Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Самая низкая резонансная частота будет соответствовать п=О и 1=1,!'4, откуда е Л= —. 4! 8 С. Н. Ржевюпе Получение при резонансе значения р(7)=-со является результатом пренебрежения сопротивлением излучения и затуханием звука в трубе. Ьолее точное выражение для условия резонанса найдем из равенства (5, 57), полагая 1'ге = с1К М. Этот вывод соответствует уже полученному ранее (см. (5, 53)) Решение этого трансцендентного уравнения может быть найдено графически для каждого конкретного случая.
Например, для резонанса цилиндрической впадины конденсаторного микрофона (старого типа), для которого 7= 0,8слг и г,= 2,6слг, получаются две первые резонансные частоты: 1"в=6670 гц и 74=32000 гц. Первьй резонанс соответствует значению 1.=6,351 вместо Х= 46 как это вытекает из элементарной теории. Второй резонанс 4 пОчти точно отвечает упрощенной теории (1 = — 7).
При резонансной частоте давление в конце трубы (у мембраны микрофона) 2р,ег ' р(1)=, . ' — — —; сопротивление излучения является функцией 'Г вгп ЛЬ2ги' 7гг„и при частоте 6670 гц знаменатель будет равен 7' 0,41. При первом резонансе получится ~р®1=2,4 2р„т. е. давление в 2,4 раза больше, чем в полосе низких частот, где 1р (Г) ~ = 2р,. Передача энергии по трубам Рассмотрим выражения (5, 43) и (5, 44). При условии лг= и г (п=1, 2, 3...) Е„=(Л + Е,) и Ем=( — 1)" (Е„+ Е,). Из этого результата ясно, что скорости Е(0) и 1(7) будут равны по абсолютной величине. Условие лг'=по соответствует резонансу в трубе. Таким образом труба, длина которой равна целому числу полуволн, передает действие силы как жесткий стержень и иа большом расстоянии можно получить ту же деформацию 1(7), что и в точке приложения силы.
Условия передачи энергии в этом случае будут оптимальными. Импеданс нагрузки Лг как бы переносится в точку действия силы и складывается с импедаисом Яв поршня, непосредственно приводимого в движение силой (г. Подобный эффект может отчетливо выявиться, конечно, лишь при малых затуханиях р. Константинеско * произвел опыты по передаче мощных колебаний по трубам в воде, подобно передаче электроэнергии по проводам. Им были сконструированы приводимые в движение звуком моторы, которые производили сверление камней. в Мееаагнеаг ргорегнев о1 Иогав. Еопг1оп, 1925, р. 321. 114 ГЛА ВА б ТЕОРИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ВОЛН В ТРУБЕ Колебания внутри прямоугольного параллелепипеда Рассмотрим прежде всего как более простой случай распространение волн в трубе прямоугольного сечения. В целях уяснения метода решения вначале рассмотрим распространение волн и внутри объема, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, Ь, 1 по осям х, у, я (рис.
30). Волновое уравнение для сииусоидальных колебаний имеет вид (см. гл. 1): ~Л'+ Йч«" = О. (6,1) На жестких гранях должны удовлетворяться условия равенства пулю нормальных скоростей: «=0 «-о «=а х-ь Рис зо «г Выражение для потенциала скоростей Ч", удовлетворяющее этим граничным условиям, легко найдем расщеплением функции У(х, у, г) на произведение трех функций только от х, у и я.
Частные решения будут иметь вид: «« «« Ч" Ампир ' соа лт ' соа л ' соаЛ а Ь Э (6,2) 8' 115 где = О, 1, 2, 3 ... Р Обозначим: Функция А „р соей х соз й„у. соя йре называется фундаментальной, или характеристической, функцией. Для замкнутых объемов иного вида, чем прямоугольный параллелепипед, фундаментальные функции будут иметь другое математическое выражение, форма которого зависит от вида ограничивающих поверхностей и граничных условий на этих поверхностях. Подставив выражение (6,2) в уравнение (6,1), получим выражение волнового числа й через й, й„и йр. й'=й' +й'„+йр —— а'( —,-+ —,+~ —,).
(6,3) (6,4) Очевидно, что все три члена этого выражения должны быть меньше единицы, или один из них может быть равен единице, но тогда другие равны нулю. Введем обозначения: т а сова; ~гллр ~/ т' + и' + р» лл Ь , — соей; тпр .~/ т' +п~ + р' (6,5) Р— соз Т. лр ! жар -~/ а~ +л" +р' Тогда вместо. уравнения (6,4) имеем: соз" а+ соз' ~+ соз'1= 1. Ввиду такой структуры формулы для й будем далее обозначать й через й „р. Разделив обе части уравнения на й „р, получим: Из соотношения (б,б) следует, что величины й, А„и я могут быть представлены геометрически, как компоненты некоторого волнового вектора й „, составляющего углы а, р, Т с осями координат; абсолютная величина вектора ~ А „ аилр 2л — = — дает волновое число.
