Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 33
Текст из файла (страница 33)
= —" — '., о.(г),-:..= оо о~о! ож рпо( и ! !1 2' ото-! 2 т = 1, 3, 5... (2т — 1) и и (0) = 1, где О,о (я)ом —., оо, (З)оо,„, З вЂ” оо, Щ'(г), „—,е ( ' ). (8,36) 213 Приведем знзчения функций О и 3 для первых двух порядков: Точные значения функций О„и в для первых порядков т имеют вид: а,()= —,'; а,»=)'1,";; Р.»= — "( ',.) + ' ' л л ев(г) — г — —; а,(в)=(я — агсгя в) — —; 2' Зг 1 л ач (я) = ~в — агс 1я— 3 — гг) 2 18ев(в)= — с18г; 1Я~ет+ 2)= т 1=18 в(я)1 (3 — г') тя г — Зг и ( в+ 2) 3 — г«+ Затя г (8,31) где ве=Ье. Для определения коэффициентов разложения а „о., и а', следует приравнять соответствующие по индексу члены разло- жения в прзвой и левой частях уравнения (8,32).
Коэффициенты разложения функций и(9,ф) определяются ц форме интегралов по поверхности сферы Я единичного радиуса л: (8,33) Колебания поверхности, соответствующие сферической функции с индексами т, ч назовем колебаниями с модой (т, ч) или В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. П!, га. У!, 9 201.
Гостекиадат, М., 1956. 214 Разлагая функции и(9, ф) в ряд по сферическим функциям и используя соотношение (8,24), граничное условие (8,23) запишем в виде.' ~ ~~и вР (9)+ ~(и „сов чф+и '„з(пчф) Р"(9)] е «=о «=1 = — й ~'~от,Р (9)+ ~ (а„„созчф+а', з1п чф) Р«и(9)]у( л« =о 1 ХР (вв)е ~ "'(') т~ еум' (8,32) просто модой (т, э). Максимальная амплитуда стоячей волны зональных мод колебания на поверхности сферы получается на полюсах и равна и,. Для секториальных мод (т, т) амплитуда колебаний на поверхности сферы будет, согласно соотношению (8,12), зависеть от 9 и ф по закону: и(9, ф)=(и сов тф+и,', зштф) т з)п 9.
Максимальная амплитуда на экваторе будет равна: У =у'и„+(и )' т. (8,34) Приравнивая коэффициенты при одинаковых сферических функциях равенства (8,32), определим коэффициенты а„„а, и а' „ в формуле (8,22) для потенциала скоростей Ф через коэффициенты разложения поверхностной скорости и, и „и и„'„: и ~640 (8,35) -1 Р." -к-1 И)т (га) е Аналогичные выражения имеют место для а„„и а',. Когда скорость и(9, )) на поверхности сферы распределена симметрично относительно оси л и от ф не зависит, все коэффициенты а„, и а', будут равны нулю и Р„(9, 9)=Р (9).
Потенциал скоростей в этом случае выражается только через зональные сферические функции в соответствии с тем, что колебания сферы выразятся только зонзльными функциями. Если, кроме того, распределение скоростей симметрично относительно экваториальной плоскости, то в решении останутся лишь члены с четными индексами т; прн несимметричном рзспределении по отношению к экватору в решение войдут члены кзк с четными, так и с нечетными индексами и. Общее решение волнового уравнения для излучения представится в таком окончательном виде: — с зи 9 (, ~) и~~Р (а 9) ° 0~(г)е /Р мм 2) иэ (г,) е На основании формул (8,30) мы убеждаемся, что члены, характеризующие излучение различных порядков на больших расстояниях, убывают по одному и тому же ззкону — обратно пропорционально раостоянию, и соотношение их фаз н амплитуд не меняется.
Однако вблизи от излучателя, как это видно из формул (8,14) и (8,29), члены высших порядков убывают тем быстрей, чем выше порядок т. Таким образом, в ближней зоне соотношение амплитуд, з также соотношение фаз для членов разных порядков сильно изменяется. 215 Рэлей* нашел выражение для потенциалз скоростей сферического излучателя в несколько иной форме, менее удобной для вычислений, но часто встречзющейся в большом числе статей и книг.
Приводим выражения функций Рэлея и их связь с функциями т'.) и 5, введенными Морзом. Потенциал скоростей записывается по Рэлею в следующей форме: Ф.,(г,з,М)=о аР (6,М, Л.Ут ), (8,3Т) где д(уутг)= —,~(,) „(. „„'. ,=О Полиномы у(/Ь) введены впервые Стоксом. Исходя из этих выражений, путем простых вычислений найдем знзчение скорости частиц в звуковом поле (для частного решения порядка и): — д (г З:М)= —...Р.(з,йа д'~ —.у.() )~ т-. = а а Р (6, ф) е " — г (/Ттг) з)"', где ° =о и(и+1)1 т к т'(уяг')". ()яг)) 'ь ' у ' (а-)-1)(2т+!)+'''~ Первые номера полиномов Стокса и Рэлея у (у) и Р' (у) имеют вид: +-з+ з У ' У У'' 6 15 15 Уа(У)=1+-+ —,+ —.,; Ра (У) =У + 1; Р~ (у) =у + 2+ —; Ра (у) =у + 4+ — + —,; ~ (У) +у+~~+66+66 У У У' Коэффициенты разложения о„, в выражении потенциала скоростей (8,37) получим аналогично равенству (8,35): „Е' т ,ег ат Рт (Я~'О) " Р злей.
