Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 25
Текст из файла (страница 25)
ч" Задача регпзегся путем, аналогичным нахождению плотности ззряда на поверкпости проводяптсго диска, заряженного электричеством. 15'2 чем величина 2 ~гг — ' Расчет пРоводимости дла отвеРстий иной формы 1кроме эллипса и круга) сделан в работе Ингарда". Однако можно полагать, что для отверстий, не слишком вытянутых, (7,9) К 21/ — ' иМ а К Так как скорости частиц в плоскости отверстия не одинаковы, то величина объемной скорости Х получается интегрированием скорости по площади отверстия.
Представляет интерес сравнить расчет Рэлея с расчетом проводимости, который мох<но провести на основании формул импеданса плоского поршня, т. е. когда скорость распределена по всей площади отверстия равномерно. Для присоединенной массы поршня с фланцем при Х~г7 имеем (гл. 11) выражение: 8 „! гИ аар = — аго = — ад~.
з з Если принять слой воздуха и отверстии перегородки за поршень с присоединенной массой с обеих сторон, то откуда, согласно соотношению 17,?), найдем: где — = 0,929 =— За' 1 32 ' 1,08 ' Таким образом, при поршневом движении в отверстии проводимость на 7,5% меньше, чем по формуле (7,8), а масса примерно в таком же отношении больше. На основании полученных формул для проводимости можно найти выражение для импе- данса трубки с поправкой на присоединенную массу ее концов. Для длинных волн (а => д) предположим, что трубка длины 7 заделана в бесконечную перегородку, преграждающую замыкание потоков между ее концами (рис.
42). Случай, когда 7- О, рассмотрен Рйлеем. При гио 42 1~'= 0 можно предположить, что к массе среды в трубке с каждого конца добавится присоединенная масса рог Л4'= — ',где 2К=218гг=4рго — проводимость отверстия в бесконечном экране с одной стороны. Общая колеблющаяся масса 1 и я а г 6 Л А Я А, ХХ, 665, 1848. 158 Рис 43 Для отверстия в перегородке, стоящей поперек трубы диаметром Р 1рис. 43), проводимость будет, разумеется, иная, чем для отверстия в бесконечной перегородке, так как форма ли- " Л, Я.
Г у т и и, ЖТФ, т. Ъ'и, 1996, 1937. 154 Л4 = рау + 2 2 — Ра (1+ 2 2 ) = ра (1+ 2 — г о ) . На каждом конце трубка как бы удлиняется на -1'-'-го=а7. Принимая по расчету Рэлея К=с11т. е. ~8=1), получим: М=Ра(а+2 4 ) Ра(У+ -4 — ~, (7,10) т. е. удлинение на величину й7= — '' =0,78г, накаждомконце. 4 Таким образом вся трубка как бы удлиняется на четверть длины ее периметра. Проводимость трубки, если ввести поправку на присоединенную массу на концах, будет равна: а а 1 К= Ы аа' (7,11) 4 41 Если принять равномерное распределение скорости по сечению, и положить 9 = 0,925, то эффективное удлинение трубки будет лл ли равно не -', а — 1,08.
Обычно в литературе принимается для 4' 4 проводимости трубки выражение (7,11). Однако, учитывая, что внутри трубы при распространении звука получается близкое к равномерному распределение скоростей по сечению, возможно, что более обоснованной будет поправка, базирующаяся на формуле (7,9). Тогда получим: 43 го 0,88 го. Вопрос этот не подвергался еще достаточно глубокому исследованию ни теоретически, ни на опыте и, ввиду малой точности измерений этого рода, у нас нет данных утверждать, какая формула ближе к истине.
Для открытого конца трубки без фланца, согласно р ~,М' Гутину *, будем считать 4 присоединенную массу равной Л4'.=2рт1ао Обусловленная этой массой добавка длины будет равна: Ы = — = — г, = 0,84г,. М' 2 ра л При — (0,2 можно приближенно принимать, что К--и', т. е. Ь ра~ М'= —. Наоборот, при — )0,8 можно считать К очень боль2) шой величиной и пренебрегать влиянием присоединенной массы.
