Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Она проявляется только в ускоренном движении, а при равномерном движении, когда а=О, она отсутствует. Излучаемая мощность Расчет энергии, протекающей через сферическую поверхность радиуса г, наиболее наглядно может быть выполнен, если использовать не комплексные выражения для р и д, а тригонометрические функции от волнового аргумента (в1 — йг).
Мгновенная работа давления на поверхности сферы, отнесенная к единице времени, будет равна: рд= — соя(ас — Ь) соз(в1 — Ь.— р) = а' а' сВ = — +, соз2(а1 — Аг)+ —,з(п2(ш1 — Ь).1 т, 2г'рс 2г."рс 2г'рр ь Среднее значение работы на единицу плошади за единицу времени, т. е. мощность, проходящая через 1 см', или интенсивность звука, будет равна на основании соотношения (4, 5): 0 Р ~~,~ %и (4, 12) Таким образом, в сферической волне интенсивность выражается через амплитуду звукового давления р так же, как и в плоской волне, но через амплитуду скорости частиц д выражение интенсивности получается более сложное.
Выражение для У можно записать также в форме у= — р д сову, 66 аналогичной выражению для мощности переменного тока. Полная мощность, излучаемая сферой радиуса гм 4яа' ~й '0 где )с, — уже введенная ранее величина активного механического сопротивления. В новой интерпретации величина Ь', приобретает смысл сопротивления излучения. Заметим, что величина У может быть тзкже вычислена с помощью комплексных выражений для р и о по формуле: 2 В среднем за период второй и третий члены в выраже- Т нии для тат дадут нуль. Однзко за четверть периода от 0 до— 4 получится среднее значение мощности, протекающей через по- а'|ят 2 ен верхность сферы радиуса г;. У = „, — = —,. Полная 2у4Рс ч пгфв Т работа, расходуемзя излучателем за время от 0 до )Р'~ —— ю рв ° — = — —, 4яго -1- — — (4птоР мп Ро) -24 = 2 "Йо.
Полученная величина представляет кинетическую энергию массы М4 (присоединенноймассы), обладающей амплитудой скорости о„соответствующей скорости на поверхности сферы. Таким образом, работа, производимзя излучателем за первую четверть 1 Л4 периода, расходуется на создание кинетической энергии — Л4оч' 2 Т Т~ За следующую четверть периода (от — до — ~ величина мощ- 4 2) кости рд будет той же, но с противоположным знаком. Это значит, что кинетическая энергия, запасенная присоединенной массой за первую четверть периода, будет отдана излучателю обратно. Из сказанного ясно, что мощность, связанная с компонентой скорости, отстающей на 90' от давления, является резктивной мощностью, аналогичной мощности, потребляемой индуктивностью в цепи переменного тока.
Кинетическая энергия, связанная с реактивной компонентой скорости, может быть представлена как сумма кинетических энергий всех элементов среды, окружающих излучатель и ко. леблющихся с амплитудами, соответствующими реактивным компонентам скорости, убывающим по мере удаления от поверхности излучателя (см. гл. 8). бт Пульсирующая сфера служит хорошей аппроксимацией при расчете звукового поля любых источников пульсационного типа при условии, что длина волны значительно больше размеров источника. В этом случае дифракционные явления приводят к тому, что излучение распределяется равномерно во все стороны, какова бы ни была форма пульсационного источника. Пульсационный характер имеет, например, излучение мембраны телефона, задняя сторона которой закрыта и не может излучать звук. Такой же характер имеет излучение звука сиреной, где происходит выталкивание воздуха через ряд отверстий.
Во всех случаях, когда ИР4„'1 (Р— линейные размеры излучающего элемента), можно подсчитать излучение, принимая А, ~ 1,1ь где Я,— объемная скорость, создаваемая пульсирующим источником. Скорость колебания отдельных частей телефонной мембраны изменяется, увеличиваясь от края к центру; в этом случае Я,= ~ ~у(г)Ио, причем интегрирование совершается по всей поверхности мембраны. Для сирены Я, будет представлять суммарный поток скорости через все отверстия, равный расходу сжатого воздуха за секунду.
Во всех этих случаях излучаемую мощность можно подсчитывать по формуле: В (')2 П= —. ° — ' Акустический диполь и осциллирующая сфера Пусть на оси я расположены на расстоянии зл, весьма малом по сравнению с длиной волны, два точечных источника одинаковой производительности, но с противоположной фааой. Первый расположен в начале координат, а второй на расстоянии зл от него (рис. 14).
Звуковое давление, создаваемое первым источником в точке Р„лежащей на рас- стоянии г под полярным Р' углом Э, пусть будет р;, ~дз тогда давление, создавае- 0 мое вторым источником в ..Г той же точке, будет равно и противоположно г по знаку давлению, созда- Г ваемому первым в точке Р', Ю лежащей на зл выше, чем Р, ! дд "Р = — (Р+д-,") Суммарное давление в точке Р будет равно: Рис 14 68 р = р, +р,= — — Эя= — — аза. соя Ь, др, Задавая р, в форме и,= — е "' е' ', получим: г р = —, (1 + уйг) сов Ь еи (4,1 3) Величину азг=д можно назвать моментом дипола. Рассмотрим звуковое поле в ближней зоне, когда лги" 1.