Теория звука, т. 11, й 524, Гостекизлат, М,, 1З55. 216 Для « „и и', получаются аналогичные выражения с заменой и, иа и„, и и'„,. Нетрудно выразить функции Рэлея Е (ухе) через функции 1) (ге) и о„(г,): /бее ее (уе,) е )еа е,, м (ге)е- т ее Это соотношение позволяет найти значения комплексных функций г". (уяе) через табулироваииые функции й и й . Используя формулы (8,19) и (8,37), найдем также: г лт-(-П к ут (уе) е Хсе е,, -Л (е) =6 (я)е Частные решения волнового уравнения Рассмотрим простейшие виды излучателей, соответствующие вначеииям т = О, 1, 2.
Излучатель нулевого порядка (ш=О) Из формулы (8,36), полагая равными нулю все постоянные и „кроме иеа получим выражение для члена нулевого порядка в разложении потенциала скоростей по сферическим функциям; и„о„(е) е е'о'""' Ф (~~Г) = «г) (е )е — и и~ Постоянная им, согласно равенству (8,33), имеет смысл средней по поверхности скорости. С помощью формул (8,16), (8,28) и (8,31) найдем: и, — 'ее еее .„,е аа е У ( 4егееиое) ем е-еи-ее) '))е(г е)— 1+Уе, е !+ иге 4иг е,' '4 ~(ы-ее) 4йг (8,38) Величина А представляет производительность точечного излучателя: 4ег(ие1 и, ге 1+7иге 21? Обратим внимание, что в выражение потенциала входит производительность А, а ие объемная скорость Хе = 4~ге ие,.
Величина А близка к объемной скорости только для длинных волн (лг,а~1). Для коротких волн А может значительно превышать у, и отличаться от нее по фазе. Если распределение скоростей по сфере определяется только функцией Р (9), то, согласно формулам (8,33), им=О, т. е. излучение нулевого порядка отсутствует, но и , ~ 0 и будет присутствовать излучение, характеризуемое сферической функцией Р„(9).
Излучатель 1-го порядка (ш=1) Из соотношения (8,22), учитывая формулы (8,11) и (8,12) и полагая, что только постоянные ам, ан и а'„не равны нулю, получим: Ф,(г,й, ф, ~)=1амсоз9+(ансоз4 + + а,', 81в у) 81в 9] О, (л) е вц "е' '. С помощью равенств (8,16), (8,19) и (8,31) найдем: -1е ОН 1+ 1Л Е/3 с-аы ,(л)е ~ =,/ Иг' (8,39) Выражение подобного вида имеет место для потенциала акустического диполя (см. гл. 4), ось которого расположена по направлению 9=0, причем величина л" ,имеет смысл момента диполя.
При произвольном законе распределения скоростей по поверхности постоянные ам, ан, пп могут быть найдены по формулам (8,33) и (8,35). Покажем, что второй член равенства (8,38) Фн(г, 9, Ф,8)=у' " ' ', " 81п9(1+уй) —,, (8,41) дает излучение диполя, ось которого повернута на 90' по отношению к оси первого диполя. Представим выражение (ан созф-)-а„юп)) в виде: 11+ 11 и а,', + (а,'О" . где 1йф, = — '-'.
Тогда зависимая от угла часть соотношения ап (8„41) равна: Соз (ф — у1) 51в9. 218 Первый член выражения (8,39) зависит только от полярного угла 9: Ф„(г, 9, ~)=у' — ", соз9(1 +юг) , . (8,40) Преобразуем систему полярных координат, повернув ось я в плоскости азимута ф, на 90'(рис. 63). Полярные координаты какой- либо точки Р в новой системе координат будут Э' и )'.
Из сферического треугольника АВР (рис. 64), пользуясь известной формулой косинусов, найдем: соза=созЬ созс+ + з!пЬ. з!пс соза. Полагая а=Э', Ь=Э, с=90', "=Ф вЂ” Ф [4=," получим: созЭ' = соз Я вЂ” ф,) з!вЭ. Рис. 64 Рис. 63 Выражение потенциала скоростей в новой системе координзт примет вид: Фи (гй,с) = у — . созЭ (1+уй') л, . (8,42) Так как это выражение тождественно с (8,40), то ясно, что второй член в общем выражении (8,39) потенциала скоростей для излучателя 1-го порядка дает излучение диполя с осью, повернутой на 90' по отношению к оси первого диполя. Покажем теперь, что сумма излучения двух синфазных диполей с постоянными а, и а', и с осями, нзклоненными под углом 90', эквивалентна излучению одного диполя с моментом, равным геометрической сумме моментов двух диполей, и с направлением оси, лежзщим между осями Л и Я' в плоскости ЯОЛ'. За новую полярную ось примем прямую ОС (рис. 63), угол наклона которой к оси ОЛ обозначим через Э.
Из сферических треугольников АРС и ВРС по формуле косинусов, обозначая РС=Э, АС=Э, и ГАСР=т — рм имеем: созЭ = [соза созз+ з!па з!па соз (Р— та)1, соъЭ' = [гйпз соза+ созЭ мна соз [я — (р — е,)Ц. 2!9 Используя соотношение вида (8,42), для второго члена в выражении (8,39) найдем для всей сферической функции: а,[соз6 ° соз0+ Мп6 Мпа соз (т — т,)[+ + а, '[з1п6 соз0 — соз6 а|п0 соз (р — т)[ = (а соз6+ а', з1п6) соз О+ +(а з1пз — а', соз6) з!па соз(р — т,). (8,43) Если потребовать, чтобы (а,з1па — а', соз6) равнялось нулю, то потенциал скоростей не будет зависеть от азимутального угла (т — т,) по отношению полярной оси ОС, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
