Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Высшие моды возникают также, если поршень имеет плошадь, меньшую площади трубы. Возникающие косые волны дадут резонанс при длине трубы ~=и — "' . Эти дополнительные резонансы могут исказить основ- 2 ную картину максимумов и с л минимумов в интерферометре и привести к ошибкам измерения"". Если в среде, заполняющей трубу, имеется затухание, то волны моды (т, п), кроме моды (о,о), при частоте, близкой к критическои, но больше ее, распространяясь путем ряда отражений под углом с осьютрубы,проходят значительный путь по иг гооб зной линии и з за ра да дут ббльшее кажущееся затуРис.
36 ханиенаединицу длины трубы. Спомощьюразобранной теории можно исследовать прохождение звука в трубе с заворотом. Точное решение этой задачи сложно и мы рассмотрим вопрос лишь качественно. Положим, что квадратная труба со стороной а имеет заворот под прямым углом (рис. Зб) вдоль оси х. В зоне заворота возни* С. Н, Р ж е в к и и. ДАН СССР, т.
ХЧ1, Жз, 1937, стр. 267. *' Кт ввпоови К1п. Зоотп. о1 Рьуцсв, ЧП, р. 80, 1943. 136 кает сложная картина дифракции, в результате чего в сечении АВ возникает некоторое распределение скоростей по закону ф,(у, я), которое и определяет характер излучения звука вдоль бесконеч- ной трубы по оси х. В первом приближении можно считать, что в зоне заворота возникнут стоячие волны при с)тражении от плоскости ВР, и в сечении АВ распределение скорости по оси я будет определяться законом: $(я)=А совр — А созlтю 2а а 2ау ) Волновое число те= — =р — = — и, следовательно: р — =а, Х а с т, е.
р — число полуволн, укладывающихся на отрезке АВ. Часрс. тота связана с р соотношением )'= ~ ' Вообще говоря, р не 2а целое число. Можно нависать: т(р(т+1, где т= 0,1,2,3... Если р — целое число т, то возбуждение в сечении АВ соответствует колебательной моде (т, О); при этом: Ла тя,,'а з!пТ= — = ' = 1, й тк)а т.
е. Т 90', и во всей трубе установится система стоячих волн, фронты которых направлены вдоль оси х. Эти волны являются продолжением за заворотом трубы системы волн, воз- буждаемых в части трубы АВСР. Если р — не целое число, то воспользуемся известным из теории рядов Фурье соотноше- ниема: 2 Мп ря Г 1 р сов с р соа 21 (6,24) Наибольшую амплитуду в этом ряде имеют два члена, для которых п есть ближайшие к р целые числа, а именно (т) и (и+1). Критические частоты для мод (т,0) и (и+ 1,0) будут До= — и Д +!,о= . Волна моды (т+1,0) не будет те (т+ 1) с распространяться по трубе, и возникшие колебания будут затухать вблизи начала, так как для них частота меньше критической частоты данной моды у=р — — ((т+ 1) —.
Волна моды (т,0), " И. М. Рыжик. Таблица интегралов, сумм, рядов н произведений. Гостелнздат, М., 1951, стр. 54. 137 наоборот, будет распространяться, так как для нее г"=р †) с 2а ) т' †. Моде (т,О) соответствуют волны под очень большим 2а ' углом к оси трубы (почти 90'). Другие члены ряда (б,24) вследствие малости играют незначительную роль, и волновой процесс близок по характеру к системе стоячих волн, фронты которых расположены вдоль трубы (по оси х). Если р= 1, с то )". = — и сильнее всего возбудится первая мода колебаний (1,0). Процесс будет заключаться в колебаниях от одной стенки трубы к другой; на него будет, конечно, наложена еще и плоская волна (мода 0,0).
При р ~~".1, когда по ширине трубы укладывается лишь малая часть длины волны, вся сумма (6,24) будет стремиться к единице и 1 = А, т. е. получится чисто поршневое движение, и за заворотом возникнет плоская волна моды (0,0). Таким образом, чем меньше частота, тем легче волны будут проникать за заворот трубы. Отражение на завороте будет тем меньше, чем больше длина волны по сравнению с а, однако небольшое отражение наблюдается всегда и волна после заворота будет слабее, чем до него.
