Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 19
Текст из файла (страница 19)
7 под углом, удовлетворяющим условиям (6, 5), распространяясь со скоростью с, вернется в исходную точку через один и тот же промежуток времени Т '„. Этот промежуток будет равен целому числу М периодов собственного колебания с частотой Т „р и периодом Т „р; очевидно, Т Тшлр Общее решение для собственных колебаний любого вида можно представить выражением: Ш СО Ф(х,у,я,1)= ~~ ~1 ~ 'р" „~(х,у,я).е""1 р'. т=ь л О р=ь Распространение звука в бесконечной трубе Предположим теперь, что одно из измерений параллелепипеда, например 7, становится бесконечным.
Тогда мы приходим к случаю распространения звука в бесконечной трубе с прямоугольным сечением. Решение уравнения (6, 1) образуем из решений вида (6,2), причем в каждом члене должны сохраниться произведения функций соз А„х и соз Ь„у, так как тогда обеспечнтся равенство нулю скоростей на боковых гранях. 119 Предположим, что по оси е распространяется некоторое волновое движение с волновым числом /г .
В общем виде возьмем решение уравйения в форме: СО СО Ф (х,у, х, 1) = ~~ ~~~ В „. соз к„х соз кау е ""' ьь='. (6, 8) а=о а=о Пусть на грани я=О имеется некоторое вынужденное распределение колебательных скоростей вдоль оси е по закону: ~(х,у)= Фа(х,у)ел""""х'1 с круговой частотой а= ке, которая задается действием вынуждающей силы. В частном случае чисто стоячих волн а(ху)=0 или а. Разложим функцию фь(х,у) в двойной ряд Фурье по собственным функциям для колебаний в направлении, перпендикулярном оси трубы, а именно по функциям соз к х ° соз к„у.
фь(Х,У) еггг" хг= ~~ ~) а„„созlг„х созйау, а=о а=о где к = т — и к„=п —. Коэффициенты а „определяются а выражениями вида: а Ь вЂ” ~ ~ь (х,у) ек ~~а~ соз й~х соз Аау г~хоУг; 4 г о а Ь а,= — гг ~ уь(х,у) ел'г"'оо сов й х г(хг(у; а о о а Ь аь„= — з ~ Фь(х,у)ек~"» созЙ,У г~х4/; о а Ь а„= — г уь(Х,У)Его( П гггХ.г~у. ЬЬ вЂ” аа (6,9) Если ь(х,у) = О или а, то коэффициенты а „будут действительными; если ь(х,у) ~ 0 или а, то — комплексными. В первом случае на поверхности грани я=О,задаются чисто стоячие Подстановкой в волновое уравнение легко убедиться, что в этом случае, как и для замкнутого прямоугольного параллелепипеда, к'=кД+ ко+ кр.
волны; во втором случае на поверхности задается движение в форме бегущих волн. Если амплитуды взаимно-обратных бегущих волн равны, то получаются чисто стоячие волны. В дальнейшем мы будем рассматривать процессы, вызванные чисто стоячими волнами на поверхности я=О, и будем считать все а „действительными. Частную форму колебания в плоскости начального сечения я=О, определяемую числами т и и и ха- мода: (З 4() Рис. 31 рактеризуемую амплитудой а „, мы будем называть колебаниями с "модой (т, п)„. Распределение осевых скоростей при модах колебаний 1, 0; 2, 0; 3, 0 представлено на рис.
31. На границе а=О скорость движения среды должна удовлетворять условию: — д— , ~ =Ых,у)е)у("оо е)", дФ г о откуда найдем: Зйр ~ ~ В „ соз)с х соз й„у = ~~ () а „ соз я х созе„у. =о о=о р -о л=о Приравнивая коэффициенты при соответствующих по индексу членах, имеем: (6,10) 1лр Каждая мода колебания на грани а=О представляется членом вида а„„созе х созе„у, причем частота м одинакова для всех мод колебания в данной задаче. Чтобы выяснить физический смысл этого выражения, несколько преобразуем его: ь ~~~ е)(ртр.(.~рр) + ~л~п l( — Фрдх — ору) /Вл' Рз ' Р = 4 4 «ел l(рр р ору) ) ~ел /( — отх+ялр). 4 ' 4 Первый член со вторым и третий с четвертым дадут в плоскости я=О две системы стоячих волн с одинаковой амплитудой.
Направляющие косинусы волновых векторов этих волн будут: соз а' =; соз 2' = "— . (6,11) — /ь>л ~ ~л у'л +а*„' ~lл +л.-„' Для одной системы стоячих волн берутся знаки (+, +) и ( —, — ), для другой (+, — ) н ( —, +).
Таким образом: а Ъ1 дш> — Ь~ль>+Ьл<лл.ооьалуооьжн а „соз/г„х созlг„у = — -" 7 е а !( >ь — ьл>ллч л>л 4 где /е' „= 12К+ ль — волновой вектор, лежащий в плоскости я=О и принимающий направления, соответствующие одной из четырех возможных комбинаций знаков в выражении (6,11), а и'=-+- х сов а'-+-усов р' — отрезок, отложенный по направлению нормали к фронту каждой из четырех бегущих по плоскости а = 0 волн и равный по абсолютной величине расстоянию от начала координат до фронта волны.