Для круглого отверстия в трубе квадратного сечения можно приближенно считать, что порядок величины функции Р~-~, рл~ ~а ~' где а †сторо квадрата, будет такой же, как это дается формулой Фока. Определим проводимость ряда (и) 0 0 0 0 0 отверстий, расположенных на площэди 5 перегородки в трубе. Если отверстия диаметра с2, в бесконечной перегородке 0 0 0 о р 6 распределены по площади равномерно и О 0 0 стоят не очень близко друг к другу, Рис 45 т.
е. Ы, (0,2Р„где Р, = 2 ~/ '-'-, а 5,— площадь, приходящаяся на одно отверстие (рис. 45), то приближенно моркно считать на основании выводов Фока, что проводимость каждого отверстия независима от их взаимного расстояния и ранна К, = с2ь Кинетическая энергия реактивных потоков в зоне, занятой отверстиями, равняется сумме присоединенных кинетических энергий для отдельных отверстий: 2 К, ' 2лК, 2К где К, — проводимость одного отверстия, а 1, — скорость в отверстиях. Суммарная проводимость К=пК,=лап а суммарная присоединенная масса рцЯ М=аМ,= пР— ' 1 В акустических единицах присоединенная масса одного отверстия М, = -', а присоединенная масса и отверстий 1 М= — = —.. = --'.
— р р М, К лк, п ' Это аналогично тому, что индуктивность и одинаковых параллельных цепей становится в и раз меньше индуктивности одной цепи. При близком расположении отверстий присоединенная масса для каждого отверстия стремится к нулю, как это следует из гзб формулы Фока (7,12) и из графика рис. 44, а все и отверстий можно принять в сумме за одно отверстие с общей площадью 5.
Если зона отверстий не очень растянута, то по проводимо- l'з сти она эквивалентна кругу с диаметром с(=21у —, и ее можно рассчитывать по формуле К с( как для одиночного отверстия диаметра сг. В случае сеткив свободная площадь отдельных ячеек близка к площади, занимаемой каждой ячейкой, и можно считать проводимость отдельных ячеек равной бесконечности. Здесь следует учитывать только сопротивление трения в от. верстиях и можно пренебречь инерционным сопротивлением ячеек. Если сетка закрывает отверстие диаметра с(, то его проводимость вычисляется как для свободного отверстия, не закрытого сеткой. Переход звука из трубы сечения 5, в бесконечную трубу другого сечения 5, Будем считать, что в трубе 5, (рис.
46) слева направо падает плоская волна и отражается справа налево. В трубе 5, слева направо идет плоская проходящая волна. Такое предположение справедливо только приближенно для точек, удаленных от Рис. 46 места скачкообразного перехода сечения 5, в сечение 5,. Вблизи переходной части (при х Т) плоский характер движения будет нарушен, что приведет, как мы уже выяснили, к возникновению присоединенной массы М, которую мы приписываем отверстию трубы меньшего сечения 5,. Присоединенная масса в рза данном случае равна М= '", . Возникновение отражен- гтт.г(ф ной волны в трубе 5, можно формально приписать действию некоторого импеданса л.ь поставленного в конце трубы 5, (при х=Т).
Поскольку неплоская часть звукового поля ' Подробнее этот вопрос рааабраи в работе С. Н. Ржеввииа и С. Т. Теросипвипа (ЖТФ, т. Х!, вып. ! — 2, 1941, стр. !49). 1б? (7,13) Здесь р»Д, и р»Д» — давление и скорость частиц в трубе сечения 5, и, соответственно, в трубе сечения 5,. В правой части М. уравнения (7,13) добавлен член уе — 1»(7), обусловленный пере- В падом давления на инерционном сопротивлении, создаваемым присоединенной массой М.
