Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Радиальная компонента скорости частиц о7, определяется дифференцированием по г величины —; Р Р(2 кого)+72ьг) ~1.. мч уор мрг' о ьва = — У, К'4+й'гл е'Р е""" "'1 оорГ' Э (4,18) 2аг гДе !К оР1 = 2 Л'г' '!'ангенциальная компонента скорости частиц яро др —— — — ". — — — / "„", (1+/Й.) з)п Эеп"'- '"' = .
змпа = — / рг ) 1+йог'.еое .е""' "', (4,! 9) где !и р,=Йг. Сравнение этого выражения с соотношением (4, 13) показывает, что др отстает по фазе от р на 90'. Вследствие этого 7з В области коротких волн (при йго,л 1) гг, — —, 5 р е, 1 а М, -., —,, -э О. Сравнение сопротивления излучения Л", и 1 Логоо /~,' приведено на рис. 17. получим поток энергии в тангенциальном направлении ! ./с= — ре(77с7'), равный нулю. Для сферической волны, вызываемой равномерной пульсацией шара, так же как для плоской волны, интенсивность Рт звука l= —; — Р" . Интенсивность звука, создаваемая осцилли- 2 рс рующей сферой, выражается не так просто.
В самом деле, используя соотношения (4, 13) и (4, 17), получим: 7 ! ~Рт~ 2 рс ! + 7с'сс Только при 7сг)) 1 интенсивность звука У, — — . Выра! !Р !' 2 рс жение для интенсивности звука равномерно пульсирующей сферы в функции амплитуды скорости д (см. формулу (4, 12) ) при lгг=ь! тождественно с аналогичным выражением для плоской волны.
Нетрудно показать, что для осциллирующей сферы (4,20) При Й ~)~! !с 'рс дт Особенности звукового поля осциллирующей сферы Наличие в звуковом поле осциллирующей сферы (диполя) тангенциальной компоненты скорости частиц, сдвинутой по фазе по отношению к радиальной — см. формулы (4,18) и (4,19) — приводит к тому, что частицы движутся не по прямолинейным, а по эллиптическим траекториям. Только в направлении оси (9 = О,т) и в экваториальном направлении (9 = — ) траектории всегда прямолинейны и параллельны оси диполя; при промежуточных значениях 9 траектории являются эллипсами.
На рис. 18 показана форма траекторий частиц при различных углах 9 с осью диполя и различных значениях 7ссч )сг((1, )сг=2 и 7сг с 1. Масштаб амплитуд (для каждого значении lи) выбран так, чтобы при 9=0 при всех взятых значениях 7сг получались одинаковые значения амплитуды скорости; таким образом, убывание амплитуды с ростом г на чертеже не учтено. При лг((1 и 7сг) 1 траектории становятся прямолинейными при любых углах 9, однако в первом случае направление колебаний не совпадает с направлением радиуса г (за исключением угла 9= 0), а во втором — совпадает при любых 9. При значениях кг порядка единицы траектории при углах 9, лежащих между 20' и 70', приобретают отчетливую эллиптическую форму и могут превра- 74 щаться в окружности.
Из формул 14,18) и 14,19) следует, что отношение амплитуд радиальной и тангенциальной скоростей равно: ) ~,~ 1> 4 + Авг' ! Чв ~ 1/1+ Н-в а тангенс угла сдвига фазы между ними Эти обстоятельства имеют значение для техники акустических измерений. Если измерение проводится в ближнем поле, вв «гж! м>в Рис. 18 то использование приемника, реагирующего на скорость частиц (например, диска Рэлея или ленточного микрофона), не може~ дать верных результатов, так как вектор скорости частиц не сохраняет постоянного направления, и за период его конец описывает некоторый эллипс.
Измерения при 9 = 0 или я возможно проводить, но интенсивность по измеренной скорости следует рассчитывать по точной формуле (4,20). Если измерение ведется при а= —, то по формуле (4,19), положив в ней в1па=1, можно вычислить )Ь!, а затем по формуле 14,17) найти интенсивность звука в любом направлении. Разобранный случай звукового поля колеблющегося шара может служить известной аппроксимацией для рассмотрения акустических свойств различных излучателей аналогичного типа, например, колеблющихся в свободном пространстве пластин, стержней или тел другой формы.
Для таких систем характерно, что скорости по нормали на одной стороне тела противоположны скоростям на другой. Это приводит к коротким замыканиям линий тока и сильно снижает эффективность излучателя, когда размеры тела малы по сравнению с длиной волны. Таким образом, при низких частотах все излучатели оспилляционного типа весьма мало эффективны.
Для увеличения отдачи громкоговорители диффузорного типа снабжаются экраном большого размера, что уменьшает замыкание линий тока; экран как бы эквивалентен увеличению параметра яг, Характеристика направленности излучателей осциллирующего типа всегда имеет форму восьмерки. ГЛАВА 5 ИСЯРОСТИНЕНИЕ ЗОУНй О ПРЯМОЙ ТРУОЕ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ Уравнение распространения звука в трубе Прямзя труба постоянного поперечного сечения является составной частью всех звукопроводов, применяемых на практике, и потому рассмотрение законов распространения звука в такой системе очень важно для решения всех вопросов акустики, связанных с экспериментом.
Будем предполагать, что боковые стенки трубы абсолютно твердые и совершенно не проводят тепла. Допущение наличия упругости и теплопроводности стенки приводит к значительному усложнению решения задачи. Эти факторы дают добавочное затухание звука вследствие отдачи энергии колебаний стенке и приводят к искажению плоского фронта волны.
