Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если т и и не равны нулю, то колебания направлены под углом к граням а, Ь. Поскольку частота а= Ьс, а сле2я довательно, длина волны 1=--- в нашей задаче задана, то условие возникновения волнового процесса в трубе (6,14) можно сформулировать несколько иначе, учитывая соотношение (6,12): '„" > уЯ„+ Ь"„=,' —,, Л.„Л. Следовательно, волновой процесс с модой (т, и) может возникнуть в трубе только если длина волн, задаваемых на грани а= 0 больше, чем длина волн 1 в среде, заполняющей трубу.
Можно обобщить втот вывод и сказать, что неоднородности колебательного движения с масштабами меньшими, чем длина волны 1., не возбудят в трубе высших волновых мод. Только колебательное движение с модой (0,0), для которого и,',= 0 и 1.„',=со, всегда возбудит волну в трубе при любой частоте, так как всегда будет соблюдено соотношение л,',)л.
Для каждой волновой моды (т, и) в (6,8) получим выражение потенциала скоростей в виде суммы четырех членов: ф (Х У Я 2) — «~~ УвИ( ~..ь.втл~пУ вЂ” лтпй~ (6 15) В ил 4 При заданной частоте эта сумма будет представлять волну, бегущую вдоль трубы (по оси г) и имеющую меняющиеся значения потенциала скоростей вдоль фронта волны. Скорость глиной волны по оси я равна: У Л Ал+ Лл) 1 Лйи+ Лл У 1— 125 т. е. она всегда больше скорости волн (с) в свободной среде. Поскольку в сумму волн вида (6,15) (при условии ь(х,у)=О или а) входят пары членов с обратными значениями знаков при л и к„, а амплитуды 4 для всех членов суммы равны, возникает стационарное распределение амплитуд в плоскостях, параллельных оси е, т. е.
стоячие волны. Волны типа (6, 15) будут амплитудно-модулированными по фронту; их часто называют также неоднородными. Фаза потенциала скоростей (а значит и звукового давления) при заданном е принимает лишь значения О или; амплитуда волн модулирована при этом по закону соз|г х.соз/г„у. Вместо волн особого вида (6,15),модулированных по фронту и бегущих вдоль оси е с повышенной фазовой скоростью, гораздо нагляднее рассматривать этот процесс как сумму плоских волн, распространяющихся под углом к оси трубы и последовательно отражающихся от боковых граней.
Косинусы углов этих плоских волн с осями х,у и е определяются выражениями: л~» «». соз а = -+- — ° соз Е = -+- --". — — л1 - — — л,"' »ъ +и в1п 7 = -+. и» Выражение (6,15) можно представить в виде: и „~~ Л»ь — »(.а.х св»а-ю-у.со»Ь — ».»»»О1 4 ~т» / он — ь») (6,17) 4 гдеп=-+-х.сова +'у соей — г созтестьрасстояниенекоторой плоскости волнового фронта от начала координат. Для каждой из 4-х волн, характеризуемых величиной и, волновое число будет равно 3Гйт + й„" + А' = й; следовательно, скорость их распространения будет равна скорости звука с в свободной среде. Таким обра=ом, если учесть все комбинации знаков в соотношении (6,15), то волновая мода (и, п) представится суммой четырех плоских волн или пучком четырех „лучей", которые последовательно отражаются от четырех боковых граней трубы, Волновое поле в каждой точке получается наложением этих 126 волн.
Синус угла 7 этих плоских волн с осью трубы, как видно из равенства (6,16), определяется отношением длины волны Л к длине волны Л' „, соответствующей данной моде стоячей волны на грани а=О. Интересную интерпретацию этого выражения мы дадим ниже. Член с коэффициентом Вм в уравнении (6,15) соответствует значениям л =л„=О и л „=А; кроме того,созе х= соз л„у= 1. Вырамсение для Фа, приобретает очень простой вид: Ф„= В„е>'"' "'. Таким образом, коэффициент В„определяет ту часть волнового движения, которое распространяется в виде плоской волны по оси г.
