Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 29
Текст из файла (страница 29)
7, где ч — коэффициент натяжения мембраны, и — коэффициент Пуассона, а Š— модуль Юнги В этой же таблице приведены другие постоянные для хембран и пластин, Таблица 7 1 — =О, 333 3 1 2 — =0,5 1 8ро 2 2ят 0 432 0,432 Яр, 0,269 1,558 т 1 —;- = 0,333 3 ! бяЕюла — =О, 20 1 5 ! оро 3 9гз ! ! Рэ) 0,306 0,306 Ер, 0,183 1 -- =0,25 4 7 — = 0,13 54 тах Круглая пластинка, опертаи по краю при низких частотах и при действии равномер- — =0,5 1 2 — = 0,333 1 3 ! 8рч 2 О, 451 0,30 183 Вид системы Круглая мембрана под действием р авномерного давления при низких частотах То же на частоте основного тона Круглая, зажатая по краю пластинка толшиной Ы под действием равномерного давления р, при низ- ких частотах То же при частоте основного тона Круглая, зажатая по краю пластинка под действиеи силы ф„ сосредоточенной в центре,при низких часто- ного давления рв То же для частоты основного тона Коэффициент массы Коэффициент площади 7 Эквивалент- ная упру- гость в цен- тре Е' 5 02 'юл г1(! — и') 4 Ею8а 3 Г,' !1 — Иа) Эквивалентная сила в центре ф„ Общая работа внешней силы, распределенной по определенному закону по поверхности мембраны или пластинки, может быть заменена работой некоторой эквивалентной силы, приведенной к центру.
Так, например, работа сил равномерного давления р„ производимая при смещении в центре на аа,круглой мембраны или пластинки, колеблющейся по закону а=азу(г), 5удет равна: ге о 8%'= рвааеу(т) 2кгсй =2крвЬав 7 Кгтг =рв17Я)Ъа Таким образом, ясно, что эквивалентная сила в центре будет равна: Фв =Ра (7Я) а не р,Я, как можно было бы думать на первый взгляд.
Резонансный звукопоглотнтель В качестве примера применения изложенных методов расчета звукопроводов разберем действие резонансного звукопоглотителя, разработанного трудами ряда советских акустиковв. Предположим, что по узлам кнздратной решетки на поверхности стены расположены резонаторы (рис. 53), из которых О О !- б 1 б О з ! О О ! О ! О ! ! Ф ! 01О ! + Рис. 63 184 каждый занимает площадь Я. Если звук падает на эту систему нормально к поверхности стены, то из соображений симметрии ясно, что в процессе распространения звука ничто не изменится, в См. обзор работ.
С. Н. Рже внии. УФН, т. ХХХ, вып. 1 — 2, 1946, стр. 40; Х. 8. 1ат НосЫт. впб й1еЫтоаК. 67, 128 (1958). .рс'о' л. = рс+/еМ вЂ” у —, где Д и М вЂ сопротивлен и масса в горле резонатора. Если объем резонатора представляет отрезок трубы того же сечения о и длины 7, то применяется более точная формула (гл. 5), пригодная уже для любых частот: ~В л. = й+ 7~оМ вЂ” р —,Ярв ° сф л7.
Импеданс на конце трубы, у поверхности слоя с отверстиями 2'= —, Е= —,')7+у~ —, М вЂ” Брс сР~йЦ. зв з .г з' а~ а~ о~ „Безразмерный импеданс" на конце трубы, выраженный в долях рс и рассчитанный на единицу площади трубы, будет равен: г г л.1 — — — — — —, — — Й~ + у (мМ, — с1д й7), — ре 8 где /~ =— рр м 5 — рр М М,= — = а~ — рр 3 0' лк — ре 3 Здесь Д, обозначает „безразмерное сопротивление", а М,— „безразмерную массу". Величина с1д 7р7 является безразмерным импедансом отрезка трубы длины 1. Коэффициент отражения звука от стены, покрытой резонаторами, Х,— 1 РР1 — 1+ рц И,— с1яИ) х,+1 = ~р,+1+7(~,м,— с1ялр) (7,25) если разделим все пространство на каналы, квадратного сечения с жесткими стенками, опирающиеся на контуры ячеек, разграничивающих резонаторы друг от друга (пунктир на рис.