Затухающие колебания с высшими модами, возникающие возле заворота, дают местное поле скоростей, обладающее некоторой кинетической энергией. Эта энергия, очевидно, отнимается от основной плоской волны в момент установления колебания. Следовательно, завороты как бы эквивалентны появлению некоторов „присоединенной" массы. В электрической линии это аналогично включению последовательно ряда индуктивностей (пупинизированная линия). Вышеизложенные выводы не являются строгими и лишь качественно позволяют составить представление о ходе явления. Заключение о более свободном прохождении волн низкой частоты по трубе с заворотами прекрасно подтверждается опытом, так же как и сильное ослабление волн высокой частоты.
Из развитых нами соображений ясно, что слой пористого материала (например, ткани), поставленный посреди трубы, вдоль ее оси, после заворота будет интенсивно поглощать звуковые волны, соответствующие всем высшим модам колебания (т) О, и>0), возникшим в результате действия заворота Таким образом, поглощающий слой, 'натянутый вдоль трубы и не занимающий никаких добавочных габаритов, в сочетании с заворотом будет являться эффективным звукопоглотителем. Ясно также, что плоская волна после заворота отдает часть энергии высшим волновым модам, для которых скорость частиц имеет компо- Цилиндрическая труба Рассмотрим распространение звука в цилиндрической трубе.
Волновое уравнение для функции %" может быть выражено так: 1 д ! д%'1 1 д'%' д'%' — — 1г — 1+ — — + — +л'$'=О, г дг ~ дг ) г' дт' дг' где т — азимутальный угол. Производя разделение переменных по методу Фурье, найдем частное решение этого уравнения в форме: %р(геа) =(А~ур(~г)+ВрМ>(о)] [Ар созрев+В,", з1пр ч))( К~А"'е ' ' " '+Вр"ер В этом выражении Ур и Мр — бесселева и нейманова функции порядка р от аргумента тг; э — волновое число, значение которого, как выяснится далее, определяется граничными условиями иа боковых стенках трубы. Поскольку на оси трубы 1р' должно быть конечно (а Мр(0) = — со), необходимо положить Вр — — О.
Порядок р бесселевой функции, очевидно, может быть равен только целому числу или нулю (р = О, 1, 2, 3...), так как иначе функции созР У и з1пР ~, а значит и Чгр не бУДУт оДнозначны. КРоме того, в бесконечной трубе решения, содержащие множитель е лгл" — "", очевидно, входить не должны, так как отраженных волн не будет. Вводя множитель еааи и объединяя Ар, Ар, А"' в одну постоянную Ар, а В', Вр, Вр" в постоянную Вр, получим частное решение волнового уравнения в круглой трубе: Фр(г,е,~4=(Арсозр р+ + Вр гапр Е)3 (тг)е'1~ =С Зр(тг) соз(р р — ~ ) ел"' (6,25) где Ср= ггАр+Вр и 1я(рр —— Ал-. р Величина соз (ру — ур) показывает, что имеется ряд азимутов т, определяющих некоторые диаметральные плоскости, в которых Ф =О, а значит равно нулю и звуковое давление. При р=О 139 ненты, нормальные к стенке трубы (за ззворотом).
Ввиду этого ввукопоглощающий материал, помещенный на стенке в области заворота, действует более эффективно, чем в прямой части, где идут плоские волны. Фр и — Р не зависят от ~ и таких плоскостей нет. При р=1 дер образуется одна узловая плоскость (при у=~,-+- — ). Скорости колебаний в направлении оси я в двух половинах трубы, разделенных втой плоскостью, будут в каждом сечении, перпендикулярном к оси, противоположны по фазе. При р= 2,3...
образуется соответственно 2, 3 и т. д. узловых плоскостей, рааположенных на равных угловых расстояниях друг от друга. Вообще говоря, р означает число узловых диаметральных плоскостей, по которым звуковое давление и осевая скорость колебаний в трубе равны нулю. На стенках трубы при г=г, радиальная скорость должна быть всегда равна нулю: дФр ~ ф а~ —— =О.
дг~ «, Это условие приводит к уравнению: 7р ( ~ге) 7р ( ~У) 0 (6,26) которое определяет частоты собственных колебаний в направлении, перпендикулярном к оси трубы. Собственные частоты определяются через корни ур уравнения (6,26): С С У- — - — у 2к Р юг, В интервале от нуля до (и+1)-го корня (принимая 0 за первый корень уравнения Ур(у)=0), очевидно, лежат еще п корней того же уравнения. В том же интервале, как легко убедиться Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