Рассмотрим частный случай, когда л ~ О, но л„ = 0 и стоячие волны иа грани я=О образуется с фронтами, параллельными оси у (мода т, 0). Тогда ф В соз ь к елы — ~тот) В [ел ~-~юла — си~>+ тб — ао ФП теС ел солт"-кто > (6,17) причем й о=)/'7г' — й- . Закон движения на грани а = 0 будет иметь вид ~=а, сов л х е~ '. В этом случае получим в трубе только две плоские волны с волновыми векторами, лежащими в плоскости хх. Направление этих волн определится из соотношений: Ардо — и л' соз7= — л = ~/ 1 у =)' 1 — сов~а= з1па (616) или /г~ Х з1п7=+ Л = +Л ~иО 2~ поскольку в данном случае Л,'„ь= —.
Таким образом, угол 7 М' с осью я будет равен — — я. 2 Рис. ЗЗ поясняет картину распространения волн. Если рассматривать звуковые волны как „лучи", исходящие под углом -+.7 к оси из некоторой точки грани я=О, то картину распространения звука получим, строя последовательные отражения этих лучей от боковых граней трубы. Ясно, что угол 7 может меияться в пределах от 0 (при очень больших частотах л — оо) до — (при к=7т ). Таким образом, с приближением 7а к я , т.
е. при стремлеиии длины волны к величине Л' е или частоты 127 те к величине Д о= — (что соответствует т-му обертону собственных колебаний закрытой трубы длины а), волны, моды (т, 0) принимают все более косое направление. В пределе, при Г= Г"'а, получаются лишь стоячие волны в поперечном направлении (по оси х), и звуковая энергия вдоль оси в не течет. Рис. зз При моде колебаний, соответствующей начальному возбуждению кХ (на грани в=О) вида а осозт —, волны по оси в при часто- а ' мс тах ~(У~о= — распространяться не могут. Волновой процесс появляется лишь при ~)~', или ЛСЛ'„. Частоты ~' „=- у +" соответствуют резонансным ча- 2 ~~ У лн стогам для колебаний, направление которых перпендикулярно к оси в, а углы с осями х и у определяются (6,11).
Гели колебания в плоскости и= 0 происходят не только с частотой и, но и с обертонными частотами Мм, то обертонные волны будут распространяться при условии: 2~У ~~~,, „' т' ~р При и=О и т=1 это условие примет вид: (6,19) Следовательно, если ~( — и волна основной частоты ~ не 2а может распространяться по трубе, то обертоны ~М могут удовлетворить условию (6,19) и будут распространяться. 128 Распространение волн в трубе кан дифракционный процесс Каждая мода колебания на грани аЬ, изображаемая членом вида В„„соз Ь„х. соз Ь„у, может быть представлена в виде суперпозицйи двух систем стоячих волн, направление которых составляет углы а' и !т' с осими х иу (см.
6,11). Поскольку стенки трубы абсолютно жесткие, можно представить систему стоячих волн продолженной за пределы сторон прямоугольника аЬ за счет бесконечного числа отражений от граней. Тогда вся плоскость а = 0 окажется покрытой двойной системой стоячих волн (рис. 34), 1 В Рис. 34 нормали к волновым фронтам которых направлены под углами -+-ц' и -+-!т' к осям х и у. Таким образом, можно считать, что граней а и Ь нет, но колебательный процесс внутри прямоугольника аЬ точно воспроизводится как результат наложения двух систем стоячих волн. Каждая из этих систем стоячих волн будет излучать звук как безграничная синусоидальная дифракционная решетка с шагом Х,'„„. Рассмотрим излучение звука дифракционной решеткой.
Пусть на плоскости лу вдоль оси х со скоростью с' распространяется поверхностная плоская волна. Колебательная скорость в направлении оси я может быть задана уравнением: где ~ в!(ы — й'х) (6,20) 'л Эту поверхностную волну можно рассматривать как бегущую дифракционную решетку с синусоидальными бороздками. Предположим, что звуковое поле, создаваемое этой решеткой в полупространстве г >О, имеет форму плоской волны, распро- 9 с.