В этом случае откуда видно, что движение во всех точках синфазно и волновой харзктер поля исчезает. Важно отметить, что движение в ближней зоне аналогично движению в несжимаемой жидкости. Действительно, для несжимаемой жидкости х = со и с=оэ, а, следовательно, А= — =О Поскольку с=со, то все с процессы движения происходят во всем пространстве одновременно и волн быть не может. Следовательно, процесс колебаний в ближней зоне можно рассматривать„предполагая, что среда несжимаема.
В ближней зоне диполя будут иметь место как радиальные 11„ так и тангенциальные пэ скорости частиц: 11, = — — — =26 —.е'" = —, 1 др сов Э „~ дг ~ар дг д рг' д1' 1 др япа эк гда Скорость частиц убывает обрзтно г', т. е. значительно быстрей, чем давление. Разделив д, на дэ и умножив на ИЬ, получим дифференциальное урзвнение линий тока: Нг 2 Она ~Ь 2Ы(а1п Э) г ипЬ апа Решение этого уравнения имеет вид 1пг=!п(а1п'Ь)+ !и С г= С з1п'Ь, (4,14) или где С в произвольная постоянная, являющаяся парзметром семейства кривых.
Построение этих кривых при различных значениях С дает картину замыкающихся от полюса к полюсу линий (рис. 15). В каждой точке поля колебание частиц происходит по касательной к линии тока. На больших расстояниях от излучателя звуковое давление р ф - соя а е""" "', ! Ь Г а радиальная скорость частиц я,15) ! е дс Ессса", ° д с лн .,Ьсосэ л„с ьн е Лср рсг' рсг Следовательно, в дальней зоне р и ср, убывают обратно г и пах< дятся в одной фазе.
Характеристика направленности диполя— Рис. 15 отношение р(Ь)1р(0) на одинаковом расстоянии е — определяется функцией созЬ и имеет вид восьмерки (рис. 1б). Наибольшая интенсивность будет в направлении оси диполя (ось г); в направлении, перпендикулярном к оси (в экваториальной плоскости), излучение отсутствует, так как Предположим, что сфера радиуса бь колеблющаяся вдоль оси г со скоростью дсе~ ', создает звуковое поле, подобное полю диполя (4,13).
В этом случае на поверхности сферы в каждой точке радиальная скорость д, соз Ь е~ ' должна равняться радиальной компоненте скорости в звуковом поле при г= г;. дР ~ др соз Э = — ' . ' = ., ~(2 — Ьаг,') + р2Ь; сов Ь. дг, г=г, ае Л'о( уер ~мрем ~ о арто граничное условие позволяет определить Ь.
уарегаее гз Ь= 'Ча = (2 — Л'го) + 22агю « '1 ерг', ! ( ео — р~+ а ] р' 4 + а'г4 2агр гле (Я Р1 =4+,г,. Поле диполя с моментом Ь дает, таким образом, на поверхности сферы радиуса г, то же самое распределение радиальных скоростей, какое получается при колебательном движении шара как целого со скоростью дееР"е. Обратим внимание, что на тангенциальную компоненту скорости д, Мп Ь и' ' 8 не накладываются условия равенства с Рис 16 тангенциальной компонентой поля на поверхности, что вполне возможно допустить в идеальной среде без трения.
Подставляя значение Ь в формулу (4,13) и принимая, что г=г„получим для давления на поверхности сферы: р(ге) — Рс. Ь; +2(,, 2)д,сов в.е' . + ~ ге Импеданс осциллируюрцей сферы Полная сила давления на всю сферу получится из выражения; Р= ~ р (1 а) соя Ь 2яг,* 5(п Ь ° с(Ь = о =2еГ*РСЬГ ', " ~е~СОаеве((СОВ Э)= А'г", + /(2+ е1г~) о е 4+аг, о — — .:т з 4~ге Рс 4+ ~у~ ~ + /а (з я~ е и) 4+ лег~~ 4ре 7! Импеданс осциллирующей сферы, вызванный реакцией окружаю. щего поля, будет равен: 1 ЛЧ~ 2+ М> в Е,= — =/~,+/); = 3 5РС 4+лч'+)аЛ44+мг' где 5=4ег,', а Л= — ег,'р — масса среды, вытесненная сферой. Колеблющаяся сфера испытывает активное сопротивление Лоб Рис. 17 (сопротивление излучения) и реактивное (инерционное) сопро- тивление )'б зти величины равны: 1 Лг1 5РСК = 3 5РС 4 1 М(~~ 1, 2+ ЛЧ' 3 ' 4+3'Р1' (4,16) 4 А''' (4,1ба) Для длинных волн (7РРРч'1) юга Р~'3* 1с = — 5рс — '= 3 4 192п'с' М 2 11=® =и я~еР.
Отсюда ясно, что в области длинных волн сопротивление излучения осциллиру1ощей сферы растет пропорционально е' и 5' (для пульсирующей сферы — пропорционально в' и 5')„ а присоединенная масса равна — (вместо ЗЛ4 для пульсирую- М 2 щей сферы). 72 Реактивное сопротивление следует приписать действию присо- единенной массы: Интенсивность звука в поле осциллирующей сферы Интенсивность звука равна среднему потоку мощности через 1 елгр: — ! 1 ~ЬРЛ'соооа А =И, = — йе(7п7„') = 2 !го 1 (4,17) Полная (глобальная) излучаемая мощность получится интегри- рованием 71 по всей сфере: Л го по — — ~ 2оог з1пз У'дь з оре 4 ло ' о7о 4+ Логоо о 2 (4,17а) Из этого вывода очевидно, что активное сопротивление гг, обусловлено потерей энергии на излучение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
