Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Труба, закрытая на конце, аналогична разомкнутой на конце линии, или холостому ходу (У, = 0; $, = 0). Механический импе- данс на входе будет равен: Труба, открытая на конце, аналогична короткому замыканию линии (1~,=0; рс —— 0). Импеданс ее Импеданс на входе симметричного четырехполюсника А — '~В Ъ'р АУ~+ Вб 7~ о ~~~+~5 5 Спрашивается, какой импеданс Ео следует включить на выходе, чтобы импеданс на входе также был равен к,о. Полагая 1! ~'а — =-- =Е„легко найдем: е~ 1/ ~ Этот импеданс называется волновым сопротивлением или характеристическим и.нпедансом четырехполюсника. Для трубы В=Брс55т11 С= — ~ и Ео=5рс.
$рс Отражение звука на конце трубы Возвратимся к выражениям (5,16) и (5,17) для скорости и давления в любой точке трубы. Член в квадратных скобках, в котором х в показателе степени входит со знаком плюс, характеризует обратную (отраженную) волну, а член, в котором он входит со знаком минус,— прямую. 87 Отношение амплитуд обратной и прямой волн при х=1 назовем коэффициентом отражения волны давленияс — — 1 ~ю р «) ~, — зрс зрс р, (О Л, + зрс Л; + г, + 1 зрс Для коэффициента отражения волны скорости частиц из равенства (5,16) получим: с «) Лс — 5рс 2,— 1 г, — представляет импеданс на единицу площади сечения трубы 8 (удельный импеданс), а Е, = —, — удельный импеданс, выражен- Л, Зрс ный в единицах рс и называемый безразмерным импедансом.
Из полученных выражений видно, что при Л, = со (что соответствует твердой стенке, поставленной в конце трубы) будет полное отражение с изменением фазы скорости (г — 1) и без изменения фазы давления (гр — — + 1). В случае отражения от открытого конца при низких часто- тах импеданс трубы без фланца "' тзт ~г 4 + рь(2рг'1) а для трубы с фланцем (по Рэлею) р~'5' . 18 с 2;тс +l )3рго)' При очень малых частотах Л,— О и мы получим: г;=+1 иг = — 1." Когда Е,=оре, т. е. импеданс Е, чисто активный и равен сопротивлению излучения плоской волны (на площади 5), получимт г =г1=0 полное отсутствие отражения или, иначе говоря, полное прохождение звука через выходной импеданс Еь что можно считать за полное „поглощение" звука в сечении х=).
Случай Е,=оре можно реализовать приключением к концу данного отрезка бесконечной трубы того же сечения. Это тривиальное решение задачи полного поглощения. Кроме того, могут существовать другие системы, для которых выполняется * См. Л. Я. Г у тик. ЖТФ, т. т'11, 1096, 1937 (см.
также гл. 1! наст. кн.). 88 это условие и которые обладают свойством полного поглощения падающей звуковой волны. Таким свойством может обладать, например, резонансная система при определенном подборе ее затухания, а также специально сконструированные поглотители из толстых слоев пористого материала. При очень высоких частотах импеданс поршневой диафрагмы стремится к величине Грс, причем она создает пучок направленных волн, подобно прожектору. Следовательно, звуки очень высокой частоты (ультразвуки) на конце трубы не будут испытывать отражения, а будут свободно выходить в открытое пространство в виде пучка плоских волн. Труба, закрытая на конце твердой стенкой, аналогична разомкнутой электрической линии. Открытая труба аналогична коротко замкнутой линии.
В первом случае на кочце образуется максимум давления (напряжения), а во втором — максимум скорости (тока). Если Е! ~е Юрс, то часть звуковой энергии отразится, а часть пройдет в импеданс 2:!, т. е. поглотится им. Напишем выражение (5,17) для давления р(х,!) в несколько иной форме, пренебрегая затуханием р в трубе и введя обоз- начение У! — ЯР с рм г= +,— — ге (5,21) р(х~)=рс — ' (Е!+Брс)е! '[е !'"+ге)!'"+м — эл!)]= = А[! 1+г'+2г сов 2 [е(х — 1)+ о] е!т е!"'.
(5,22) Здесь А = ф,рс ' + Р' ели г Яп [й [х — 2!) + 2 а! — яп Лх г сои [Л [х — 2!) + 2 а[ + сов Лх ' В скобке выражения (5,22) прибавим и вычтем ге !"; преобразуя, получим; р(х Г)=А[е !'" — ге-!""+ге )~"+ге)л" "'+" е)ы м)]ел != А(1 г) етом ь) + 2! Ае!(оя+ ™) соз [/г (х — 1) ] ц] (5,23) где г — абсолютная величина коэффициента отражения гр, а 2а— его фаза; тогда получим Из структуры этого выражения видно, что волновой про. цесс в трубе можно представить как сумму бегущей прямой волны с амплитудой давления А11 — г) и стоячей волны с амплитудой давления 2Аг.
При значениях х, удовлетворяющих условию илх — 1)+3= = тя, где т = -+ О, 1, 2,..., т. е. на расстояниях от конца трубы, равных а я а с1=1 — х= — — т — '= — — т — =( — — т ) — (5,24) )з получаются максимумы давления стоячей волны. В случае абсолютно жесткой стенки первый максимум давления лежит на конце трубы лх=1) и И=О. Это возможно, если 2а=т.2к, Очевидно, что тогда коэффициент отражения г является действительной величиной.
Ближайший к концу трубы максимум давления получится при т=О, т. е. при Ь 1 — х=— = л' или х=Р— — „. Ниже будет показано, что 3 может изменяться в пределах: -,. ( 2ь ( . Таким образом, импеданс Л! на конце трубы может давать сдвиг первого максимума как внутрь (Ь )0), так и наружу от конца трубы 1Ь (0).
