Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. выразится равенством, подобным (8,40), характерным для диполя с осью, направленной по ОС. При этом угол наклона новой оси ОС к Ол. определится из соотношения: 186='. (8,44) Выражение для сферической функции (8,43) можно представить теперь в виде: 'К' а'; +(а,')' соз (6 — и) соз0 = )Га', + (а,')' соз0, так как а=атс18-'=6, а, Легко убедиться, что суммарный потенциал скоростей будет соответствовать потенциалу диполя с моментом у'а;'+(а,')' А1 —— л ось которого наклонена к оси ОЛ под углом 6, определяемым соотношением (8,44).
Излучатель 2-го порядка (ш=2) Полагая в общей формуле (8,22) т=2 и используя выражения (8,11), (8,12) и (8,31) получим для потенциала скоростей излучателя второго порядка: Ф,(г,0, ф, г) = [ а„т з + +3(а,, сов ф+а,', з!и 6) созна(п 0+3(а,„соз2ф+ + а.'„, з1п2ф)з(п'0][ — +/(1+ —,„,)1 . (845) Первый член в выражении сферической функции Р,(й,ф), зависящий только от 0 (зональная функция 2-го порядка), обращается в нуль при соз0=-+-= (0=55' и 9=125').
Это у'з значит, что по всем направлениям, лежащим на поверхности 220 конуса с углом при вершине, рзвным 55; излучение звука отсутствует. Форма поверхности зонального излучателя 2-го порядка представлена схематически на рис. 65,а при максимальном положительном (пунктирная кривая) и отрицательном (штрих пунктирная кривая) смещениях. Области вблизи от полюсов (две полярные шапки) колеблются синфазно; экваториальная зона от 9= 55' до 9= 125' колеблется в обратной фазе; амплитуда на экваторе в 2 раза меньше, чем на Рис аз полюсе. Линии тока при йг(( 1 (в ближней зоне) будут иметь в одну половину периода вид фонтанов, выходящих из области полярных шапок и замыкающихся в экваториальной зоне (рис. 65, б), и обратное направление во вторую половину периода. Зональный излучатель 2-го порядка дает излучение, подобное излучению суммы двух диполей с обратным направлением моментов и расположенных на малом расстоянии вдоль одной и той же оси, т.е.
излучение, подобное осевому квадруполю. Реальным прообразом зонального излучателя является колебание капли или пузырька газа в жидкости, происходящее по закону Р,(сов в). При этом сфера принимает форму, похожую то на вытянутый по оси эллипсоид врашения, то на сплющенный эллипсоид вращения (рис. 65,а). Колебания сферы такого типа назовем зональными модами колебания 2-го порядка. Третий член выражения (8,45) содержит сферическую функцию вида 1;, (Э, ф) = (ам соз 2ф+ а„', зйп 2ф) з1п '9 = = А„соз (2ф — ф„) з(п'Ь, (8,46) а22 где Ам=фса'„-)-(а,',)ь и 1ц фм= — ". Угол 9м можно считать за начальный угол отсчета и положить е„= О. Таким образом, излучатель этого типа будет характеризоваться зависимостью потенциала скоростей от угловых параметров, имеющей вид: Гм(9,~)=Анспах з1п'9. Очевидно, что при четырех азимутах 6~=45', 135, 225, 315' 1;,(9, ф) обращается в нуль.
В меридиональных плоскостях, опре- Рис. 66 делаемых этими углами Ф„= О. По этим направлениям радиальная скорость и звуковое давление равны нулю, и излучение звука отсутствует. Форма колебаний поверхности сферы в двух проекциях изображена на рис. бб,а (в плоскости экватора) и рис. 66, б (в плоскостях, перпендикулярных к осям Хи г').Пои верхность излучателя разбивается узловыми линиями на четыре сектора, разделенных узловыми меридианами. Фаза колебаний в любых о двух соседних секторах противоположна. Линии тока, выходящие из каждого сектора, в ближней зоне (7гг «",1) разветвляются в две стог«5 за" роны и замыкаются на два со- седних сектора. Излучатель типа гм' ' (8,46) называется еекториальным Рис.
67 излучателем 2-го порядка. Ха- рактеристика направленности в плоскости ХГ для секториального излучателя определяется функцией 1'м(9,у) и имеет вид четырехлепестковой кривой (рис. 67) В меридиональных плоскостях ХЕ и ГЕизлучение максимально в области экватора ~О= — ) и равно нулю в полярных направлениях (О=О; О=я). Секториальные моды колебаний могут совершать жесткие сферические оболочки, капли и воздушные пузырьки в жидкости. Секториальные моды возможны также при колебаниях цилиндров и колоколов. Все эти системы прн колебаниях могут разбиваться не только на четыре (колебания 2-го порядка), но и на любое четное число секторов (4, 6, 8... 2п).