н. вжевоин !29 страняющейся под углом к плоскости ху со скоростью с, при- чем волновой вектор лежит в плоскости хв и составляет угол Т с осью г. Потенпиал скоростей этой волны Ф= Авдшс емсл- е П (6,21) Чтобы волна давала на плоскости а=О движения, соответствующие уравнению (6,20) нужно соблюсти граничное условие: — = уйсоз "(.А.ел с-еевсп е е(км е'м дф дес=о откуда А= —. с /й С05'( и й з(п т = (с', или й' Л с з(пТ= — = — = —, и (2 Сесе -1 С,Ле (6,22) -г ' -г ш~/ 1 — —, 2е~' 1 —— (с')' т' й' Г=(с(е(е'.".+е "'") е' ' то в пространстве в)0 мы должны предположить наличие суммы двух плоских волн, причем для одной из них в волновом аргументе должно стоять выражение — ужаса(пт х, а для второй +(7г з(п т.
к. Вторая волна будет соответствовать спектру минус первого порядка, симметричному со спектром плюс первого порядка по отношению к оси в. Если длина волны Л в полупростраиствс в)0 превышает длину волны Л на поверхности ху, то зш () 1. Тогда се / сс . / Лс созТ=~ ~/ 1 — —,, =.-+-/1е/ —,, — 1 = -+ф — — 1 (с'1' — (с')' Ле а -~- — 'у —,—,— 1 е сии — —,,«1 Ф=е '1 (сз' е 130 Из полученных выражений явствует, что волна, возникающая в полупространстве я)0, аналогична дифракциоиному спектру Л порядка (+1), для которого з1п (= —; спектр порядка ( — 1) не возникает. Если на поверхности задана не бегущая, а стоячая волна, уравнение которой Физический смысл в первом, экспоненциальном, множителе этого выражения имеет лишь знак минус.
Волновой процесс в данном случае имеет характер плоской волны, распространяющейся вдоль поверхности в направлении оси х со скоростью е', причем амплитуда волны убывает вдоль ее фронта с коэффициентом затухания с У (с')' Каждая волновая мода (т,и), состоящая из двух стоячих волн на плоскости е = О, создаст, таким образом, в трубе четыре спектра; волны, соответствующие этим спектрам, составляют углы 7 с осью е (см. формулу (6,18)). Именно таким образом мы можем интерпретировать четыре плоских волны (пучок из четырех „лучей" ), о наличии которых уже сделано заключение ранее. В более сложных случаях, когда на грани е = О возникает ряд мод колебаний, волновой процесс в трубе состоит из суперпозиции аналогичных четверных пучков плоских волн с различными наклонами к оси а и осям х и у.
Затухающие моды колебаний Посмотрим, какого рода движение в трубе получится, если волновое число 7г' „ на грани а=О больше, чем 7е ж.'.= ртг+к>в В этом случае, очевидно, 7г„„мнимо; положим: й.„=-+-7~.=-+-7 У'й.+й„— й. Тогда Ф „может быть представлено в виде: Ф„„=В „е — "* соз7г х сов 7г„у е~".
(6,23) В этом выражении следует учитывать лишь знак минус в экспоненте, так как колебательный процесс не может безгранично возрастать при удалении от места возбуждения. Можно было бы, конечно, написать Ф „в форме (6,17), считая косинус угла 7 с осью е, равный — =/~ мнимым, т. е. угол 7 — ком- А л плексным (как это делается в некоторых работах), но эта интерпретация не дает никакой наглядности. Легко показать, чтовэтомслучает= — — /агс мп У . Соотношение (6,23) можно л представить в виде: и „зр лы — мз.- к ° сов ач-у пм мн Ф = — ""е ' т е а 131 где углы к' и в' определяются формулой (6,11). Мы имеем две системы стоячих волн с направлениями волновых векторов (определяемыми углами +-а',-!-р'), которые лежат в плоскостях, перпендикулярных к оси г; амплитуды же этих волн убывают по мере удаления от начала по закона е ! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
