , а не во всем диапазоне частот. 2! л л При И, = ля+ — — ', или 1= п —,-+ —, мы прядем по диаграмме в точку (О,— 1) и, добавив Яь получим импедзнс Я, — у). Труба будет действовать как последовательное соединение активного и упругого сопротивлений. Ни при каких Й, в этом случзе нельзя попасть в точку (1,0) и получить я = 1. При з л з й1 = ив+ — '-", или 1=в — +-'- Л, можно достичь, добавляя 4 ' 2 8 тсь точки Я, +/) на диаграмме.
Труба будет действовать как последовательное соединение активного и инерционного сопротивлений; получить к = 1 и в этом случае невозможно. Метод импеданс-диаграммы естественно обобщить нз слой с любым импедансом л,ь включенным последовательно с отрезком трубы длиной 1, или на ряд таких слоев с импедансом Ль разделенных отрезками трубы 1ь Способ нзхождения суммарного импедзнса на входе такой системы совершенно ясен: после пе- шь рехода по окружности равного е, из точки 1 —, — ) на фазо- 1 1Р~ У~ 1 Ярс ' орс й1т вый отрезок — по часовой стрелке и нахождения импеданса на входе первого отрезка трубы к полученному импедансу сле- дует прибавить путем векторного сложения импеданс первого слоя х.тт, после чего точка перейдет на новую окружность равного вн По Л!, ней снова перейдем на отрезок — по часовой стрелке, найдем им- педанс на входе второго отрезка трубы, прибавим к нему импеданс второго слоя х,тв и найдем новую окружность равного в,и т.
д., пока не дойдем до последнего слоя. Найдя л.т на входе, определим по импеданс-диаграмме коэффициент поглощения звука ц для всей системы. Этот прием с успехом использовал Г, Д, Малюжинец* для расчета звукопоглощения сложных слоистых систем. Если учитывать затухание звука в трубе, то при переходе из некоторой точки трубы с координатой х в более далекую от конца точку (х — цх) необходимо передвинуться по окружибх ности равного в на отрезок — по часовой стрелке и вместе с+ рах с тем перейти на другую окружность +, которая будет всегда иметь меньший радиус.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
