Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Отложим по оси абсцисс величину 1т1, а по оси ординат величину )'1. Любой импеданс Л1=Я1+Щ=ЮрсЯ1+7г1) изобразится некоторой точкой на плоскости комплексного переменного Е1 ° Найдем на плоскости Е1 форму линий, на которых величина коэффициента поглощения звука а (а также величины г и 0) будет иметь постоянное значение.
На основании уравнения (5,30) 4111 (Д +1)" + к1 ' Это выражение можно преобразовать так: Я1 — ) +г'1 =~ 1 ~ ) ° (5,37) Точно так же из равенства (5,31) легко получим уравнение линий, для которых а = сопз1: (5,38) Рассматривая К1 и 1; в соотношениях (5,37) и 15,38) как независимые переменные, а а и 0 как параметры, придем к заключению, что линии равного а, выражаемые уравнением (5,37), изобразятся семейством окружностей с центрами на оси Усь отстоящими от начала на расстоянии 2 — а 010 0 и с радиусами 2 г' 1: а Р0= 0 Окружность, соответствующая а=О (г=1, 20=0), имеет бесконечно большой радиус, и центр ее находится на расстоянии 771=со. При стремлении а к 1 (г-0-0, 20-0 со) радиус окружности уменьшается и стремится к нулю, а центр ее стремится к точке )с1=1, 71=0.
Линии равных а 1или равных 1826) на основании уравнения 15,38) будут представлять также семейство окружностей с центрами, лежащими на оси У1 на расстоянии ! 110 1 20~ 1 и с радиусами, равными ра= —,— „, Все эти окружности проходят через точку Д1=1, 1'1 —— О, соответствующую а = 1.
Семейство линий, равных к и а, изображено нз графике (рис. 22), который мы будем называть импеданс-диаграммой. Образец полной импеданс-диаграммы, пригодной для практических расчетов, приведен на рис. 23 в уменьшенном масштабе. Экспериментальное определение положения максимума, необходимое для нахождения фазы, осуществляется не точно, так как максимум является весьма размытым. Выгоднее опре- +и -г Рнс. 22 делять положение первого минимума 4, а затем определять В по формуле (525) Фазовая окружность с центром в начале координат (рис. 24) 6 и с радиусом, равным единице, относится к значению — = 0,25 ~ =Я.
23= — ~. Отрезок оси Р, от начала до 9,=1 соответствует а фазовой окружности — =0,5, а отрезок от 9,=1 до Й,=оэ— 6 окружности — = 0. Величину И можно определить методом стоячих волн и вычислить из нее 2л (или г); 26 находится по положению первого ми- нимума давления в стоячей волне, соответствующего оп= в 1, для которого Ь Х Ь Х 1 4+4 ~~ 2+4' 15,39) Величины соз28 и з!п2З могут, согласно выражениям 15,31), б гис. зз принимать значения от — 1 до +1, 2З может меняться в а ПрЕдЕЛаХ вЂ” я ( 2З ( я, а ВЕЛИЧИНа фаЗЫ вЂ” — В ПрЕдЕЛаХ 1 Ь х л —, (; (з,,— будет меняться от — 4- до +4. Очевидно, что положение первого минимума при вычислении по формуле л ь 15,39) получится внутри трубы в пределах от О до —; фаза— через 4 выразится формулой Ь Ы, ! е Ц2 2' В случае жесткой стенки Щ=оо) 2З=О.
Первый минимум л давления будет лежать на расстоянии Ы, = —. Рис. 24 В случае инерционного импеданса Щ)0) всегда Мп 23)0 и — 1 ( соз 26 (1 !см. формулы (5,31)). Это значит, что 0(24(п, и положение первого минимума получим в пределах Х А' 4 — (4~,( — !рис. 24). При очень малом инерционном сопро- 2 тивлении и активном сопротивлении Я, ( 1, соз 2е близок к — 1, 6 ! А а мп 2е — к нулю. следовательно, — близко к — а 4 — к ' е 2' ДЛя уПруГОГО ИМПЕдаиеа Р; (0) — и (2З (О; ПЕрВЫй л минимум будет лежать в пределах 0(а',(4-. При переходе окружности равного е через точку Д',=1, Х', =О, как это следует из формул 15,31), мп 23 и соз 2е меняют 7 С.
Н. Ржевеии 97 свой знак на обратный, сохраняя абсолютную величину. Это значит, что 2З изменяется скачком на к, причем 1и 2З остается Ь неизменным и знака не меняет. Фаза — уменьшается при этом скачком на 0,5. Таким образом, если на верхней части окружв ности фаза сохраняет некоторое постоянное значение †, то на а ! 6 нижней ее части фаза будет — — —.
Значения — на линии раз~с 2' Е ного )~, при значениях +); и — )', отличаются лишь знаком. На импеданс-диаграмме (рис. 23) цифры на окружностях равной а фазы в верхней полуплоскости ()',) 0) означают —; в нижней полуплоскости ()', (0), чтобы избежать отрицательных а! значений, нанесены величины (1 + -~. Конформное преобразование С1н(а †/З)= й, + Щ удобно изображать на двух отдельных диаграммах для области малых коэффициентов поглощения и для области больших коэффициентов поглощения. На диаграмме целесообразно откладывать величины 20 1я Д! (в децибелах), так как этн величины определяются непосредственно из опыта.