53). В случае нормального падения звука для рассмотрения явления безразлично, будут ли резонаторы отделены друг от друга реальными перегородками или эти перегородки будут отсутствовать. Таким образом, мы можем рассматривать распространение звука в трубе площади Я, на конце которой имеется отверстие площади а, ведущее в полость резонатора объема К При низких частотах импеданс на входе резонатора (при Х ~ ~/ Ь') будет равен: При )7,=1(или~7= — рс) и вМ,=с1дИ ~или — =с1дЫ) а~ I Ы получим г=О, то есть происходит полное поглощение звука.
Коэффициент поглощения звука 1по энергии) а=1 — (гр(' в этом случае равен единице. Если построить кривую я в функции от в, то по- 41~, лучим зависимость с рядом максимумов, равных (А+1)* ' 1 отвечающих корням уравнения аМ, =с1я — —, и минимумов, рав- 1 Л ных нулю, соответствующих — =и., или 1=в — (рис. 54). 2 Рис. 54 Для получения г=1 необходимо подобрать сопротивление трения в отверстии в соответствии с величинами в и 5, со- а~ гласно формуле: 1с = — рс . Тзкой подбор практически всегда 3 можно сделать. Рассмотрим подробней случай длинных волн (Ы ~' 1).
При этом с1я И вЂ” - = — и с Е~ мг м (7,2б) Величина Е,= — '- может быть 'названа „безразмерной упругостью" на единицу площади трубы. Легко видеть, что Е, = Е рс'о' = †,1- †, где Е= — — упругость резонатора в мех. омах. — ре 3 186 Резонансная частота системы, при которой получится максимум поглощения, м,= ~/ — '= С ~/ — =С )/ —, где К вЂ” проводимость горла резонатора,а Ъ' — его объем. На основа- нии (5,30) коэффициент поглощения к= 4Ч, 1л,+1) +(л ' — — ')'. к л1 График изменения я будет иметь один максимум и приблизительно выразится первым отрезком кривой на рис.
54. Крутизна резо- нансной кривой определяется декрементом затухания системы. Максимальное поглощение будет равно я 412, (Л +1)' Оно может быть осуществлено при двух различных значениях К, которые можно найти, рассматривая написанное для а соотношение как квадратное уравнение относительно Я„считая а параметром. Уравнение будет иметь вид: Я, '— 2 " 2С,+1=0.
Два а, корня)с1,'ид1",этогоуравнениясвязанысоотношениемдэ1,"1. 9к',1= = 1. Один из них будет больше единицы, другой — меньше. В пер- вом случае кривая резонанса пологая, во втором — острая. Для практики важно получить возможно большее поглощение в широком диапазоне частот, поэтому выбирают Я, >1. Для этого следует соответственным образом рассчитать пара- метры резонансной системы 5, а, 1, К и )с. На импеданс-диаграмме (рис. 56) точка, изображающая им- педанс системы при изменении частоты, будет перемещаться, согласно уравнению (7,26), по прямой Л', параллельной оси ординат, пересекая ось абсцисс в точке Йь что соответствует частоте м =м„ при которой реактивное сопротивление исчезает (резоиаис).
Пусть при а=в„коэффициент поглощения будет а . Из двух возможных значений й, возьмем большее, соот- ветствующее более задемпфированному резонатору. Эта вели- чина Я~; соответствует центру некоторой окружности равного поглощения к=аь радиус которой (см. гл. 5) равен: Р= 2 г'1 — а~ а абсцисса центра Я; = С другой стороны, ЯЗ а- 'г,а г, 8 — Рс Б 1з) откуда 2 — а, т, 3 а, рс о (7,27) Эта величина характеризует в известной мере степень неравномерности поглощения звука в некотором диапазоне частот Рис.