с Л Каждым трем числам т, п, р соответствует, таким образом, некоторое число А „р, называемое собственным значением параметра А для данной задачи; через а лр определяются все возможные собственные частоты объема а д l, которые выражаются формулой: ~/ — + — + —, (б б) Конец каждого волнового вектора и „с компонентами й, А„и Ар по осям координат, характеризующего собственную частоту 1 „„представляет точку в трехмерном пространстве, ограниченном условиями х'~0, у)0, я)0 (октант). Колебания, определяемые собственными значениями волнового числа А„„, будем называть модой (т, п, р).
глетрудно подсчитать (приближенно), какое число собственных частот лежит в пределе от 1=0 до частоты у. В пространстве частот каждой из них соответствует вектор с комс с с понентами т — —, п — - р- —. Все пространство частот можно 2а' 2Ь' 27' представить разбитым на прямоугольные объемы, составленные с с с из элементарных параллелепипедов с ребрами 2а ' 2Ь ' 21 Каждой собственной частоте соответствует вершина одного из этих параллелепипедов. Таким образом, число собственных частот в интервале от нуля до у равно числу элементарных параллелепипедов с объемом с с с с' с' 2а 2Ь 2! 8аЫ 81~ ' где У= аИ вЂ” объем параллелепипеда, собственные частоты которого исследуются.
Все собственные частоты в пределе от 0 до г лежат в объеме октанта пространства частот 1 !4 У вЂ” ~ —. ~а). Число собственных частот М при больших ~ будет приблизительно равно: 4лса1/ И к з„,в Число собственных частот в интервале от Г до ~+ Д1 (при ау<а: Для примепа подсчитаем число собственных частот помещения объемом 17=6Х6Х4 м' в интервале от 1000 до 1001 гц. Это число оказывается очень большим: !»М 32. Наименьшее значение собственной частоты будет соответствовать волнам, распространяющимся параллельно наибольшему ребру. Если 1)а)Ь, то при р=1, л«=0 и и=О получим: шр «1»55» = А55» соз —" ! с 2)' Ашшр »Ь««(»» «»5»5 "шр ' "р») = — ~~в А 3~1 «(ш» — 55»лр (-»- ~ 555 жрсо» 5 ж 5 5555 «)! А „р Ъ«»(» — 55»~р") а (6,7) Амплитуда может быть комплексная: А „р= ~ А „р!е«р "р, т.
е. каждая составляющая Ф „ имеет свою фазу »« „ . В выражении (6,7) величина и=~х сова-«-усов~-»-з.соат есть длина вектора, направленного по нормали к фронту некоторой плоской волны и равного по абсолютной величине расстоянию от начала координат до плоскости фронта волны. Из соотношения (6,7) видно, что при каждом собственном значении 7» р возможно восемь различных плоских волн соот- 1 па что соответствует плоской стоячей волне по направлению грани 1 с частотой основного тона закрытой трубы длины 1. е« Точно так же при т=1 и и=р=О, (когда н при а=1 и т=)»=О,(когда 75»5 — — — ~, образуются плоские 55 Я) стоячие волны вдоль граней а или Ь.
Длн этих твех случаев соответственно имеем: соз»7=1, соз»5»=1, или соз р=1, т. е. углы а, ~ и т имеют значения 0 или»». В данном случае .«55» С.»»55 < «5»5' Покажем, что и в общем случае, при некотором собственном значении !» „(при любых т,п,р), имеется комбинация плоских волн, направление которых определяется различными сочетаниями компонент !», Ь„, !» волнового вектора 7» „р, Енш»'+ Е !»5»': Так как сов !» х= 2 . то, написав соответственные выражения для соя lг„у и созЬ а, легко получить после преобразования для потенциала скоростей Ф „ сумму восьми выражений вида: ветственно восьми различным сочетаниям знаков в выражении для и.
Каждой из этих восьми волн соответствует другая, имеющая прямо противоположное направление. Таким образом, всего имеется четыре различных направления стоячих волн внутри объема а Ь.1. Каждую из плоских волн, на которые мы разбивали собственное колебание моды (т, и, р), можно для краткости назвать „лучом" (название „луч" в данном случае не соответствует понятию луча, как оно определяется в оптике). Звуковой „луч" с направляющими косинусами (6,5), начинающийся в какой-либо точке грани, после ряда отражений от граней, описав некоторый неплоский многоугольник, возвращается вновь в ту же точку и начинает описывать тот же путь, причем длина этого пути одинакова, из наной бы точки ни начинался путь „луча', и равна целому числу длин волн.
Отдельные отрезки этих лучевых многоугольников составляются из „лучей", уравнения которых определяются выражениями вида (6,7) с различными комбинациями знаков. Равенство путей, проходимых любым из „лучей", поясняет 2я физический смысл собственных значений параметра Ь= -„-. Они соответствуют определенным дискретным значениям частоты— ,собственным частотам" объема. Действительно, при одинаковых длинах каждый „луч", выходящий из любой точки объема а Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