Исследования 7И' л/уу уйl Рис. 68 Рис. 69 Бакгауза показали, что при низких частотах (до 200 гд) корпус скрипки колеблется по форме, приблизительно напоминающей секториальную моду 2-го порядка, причем узловые линии проходят посередине передней и задней деки (рис. 68) и посередине боковых стенок. Второй член выражения (8,45) содержит сферическую функцию вида: Гм (О,ф) = (ам сов ф+ ая гщ ф) иш О соз О = = Ам сои (ф — фм) Мп О сов О. Не уменьшая общности, можно считать, что ф„=0.
Этот тип излучателя носит название теееерального излучателя 2-го порядка. Нетрудно показать, что излучатель этого типа тождествен с секториальным, ось которого повернута на 90' так, что новая ось Л' заняла положение старой оси г'(рис. 69), Тогда ось Х' пойдет по старой оси Е, а ось )" — по старой оси Х. Обозначив новый полярный угол через О' и азимут че- 223 рез ф', выразим декартовы координаты точки Р через старые и новые полярные углы: х = У ° 51п Ь соз ф ~ У 51п Ь соз ф', у=У.
5!п Ь Мп ф=гсозЬ', я= у ° сОзй= у 51п Ь соз ф. Из этих выражений найдем: 51п Ь ° соз ф = 51п Ь соз ф' ~ соз Ь = 51п Ь' соз ф. Полагая фи=О и подставляя в 1;,(Ь,ф) выражения новых угловых координат через старые, получим: )У51(Ь,ф)= Ам 51п Ь' з1п ф'5!п Ь'созф'= = 2' 5!п 2 ф' 5!и' Ь' = 2-' соз (2 ф' — — ) з!п' Ь'. Полученная форма сферичесной функции тождественна форме (8,46) для сенториального излучателя при условии определенного выбора начального угла отсчета ф„по азимуту ф„= — '. 4' Сферические излучатели высших порядков Излучатель порядна т может иметь различные формы, как это следует из общего вида сферической функции Р (Ь, ф) (формула (8,8)).
Если второй индекс равен нулю (ч=О), то получим зональный сферический излучатель, симметричный относительно оси я. Сферическая функция Р (Ь) имеет т корней; следовательно, излучатель порядка т будет иметь на поверхности (т+ 1) зон, разделенных и-узловыми кругами, параллельными энватору. Каждые две соседние зоны всегда колеблются в противополо1нных фазах. При т нечетном одним из узловых кругов обязательно является круг Ь= 51/2, т.
е. экватор. При ч=т имеем секториальный излучатель с 2т меридиональными узловыми линиями — следами на сфере т меридиональиых плоскостей. Поверхность его разбивается иа 2П1 секторов, наждый из которых колеблется в противоположной фазе с соседними. Ясно, что колебания типа (а „соз чф+ а', ап чф) складываются и дают одно колебание А, соз(чф — ) „). В общем случае излучателя с модой (т,ч) имеются т — ч узловых кругов, параллельных экватору и 2ч меридиональных узловых кругов, т.
е. ч меридиональных плоскостей. Поверхность колеблющейся сферы разбивается на ряд сферических 224 четырех- или треугольников, разделенных узловыми лиииямн (рис. 70). Интересно отметить, что при т)2 тессеральные излучатели уже не могут получиться путем поворота на 90' секториального. Такое преобразование возможно только для излучателя 2-го порядка, когда один из узловых меридианов при повороте на 90' превращается в узловой круг, совпадающий с экватором, и возникает тессеральная мода колебаний с одним узловым меридианом.
Дальнее поле сложного сферического излучателя Выясним, каково будет на далеких расстояниях поле сферического излучателя, со- Рис то держащего излучатели разных порядков, но с одинаковыми или с постепенно убывающими амплитудами и „ В выражении (8,38) для потенциала скоростей, как мы уже видели, следует положить: 6 (а) — —; а (я) — я — —,сс. В 1 со+1 г со с»со 1 отдельные члены суммы входят величины —.
При я,~1 И (я,) наибольшее значение будет иметь, как это ясно из формул (8,21), тот член, в который з, входит в наинизшей степени; это будет член с коэффициентом ( я', (член 0-го по- 1 ~с (*о) рядка), который выражен формулой (8,38). Таким образом, при длинных волнах на далеком расстоянии от излучателя звуковое поле будет обусловлено в основном членом 0-го порядка, определяемым средней объемной скоростью пульсационных колебаний поверхности сферы, Коэффициента ~.~-~ аю 1 КЖ ших порядков (лс=1, 2, 3...), содержащие множители я'„а',... яе®св, будут малы по сравнению с членом 0-го порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