В последнем случае первый максимум внутри трубы получается при т = — 1 и его положение будет: а л х'=1 — — — —. л 2 При значениях и1х — 1)+а=(т+ — -) я или 1 ! — =-л — — ( + 2-) 2 — — ~ — +(т+ 2 )) у, 15,25) как ясно из формулы 15, 22), получаются минимумы давления стоячей волны. Суммарное звуковое давление в минимумах получим из соотношения 15, 23) при условии 15, 25): ~! —.
— ---;) =~р„ь,~ ° а ! эо где 1р ы!=А(1 — г) — амплитуда давления в бегущей части волны. В максимумах, согласно равенству (5, 24), учитывая, что соз те= е-' ", получим: Давление в максимумах по амплитуде равно А(1+г); сдвиг фазы между ртак и рвы равен Отношение амплитуды звукового давления в максимуме к амплитуде давления в минимуме, называемое коэффициентом стоячей волны, равно: И=в !Рп1ах ! 1+ т !Рпип ! 1 — г' (5,26) откуда М вЂ” 1 1 = —. М+1 (5,27) Коэффициент поглощения звука как функция импеданса У, на конце трубы Рассмотрим несколько подробнее соотношение (5,21): Ес ЯРс -рн 2! -!- ЯРР Импеданс 2, есть, вообще говоря, величина комплексная; обозначим активное сопротивление через Ц, и реактивное через )'ь тогда А,=К+Я с — — ~Рея, +/у1), (5,28) где (5,29) безразмерное активное и реактивное сопротивления на единицу плон(ади трубы.
Учитывая выражения (5,28) и (5,29), формулу (5,21) запишем в виде: 11~ — 1+11 ~ ья гр — — + . — — ге '. 91 =А(1 — г,''И"' е'" "'! е ~ "+2А г е1"' е'!' "" е ' '= рп~ак = ( — г) =1р,„~ е~"' е1" " где !ртах ! = А(1 +г). Выразим г и 8 через К и У, (»» + 1)'+ У', ! !» (»~, +1) + У,'!' 2У, ф28= Р»+ У( — 1 1 Ж+ 1» — 1 соз 28 = — ! Ф»+1) +У, г ! )'(й»+Г» — 1) .(-4У!! 21' 1 21', а!и 28= ! — ° (й»+1) + !» г ~ )гЩ+ У~» 1)»+4У»! ° Если У,=О, то Я»» — 1 соз28=- — -' — — =-+-1; а!п 28=0. ! !оскол ьку О ( К( оо, фаза 28 может быть равна (при )'»=0)-~-О или !»».
Очевидно, соз 28 и Мп 28 могут при У, ч О принимать все значения от — 1 до + 1, проходя через нуль. Следовательно: — а(28 (»». Величину г можно представить как (5,32) Ф вЂ” 1 г=е =,+, - а» (5,33) При изменении г от 1 до О величина а меняется от О дооо. В табл. 3 приведены значения г и а для различных М. Таблица 3 6 ! 20 ~ а»л 0,2 ! 2 20 !я»»» 0,1 1 0 0,82 1 0,82 0,52 0,205 О,ЗЗ 1,8 0,024 0 Используя соотношение (5,33), получим » -а) А»+ ! (5,34) где где всегда а) О; нетрудно показать, что С!)!а=№ З)1аа = —,; С5»а =, . (5,33а) Тогда из формулы (5,34) следует: Ею — — —,' — — )~1+1)'у =,„— — СФФ = Сй (г — уЗ). (5,35) Разлагая Сй4 на действительную и мнимую часть и учитывая, что Сйу2о=соз2З и Яйу26=уз)п2о, нетрудно найти, что Язгс яп2о Сьгс — соггг ' 1 Сйгс — соггг Или, учитывая равенства (5,26) и (5,33а) и выражая С)12а и ЯЬ2г через М, получим: И= 2м )т (м' — 1) мп24 тб 35 ) '=(№+1) — (№ — 1) .
' =(, -1 1) ( - 1), ( По этой формуле можно вычислить Р, и 1; по измеренным на опыте величинам И и о, Геометрическая интерпретация преобразования (5,35) или обратного ему преобразования (5,30) и (5,31) будет дана ниже. Преобразование такого типа очень часто используется в теории электрических линий.
Если из опыта известно значение уп', то коэффициент отражения найдем по формуле (5,27) г= 1. Это соотноше- М вЂ” 1 ние служит для определения коэффициента отражения по методу стоячих волн в трубе (методу акустического интерферометра). Обычно для практических целей вычисляют отношение поглощенной звуковой энергии к энергии падающего звука. Поскольку интенсивность звука пропорциональна квадрату амплитуды звукового давления, то отношение интенсивности отраженного звука у, к интенсивности падающего у; равно г', а величина 4 1т у; — ут а= 1 — г'= т ~ т 2+М+' у М представляет отношение поглощенной энергии к падающей, т. е.
коэффициент поглощения звуковой энергии. Величина а называетси ноэффициенлсом поглощения звука. Обратим внимание, что в равенстве (5,23) координата х входит во второй член только в сочетании ( уг(х — у) + Ч. Это значит, что расстояние (х — У) максимумов и минимумов от конца трубы при данном 7г зависит только от величины о, которая является функцией лишь л,ь но не зависит от л, Величина о легко измеряется на опыте, что дает возможность определить Еп Преобразование, выраженное формулами (5,30) и (5,31), или обратное преобразование (5,35) Сй ф = уст, +у); представляют 93 дробно-линейные конформные преобразования, которые можно изобразить графически на плоскости комплексного переменного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
