Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 17
Текст из файла (страница 17)
При постепенном перемещении в трубе 1по направлению отрицательной оси х) точка, изобра- жающая импеданс на плоскости комплексного переменного, будет перемещаться по спирали с постепенно уменьшающимися витками. При достаточной длине трубы спираль будет посте- пенно свертываться и придет в конце концов в точку (1,0), соответствующую в=со, 1ц=1). Таким образом, достаточно длинная труба при наличии поглощения в среде, ее заполня- ющей, обеспечивает полное поглощение звука, входящего в нее.
Тот же результат можно получить, анализируя выражение (5,49). Для твердой стенки на конце параметры е, и от равны нулю и 4м — — Юрс С111 ф1+/а1), Легко видеть, что при 1- со, Ас — Юрс и, следовательно а — ь 1. Собственные колебания в трубе, замкнутой на нмпедансы Уе и У~ При возникновении собственных колебаний в системе, состоящей из трубы, замкнутой на импедансы Ес и Ль фаза волны, пробегающей систему в прямом и обратном направлении, ': См. Г.
Д. М в л ю лт и н е ц. Информационно-технический бюллетень строихельствв Дворца Советов. Мч 1941. 1О? должна измениться точно на 2яп. Учитывая сдвиги фазы, рав- ные 2оо и 2о, на концевых импедансах, и набег фазы, на двой- ной длине трубы, это условие можно записать так: 2З! — 2И+ 2ао = 2яп, откуда з!и 2И = о!и (2ао+ 28о), соы 2И = соз (2оо+ 2о,), (5,50) ош 2И= з!и (2о,+оо)= — —., '— '; сов 2И=соы(2о,+оо)= н †! Т)„-!- ! !в 2И 2 !я Л! 2 собою !ь(2о + ) 2ки (5 5!1 о:оы — ! сохою — ! в ' ' У,,— ! Эти уравнения имеют два решения: !а И= — )'и, с!К И=) и. (5,52) Второе решение не удовлетворяет уравнениям лля сов 2И и ы!п2И и появляется как лишнее при решении уравнения (5,51), в которое входит с!я И. з) Из уравнения 1я И= — )'и при Гп = 0 (открытый конец) о, получим: И=п- и 1=п — ',. что является известным результа- том для открытой с двух концов трубы.
! ! б) При )'и — со (закрытая в конце труба) И=(п+ — ! -. и !! х о=(п+ — ! —; это также хорошо известный результат. !оы где косинусы и синусы фазовых углов 2оо и 26, определяются формулами (5,31) и являются функциями частоты и. Из уравнения (5,50) определяются частоты собственных колебаний системы м. Решение этих уравнений в общем виде достаточно сложно. Проще всего решение можно найти графически, если построить в функции ы левую и правую части уравнений и определить точки пересечения соответствующих кривых. В некоторых частных случаях решение легко получается аналитически.
1. Пусть, например, труба в начале открыта, а на конце закрыта чисто реактивным импедансом Уп. Тогда )'оо= О, )оооо=О и 2ао=п. Из формул (5,оО) и (5,31) получим: 11. При Уп —— со и Дн=0 (жесткая стенка) и при включении импеданса 1'„в начале, з(п2а,=О и соз2ао=и!; следовательно, 26,=0. Из соотношений (5,50) и (5,31) получим: 2 ум 11о з(п2И=з1п2о,=",; сов 2И= соз26о= —. 1 го+1 у*„+11 1К2И=1й2оо= — и ~ = — ва, 1= у 1и Из последнего уравнения, как и в случае открытой на конце трубы, найдем: 1й И = — 1 ии с1и И Г1о, (5,53) однако пригодно лишь второе решение.
Условие резонанса будет иметь вид: с1я И = У1о. 1П. Если в начале труба открыта, а на конце присоединен объем )У (рис. 2б), то, когда его размеры малы по сравнению с длиной трубы 1 и длиной лг l и еу Рис. 26 Рис. 27 в функции И семейство тангенсоид (рис. 27) и гиперболу 8! 1 — —. Точки пересечения гиперболы с тангенсоидой будут соответствовать корням уравнения для собственных частот.
Когда длина трубы невелика, первый корень будет значительно меньше других, и можно приближенно считать: И 1 1йИ И= — —. —, И' откуда И вЂ” ~ или а= с ~/ -'- = с )/ —, (5,54 а) где К= — величина, называемая проводимостью. Это извест- 3 1 ная формула для собственной частоты резонатора. 1Н. Рассмотрим собственные частоты открытой с одной стороны трубы длиной 1ьна другом конце которой присоединена Рис 28 труба длиной ь', с сечением а, закрытая или открытая на конце (рис.
28). Учитывая трансформацию удельных импедансов (см. гл. 7 о звукопроводах), можно написать на основании формул (5,45), (5,47) и (5,52) уравнения для собственных частот. — с(я И, 3 3 — (дИ, а (закрытая труба), 1 (5,55) (открытая труба). (йИ,= Если труба 7, короткая, то для закрытой трубы 3 1 а ($И3 — Л1, или с(ЯИ! у )ггя. Г!ри — И,~~ 1 из последнего уравнения следует: Я ~с а — — И~ — Иь — пя 2 3 я1 откуда ыо (2а+ 1) — ' или)'„ы ( +). Ф а 1 + — 1з 1 4 (й + — 1з) 3 В случае присоединения очень узкой трубы ( — 1, «. 1,) получим известную формулу для трубы, открытой с одного конца и закрытой с другого. Таким образом, присоединение узкой закрытой трубы 1, понижает собственную частоту основной трубы. Если а=5, то уравнение собственных чзстот примет вид.".