Вычисление я по величинам 2л (или обратно) ведется по формуле: я=т1п — =0,5751йе ! ! ! ! г м На опыте определяются величины звукового давления в мини- мумах и максимумах (р ы и р,„) и положение первого ми- нимума 4. Затем, вычислив по вышеприведенным формулам 20 1й М, — и -', находят по импеданс-диаграмме й, и У,. При переходе через резонанс (при изменении частоты) знак реактивной части меняется, и точка на диаграмме всегда прохо- дит через ось абсцисс. Согласно формулам (5,31), при переходе 1', через 0 знак з)п2З меняется на обратный, а сов 2о остается Ь неизменным. Если Я,(1, то фаза — будет скачком изменяться от значения — 0,5 к значению +0,5. Наоборот, если Р,) 1, то Ь при переходе через ось абсцисс фаза — меняется плавно, пере- ходя через нуль. Если Еп безразмерный импеданс простой резонансной системы Ли=а+у'( Л4, — — '), то при резонансе, когда вЛ4,= —, импеданс будет чисто ак- Е, тинным (Еп — ЯД.
Формула (5,40) изобразится на импеданс-диа- грамме прямой, параллельной оси 1;, и проходящей' через А~,' точку Ц,=- — ' и К,=О. Эта прямая касается при резонансе Зрс некоторой окружности равного поглощения (я=аь см. рис. 22). Из чертежа ясно, что при частотах, отличных от резонансной, когда Г, ~ О, обязательно а(аь т. е. я будет иметь при ре- зонансе максимум. Обратим внимание, что при тех же параме- трах л4, и Еь но при меньшем Ц, той же окружности а=я, касается еще вторая прямая, параллельная оси Уь Первая пря- мая соответствует Я; ) 1, а вторая Д ( 1; резонансная час- тота для обоих случаев одинакова м,= ~, †' ' Легко убегии, О 1/м диться, что всегда Я, /Г = 1.
Первый случай отвечает резо- нансу в системе с большим затуханием, второй — с малым. Для обеих систем при резонансе М', 4Р Явах=у +11~ (о 1 1) но первая система будет иметь более пологую резонансную кривую, а вторая — более острую. а Из рис. 22 видно, что фаза — для резонатора с большим значением сопротивления (К;) 1) при переходе через резонанс от низких частот к высоким будет меняться плавно, переходя через нуль от отрицательных значений к положительным.
Схема Ь изменения — и Ы, в зависимости от частоты а дана на рис. 25 (здесь учтены раздельно оба случая: Я;~1 и /Г (1). Если Я'; ( 1 (м - в,), резонатор имеет отрицательное реак- Ь тинное сопротивление; фаза — при постепенном увеличении частоты убывает от нуля до — 0,5 (при резонансе), а с1, убывает от 1~~4 до нуля. При переходе через резонанс фаза скачком изменяется от значения — 0,5 до + 0,5, а положение минимума с2, перескакивает с нуля на Х/2 (пунктир); при дальнейшем росте м (м ) а,) фаза убывает от 0,5 до нуля, а с(, смещается от Х12 до Л/4 (при е -э оо). В случае )с',) 1 изменение фазы и положения первого минимума легко проследить на рис.
22 или 25. При возрастании м (начиная от 0) точка, изображающая импеданс, движется по прямой Я~,=К, из — со кверху, а фаза убывает, начиная с нуля до некоторой минимальной (отрицательной) величины —, которая достигается при частоте в' и определится из условия касания прямой Я, = Я, 'с некоторой фазовой окружностью— т' в нижней полуплоскости. При этом условии радиус фазовой ! ! окружности р, = „„= „.„—,— должен равняться )т;. Далее фаза начнет возрастать и достигнет при резонансе 1г,=О) нуля. При дальнейшем росте я фаза делается положительной и точка переходит в верхнюю полуплоскость, При частоте я" произойдет касание прямой со второй фазовой 1! <I ии ! 1 л ! л и Ф т: И, л и Рис. 25 окружностью + †одинаково радиуса с перной, что соответ~т 1 ствует условию Я,= ! ..
В этой точке фаза достиг- 1 ! яп 2ат! нет максимума и затем, при росте я до бесконечности, начнет убывать до нуля. Частоты я' и я", при которых ход фазы изменяет свое направление, определяются из уравнения (5,38). Условия касания имеют вид: / Учитывая, что = 1тл, — 1 = к'Я1)' — 1,получим !и2зщ ~ 1яп 26т)' квадратное уравнение: Я~я~ — )лК' — 1 и — Е~=О, 100 из которого найдем два значения частоты ет' и пт". ,Легко видеть, что, согласно равенству (5,39), ггг при росте ег (от нуля до со) сначала падает от Л(4 до Лгг4 — Ь Лгг2п (при ст=ег'),затем начинает плавно возрастать до Лгг4 + й .Л/2тс (при ег= егс), а затем снова убывает до Л/4.
Импеданс в точке приложения силы и переносный импеданс Исходя из формулы (5,16), найдем выражение имиеданса в точке приложения силы (х=О) для трубы с присоединенным на конце импедансом л.гт фсег"'г (с,о+ Яре) (ег+ Яре) ет' — (ео — Яре) (ег — Яре) е-тг Р' (О) (Дг -1- Яре) етг — (лг — Яре) е тг (е„ег + Ясрсс') Я)гтг+ Яре (ее+ с.г) С)т т! ег БЬ тг+ Яре С(т т! (5,41) Ярс ЯЬ тг+ е.г СЬ т! ~С ! ~РЕК!я тг+Ярссит!' Лвреносным амаедансом называется отношение действующей силы к скорости в точке х=(, где стоит импеданс е,гт фоег"г (ее+ Яре) (Уг+ Ярс) етг (е„— Яре) (лг — Яре) е — тг сг с (!) (лг + Яре) (лг Яре) = '"+,""' Я т!+(~,+~,)сит(. Так как при малом затухании (=у(г+)т /(г, то /ЯРс Мп И+ лг спе И гУг е1п И + Яре спе И Усе.г + Ясрсс' л,сг — — — ' 'я, !'в!п(г(+(лс+Лг)сов!с!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