Внутреннее трение в газе (или жидкости), заполняющем трубу, будем учитывать в упрощенной трактовке, считая, что скорость движения частиц 1 одинакова по всему сечению (т. е. считая волну плоской), и принимая силу трения пропорциональной этой скорости. Фактически при малой вязкости скорость почти постоянна по всему сечению и быстро падает лишь в узком пограничном слое у стенки. Кроме того, будем считать, что диаметр трубы значительно меньше длины волны. При этом условии неоднородность скорости по сечению трубы, даже если она возникла, быстро выравнивается и волна становится плоской (см.
гл. 6). В трубе сечения 5 выделим малый элемент объема оЬх = Ьп (рис. 19), ограниченный двумя плоскостями с координатами х, и х, = х1+ Ьх, перпендикулярными к оси трубы, причем Ьх С,'Х. При прохождении звука слой частиц с координатой л, сместится на величину 1, а слой с координатой х, — на вели- чину 1+ — Ьх. Объем элемента, содержащего все частицы, над$ дх ходившиеся ранее между х, и хь будет равен: 5(хр+1+ — а — Ьх) — 5(х, + 1) =5нх+ 5 9 — - ах= ах~ = 5 (1 + — '1 Ьх = Ьо + 3п = Ьп (1+ — ~ .
Относительное изменение объема (деформация) Ьо да ьр ая дх р,' Это соотношение эквивалентно так называемому уравнению неразрывности (см гл. 1). Составим уравнение движения элемента Ьп. Как лх«Л Рис. !9 и при выводе основных уравнений акустики, вместо полного д:- ускорения — возьмем только локальное ускорение дР ар предполагая, что скорость и градиент скорости частиц малы. Сила реакции, возникающая за счет инерции элемента, запишется тогда так: рпх5-ар- —— р5Ьх ар д ав Силу трения будем считать пропорциональной скорости движе- д:- ния —: д1 ' г,5ьх — .
да др ' Величина г, представляет коэффициент трения, рассчитанный на единицу площади и на единицу длины трубы. Для труб с диаметром намного меньшим,' чем длина волны, но все же не слишком малым (практически не менее О,б — 1 см), на основании исследований Стокса и Гельмгольца (см. гл. 7) г, = - — ~/2 рйеч (5,1) где г, — радиус трубы, ы — круговая частота, р — плотность среды и и — коэффициент вязкости (коэффициент внутреннего трения) среды, заполняющей трубу; для воздуха и 2 1О ' пуаз, для воды и-О, 01 пуаз. Полная сила тренин для элемента длины Ьх и с площадью 5 будет равна: г1 5Ьх - -' = «гс Ьх ° — )/2ршо — = Я )/ 'с †", (5,2) т.
е. пропорциональна боковой поверхности элемента 5= 2кс;с Ьх. Для капиллярных трубок зависимость (8,1) теряет свою силу и коэффициент трения определяется, согласно закону Пуазейля: г1= т (8 3) Таким образом, для капиллярных трубок величина полного коэффициента трения, равная сс = ег',Ьхг, = 8ииах, не зависит от радиуса трубки г, и частоты м; вывод формул (8,1) и (б, 3) дается в главе о звукопроводах. Бели стенки трубы хорошо проводят тепло, то эффективный коэффициент вязкости и' возрастает вследствие потери энергии на отдачу тепла: Урт=1'И ~1+(Т вЂ” 1)(„—",~) *~, ср где т= — р, а э — коэффициент теплопроводности газа. заполс няющего трубу.
Внешней силой, действующей на элемент Ьп, является равнодействующая сил давления на основание цилиндра с площадью 5 и длиной Ьх; боковые давления взаимно компенсируютси. Суммарная сила внешнего (переменного) давления на элемент М равна: 5р - 5 ~р+ Р— Ьх1= — 5 дл — Ьл. Для адиабатного процесса, какимприсделанныхпредположениях и при малых амплитудах можно считать волну в трубе, выполняется соотношение: Ьс д;- дх' (5,4) Для газа коэффициент объемной упругости х=1Р„где Р,— статическое давление. Учитывая силы реакции, действующие на элемент, и силу давления, получим уравнение движения: р5!!х --, + г,5ьх — = х5ах д~ или, сокращая на 5Ьх, д'"; д: д% +'! х' дР+ д! дх' ' (6,5) Дифференцируя уравнение (5,5) по й, умножая под знаком дифференцирования на 5 и еще раз умножая все уравнение на 5 и обозначая объемную скорость 5 '~=х, получим уравнение движения в форме: д'Х дХ д'Х М,— +7г,— — К,— =О, дР д! дх" (5,6) где М,=р5, й,=г,5 и К,=х5.
Величина К, является коэффициентом упругости, Л, — массой, а Й, — коэффициент трения, причем все они рассчитаны на единицу длины трубы. Уравнение (5,6) аналогично уравнению распространения волн в электрической линии, или телеграфному уравнению: дп д! 1 дч С,— +а — — — — =б дп д! С, дх' (5,7) Обьемная скорость Х в уравнении (5,6) аналогична силе тока ! в уравнении (5,7), масса Л, — аналогична индуктивности на единицу длины линии Еь коэффициент трения,9, — сопротивлению)с, на единицу длины линии, коэффициент упругости К,— обрат! ной неличинс емкости на единицу длины линии †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