!и И, = с!я И, !закрытая труба), 1и И, = — !я И, !открытая труба), откуда !закрытая труба), !открытая труба). Это известные уравнения для собственных частот трубы длиной !7, + 1,); результат является проверкой правильности примененного метода расчета. Рассмотрим случай короткой открытой трубы 1, считая, I Я Я И,(1. Если трубз очень узкая ! — ~1(, так что — И,))1,то /к ! а 1 а 1 !о 1 с!КИ,=!а~ — — И,) = — — — = — — — = — !К('— ! 2 ) Я !ХЛ!в Я Л!в (,Я Ыь(' откуда Я ! О 1 ! а й 1 — — И,ы — ~ — — + ля~= — — — — — Пя 2 л!з+ l я 1~ лй Для нахождения И, получим квадратное уравнение, положи- тельный корень которого дает: 4ай (!)2$'Я!,'(-~- 2/ Из этой формулы ясно, что просоединение тонкой открытой трубы повышает собственные частоты основной трубы длиной Кроме того, очевидно, что обертоны будут негармоничесними; действительно лй 4(2л+ 1) Г 4М, Хе= 2,„1-с 4! ~ + Я!~в(2„+!)в1 !.5,56) Повышение собственной частоты можно объяснить следующим образом.
Резонансную систему открытой трубы 7, можно представить как систему с сосредоточенными постоянными, причем некоторзя эквивалентная масса сосредоточена близ открытого конца, а эквивалентная упругость — близ закрытого конца. Присоединение открытой трубы 1, создает на закрытом конце дополнительную массу, которая оказывается соединенной с основной массой трубы через промежуточную упругость. Общая масса получается параллельным соединением двух мзсс и оказывается меньше основной массы воздуха в трубе, что и 111 вызывает повышение собственной частоты системы. Такая система известна под названием „звуковой гриб". Иначе обстоит дело, если площадь трубы 1, не очень 8 мала и соблюдается условие сМ,((1.
Тогда 1яИ,=-- —,АЖ,—.— -И., --ф-й1, .-„1 Б 3 3 н из (5,55) получим: 3 !', 3 Кжп: — — М~ или й~1,+г(,) пя. а Это условие соответствует собственной частоте открытой с обеих сторон трубы длиной 1, + -, 1я. Например, если — = 1О; 5 3 1,=10 см и 1,=1 см, то из-за добавки трубочки 1, получим удвоение эффективной длины трубы и понижение всех собственных частот в два раза.
Проведенные рассуждения естественно применить к вопросу о влиянии импеданса слоя, покрывающего стены помещения на собственные частоты. Если импеданс на конце трубы имеет отрицательную реактивную часть, то на основании соотношения (5,54) и из рис. 27 ясно, что первая и следующие собственные частоты системы понизятся по сравнению с собственными частотами закрытой трубы, для которой (аы= Ы=~ +-,') . Таким образом, отрицательный (упругий) реактивный импе- данс понижает собственные частоты и эквивалентен как бы увеличению размеров. Наоборот, при положительном (инерционном) импендансе на стенке собственные частоты, как это следует из равенства (5,56), повышаются, т. е. размеры системы как бы уменьшаются.
Произведем определение резонзнсной часТоты для трубы, закрытой при х=7 и оканчивающейся импендансом Е, при х = О, еще другим способом, применительно к вопросу о влиянии передней полости на работу конденсаторного микрофона. Рассмотрим действие звука на трубу, закрытую с одного конца жесткой диафрагмой микрофона Л, и имеющую на открытом конце фланец достаточно большой величины (рис. 29).
Граничный слой трубы будем считать за плоский поршень площади 5=кг, *с импедансом ~~ = ~~гЯ~~+Л'~), вычисляемым по формулам для поршневой диафрагмы (гл. 11). Пусть на этот поршень действует сила ф, возникающая под действием плоской звуковой волны с амплитудой давле- ! 1а ния рь падающей по направлению оси трубы. Для длинных волн можно считать, что у стенки фланца и перед полостью возникает пучность давления и,следовательно, ф=25р,е' '. Импеданс на закрытом конце трубы Е! будем считать очень боль- ор,ее"е шим. Скорость в конце трубы ф 2Зрее! е 6)= — „= а давление рТ= ~Л(!1 Величину Ее! можно вычислить Рвс.
29 из уравнения (5, 42), поедполагая, что Е, ~ Ее и ЕеЛ, л У-'р'се. Первое неравенство очевидно; второе неравенство будет справедливо, если импеданс Е! ~ Юрс = . Так как при низких частотах Е, = Юрс)еег„' Яре 2о 8~с (см. гл. 11), то следует поставить требование, чтобы Е! ~ь — „,, -1 т. е.
импедаис Е, должен значительно превышать Юрс, поскольку величина —... может быть порядка 10' и больше. еее'1 При этих условиях из формулы (5, 42) получим: Ее!=Л, ~ — ' — )гйпМ+созМ~ и, следовательно, бр е.!.2$рое/"е 2роеяи (5,57) З2м ! Мп !е!1!2~„+!(еее — с1яйй) Предположим, что й„= 1'се=О (крайне низкие частоты); тогда !— 2рее! ' 2рее!' ~ — !е ссй Л! юпс! сося! Из этого соотношения ясно, что при ге! — (п+ — ) ес или ! — ~п+ — )— мы получим р(!)=со и в трубе будет наблюдаться резо- нанс. Этот вывод соответствует элементарной теории трубы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