Можно также написать условие неизменности объемной скорости при переходе из одного сечения в другое: 511,(7) = 5,(Ф). Импеданс в конце трубы будет равен: сосредоточена на очень малом участке Д7<~,'Х, приближенно примем, что уравнения плоской волны соблюдаются вплоть до точки скачка сечения как с одной, так и с другой стороны от него. Но сверх этого мы добавим перепад давления на инерционном сопротивлении, создаваемом присоединенной массой. Условие согласования давлений на границе трубы 5, и 5, запишем в виде: р Ю=р»(7)+7'"$, ~»(7) Р»(0+ $»РФ) $»РЮ $15 Р» $» $ $» Я 6»ц); (,) * 1 6»(0 » (7,14) где »» 2»» с»' $1 Умножение импеданса Е» на входе второй трубы на соответствует как бы переносу импеданса Е» из вторичной цепи в первичную цепь некоторого понижающего напряжение трансформатора. Так как для второй трубы —.' =Рс, то Р» (») (» Р) $» Л, =$ —,'(5»рс+у»М).
Импеданс (5»Рс+7»»М) составляется из волнового сопротивления трубы 5»рс и импеданса присоединенной массы выходного отверстия трубы 7»»М. Нетрудно показать, что, принимая для проводимости формулу (7,8), можно представить выражение (?,14) (когда В, ~О») в виде: Лг $в5»РС 11 +з Ю»1 При переходе звука из узкой трубы в широкую в переходном сечении образуется при одинаковых амплитудах присоединенная энергия той же величины, что и в первом случае. Если разница в величине сечений 5, и 5, значительна, то присоединенная масса на выходе узкой трубы М= — , где 5, — плогз11 27З, ' щадь более узкой трубы и В, — ее диаметр; величина 2.0, есть проводимость переходного сечения.
Импеданс на конце узкой трубы (сечения 5,) переходящей в широкую (сечения 5,) выразится несколько иначе, чем в рассмотренном выше случае, а именно: Яй уг Я21 Е~ = †! 5,рс +уаМ = †,'~ 5,рс +роМ ф~, (7,15) 1 1 81 Г .к $1 А=у5час~1+/8 й).'7,8'~. ч$ Величина М--, -'представляет присоединенную массу отверстия ! узкой трубы, отнесенную к сечению широкой трубы. При переходе из широкой трубы в узкую (формула 7,14) отношение активной компоненты импеданса к реактивной равно: ф 1 4 1 У~ я — Л0~ ~с~ 1З~ 8 Когда 1~О„то активная компонента имеет болыпой перевес над реактивной и Л,= —,5,рс. При переходе из узкой трубы 811 в широкую из соотношения (7,15) получим: 1 4 )у1 у а 3, яг5» 8 Я, 3, При большой величине 5,/5, отношение К/) может оказаться порядка единицы или даже меньше. На конце узкой трубы, которая переходит в широкую, может получиться преобладание инерционной компоненты импеданса.
При 5,— со, т. е. при переходе в открытую среду, реактивная компонента (как известно из теории поршневой диафрагмы) больше активной. В приведенных расчетах не принято во внимание влияние трения, которое существенно изменит всю картину в узких трубах. Если сечения 5, и 5, лишь немного отличак1тся друг от друга, то присоединенная масса М будет мала и можно считать в обоих случаях Е, —,'54рс. Коэффициент отражения волны Я2 давления от переходного сечения выразится в этом случае так: 31 —. Ь',рс — З,рс У, — Ярс 31 зс (7, 16) "р — Е, +З,рс-я, — 3, +8, —,рс +,рс Обычно в учебниках акустики приводится именно эта простая формула, которая, как показано выше, не всегда пригодна. Согласно равенству (7,16) при отражении звука, распространяющегося в трубе большого сечения, которая переходит далее в трубу малого сечения (5,)5,), не будет происходить скачка фазы давления, но фаза скорости частиц будет претерпевать скачок, равный к (как и при отражении от среды с большим акустическим сопротивлением р, с,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