зз между частотами ~, и ~, (на нижнем и верхнем склоне резонансной кривой), при которых и = аь Потребуем, чтобы величина коэффициента поглощения и=а, получалась при круговой частоте 0ч = 2~ф (ниже резонанса) в наинизшей точке окружности, соответствующей и= а, (точка В), и при частоте и, = 2иЛ (выше резонанса) в наивысшей точке окружности (точка А) (рис. 55). Очевидно, что при этом и >а, в наиболее широком диапазоне частот. В точках А и В реактивная часть К1 должна будет равняться + р' или — Р'.
188 где г,— удельное сопротивление в горле резонатора. Выражая а через аь получим: а =и,(2 — и,), или — '=2 — ие (7,28) а, Следовательно Е1 2У ! — а« Е, 2ф'1 — а, мМ,— — '=+ а« а~ Из этих двух уравнений найдем: (7,29) —,. = сМ,= (7,30) Согласно соотношению (7,11), можно принять (не учитывая поправку Р! — !, даваемую формулой Фока, т. е. при д 0,2 у З ) ~л! 'У ) что а К= 1+49 где и! — диаметр горла резонатора, а Ь вЂ” его длина.
Уравнения (7,27) и (7,30) можно рассматривать как систему двух уравнений относительно неизвестных а'=2 ~/ ' и а= у"8 . Подставим в равенство (7,30) величину К и найдем: 1) диаметр горла резонатора: ! а, а — — ! Л У!в 2 г1 2 — «1 (7,31) 2) расстояния между центрами отверстий резонаторов: (7,32) т 4 т г,а, !89 Формулы (7,29), (7,31) и (7,32) позволяют вычислить геометрические параметры резонансного звукопоглотителя: глубину слоя резонаторов 1, диаметр отверстий д и расстояние между отверстиями а при условии, что а) а, в диапазоне частот от 7, до ~,.
Очевидно, что, задавая аь мы предопределяем, согласно соотношению (7,28), величину неравномерности поглощения — в за«, данном диапазоне частот. Удельное сопротивление фрикционного материала г, можно считать заданным; его можно варьировать в широких пределах, Необходимо также задать тол- шину передней стенки, которая определяет длину горла резонаторов.
Рассмотрение вопроса о коэффициенте поглощения резонансного звукопоглотителя при падении звука под углом к нормали выходит за рамки вопросов, разбираемых в этой главе. Для получения равномерного и сильного поглощения в широком диапазоне частот применяются многослойные резонансные поглотители (рис.
Бб), в которых резонансная система / г л !!! ! ! 5 %~, %~лг Рис 56 (7,33) где состоит из последовательного соединения ряда резонаторов (глубины которых, считая снаружи, равны 7ь 7ь 7ь..), связанных друг с другом отверстиями, в которых находятся сопротивления К, У~„Яь... Для расчета такой системы воспользуемся формулой для входного импеданса трубы, замкнутой на импеданс Е, (гл.
5), причем все импедансы буДем выражать на единицу площади трубы Я и в долях рс, т. е. брать безразмерные импедансы. Импеданс на входе имеет вид: умпй! + 2~ соки ОО а ' /л~нпл1+ соБм ' Для и-го слоя (первый от стены), для которого Е,=со, необходимо принять за Е„импеданс отверстия в перегородке и-го слоя. а 7 положить равным I„. Вводя в дальнейшем обозначения, указанные на рис. 56, имеем для импеданса на входе и-го слоя: Е"„' = /~„+ /(кЛ4„— сф к7) = Л„' — 7' сф к7„, 1 Для (и — 1)-го слоя (второго от стены) положим импеданс равным: ~и — ! = Й „, +яМ „,, где 1с„, и М„, определяются аналогично соотношению (7,34).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