Углы а' и р' дополняют друг друга до 90'. Две системы стоячих волн в плоскости а=О будут пересекаться под углом 2а"=я — 2~' друг с другом. Длина волны на грани я=О г» у (6,12) 2а 2» Л' „— —, Лглл 1> А,'„+ л„' где с' „ = имеет смысл скорости распространения 2/ л,>,,ь — +— а' аь 122 волн вдоль плоскости я=О. Мы видим, что для образования такого рода стоячих волн, которые представляют отдельные моды колебаний на грани я=О, скорость нх распространения с' „ при заданной частоте должна быть пропорциональна )' и, кроме того, будет различна для различных мод (ль, л).
Свободные волны изгиба реальных пластинок и мембран не могут удовлетворять этому условию, так как в мембранах скорость' поперечных волн не зависит от частоты и является постоянной величиной, а в пластинках она растет пропорционально у'/'. Таким образом, волны, соответствующие отдельным модам колебаний на грани я =О, могут образоваться только в вынужденном режиме, при возбуждении специально распределенной в плоскости я=О внешней силой, но при частотах, не обязательно равных собственным частотам этих мод.
Ясно, что мы не могли бы произвести разложение функции ф,(х, у) в ряд, содержащий произведения функций созл х на з1п л„у или з!и Й х на мп Й„у, так как тогда граничные условия на боковых гранях не удовлетворялись бы. Однако это не значит, что реально скорости не могут быть распределены по грани г= О, например по синусоидальному закону.
Так, движение, близкое к синусоидальному распределению, получающееся при основном тоне некоторой пластинки или мембраны, натянутой поперек трубы, и при частотах ниже основного тона лХ . лу и характеризуемое функцией мп — з1п а, можно разложить Рис. 32 в ряд по соз А х соз л„у. В простейшем случае стоячей волны, образующейся только по направлению оси х скорости лх плоскости я = 0 распределены по закону мв †. Разложение а ' в ряд по косинусам будет иметь вид: лх 2 4 лх 4 лх 4 лх мп — = — — — соз 2 — — — соз 4 — — — соз 6 —.. а л Зл а 15л а 35л а'' Таким образом, движение составляется из постоянного члена и ряда косинусоидальных компонент (рис. 32).
Постоянный член 2 — возбуждает движение, соответ" твующее плоской волне, вдоль оси я (мода 0,0). Вообще для симметричного, относительно центра, распределения скоростей имеют место только колебания с модами, определяемыми четными числами т, п, а также с модой (0,0); для несимметричного распределения возникают моды с нечетными числами лл или и Колебание вида соз †, таким образом, присутствует только при несимметричном возбуждении в плоскости я=О.
аХ , ау Функция мп — ° в1п —, изображающая основное колебание мембраны, разложится в ряд: в1п — Мп — = — — — 1СОЗ 2 — + СОЗ 2 — 1+ ах . ау 4 З l ах ау1 а ь а' За' 1, а ь) + соз 2 — ° соз — — = ~соз 4 — + соз 4 — 1+ 16 ах ау З l ах ау 1 эа~ а ' Ь 15а'( а т) 16 аХ ау + — - соз4 — ° соз4 — +... 225 а' а Ь Каждый член разложения в ряд функции Ф в выражении (6,8) представляет бегущую волну с волновым числом й, модулированную по фронту (перпендикулярно к оси г) по закону созп х созй,у.
Этот волновой процесс мы будем называть волной моды (т,п). Часто эти волны называют также нормальными волнами с индексом(т,п) или типа (т,п). Выражение (6,8) должно удовлетворить волновому уравнению (6,1). Это приведет, как мы уже видели, к условию (6,3): й'=й' +А'„+йр. Однако в данном случае задано движение с частотой ы на грани я=О, и, следовательно, и= — также задано. Это значит, с что величина й для различных „мод" (т,п) может иметь только значения, определяемые условием: и,= р й' — (й.'+ й„') =т/ф — (й.~+ й„-) =.д.„, (6,18) и не может выбираться произвольно, как в (6,3).
Ввиду этого волновому числу следует приписать двойной, а не тройной индекс т, п, а вместо й, писать й „. Если й( г~п'-'+й„', то и =й „будет мнимо и фаза колебаний не будет зависеть от з; от г будет зависеть лишь амплитуда колебательного процесса. Возникает своеобразный процесс неволновых колебаний, особенности которого будут разобраны дальше. Волновой процесс в трубе.
возбуждается колебаниями с модой (т, и) на грани в=О только при условии Й) ~ М-~- М У)," *" . (6.16 124 Для каждой моды (т, и) существует, таким образом„критическая частота 2к 2„=2~ „в+в, (614) ниже которой волновой процесс в трубе не возбуждается. Эта критическая частота соответствует частоте собственных колебаний (в направлении, перпендикулярном оси г) с модой (т,п,О). Согласно формуле (6,6), частоты таких собственных колебаний как раз соответствуют критической частоте (6,14а). Наинизшая из критических частот будет соответствовать колебаниям, параллельным наибольшей грани прямоугольника аЬ (мода (1,0), если а) Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
