Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Для собственных колебаний полости с зональной модой (2,0,0) имеем условие Р«(9) = 0; оно определяет конус с углом 55' при вершине по поверх- «Н. Г с г ~ ~ к 3АБА. 24, 57, 1952. Таблица 9 ! 7,2207 15.5793 17,0431 18.4682 19.8625 2!.2312 22.5781 23.9069 14„0663 12.4046 13.8463 15.2446 16,6094 17.9473 ! 9.2623 20.5596 21.8401 23.1067 24.3608 20.3714 23.5194 !8,7428 21,8997 20.2219 23.3960 21,6667 24.8503 23.0829 24.4749 ности которого Р=О; скорости на втой поверхности максимальны и направлены по нормали к конусу. Среда при колебаниях движется из полярных областей 0(Ь (55' и 125' (Ь(180' в экваториальную 55' (Ь ( 125' и обратно.
Вдоль линии Ь=О,ц и вдоль плоскости Ь= — частицы движутся тангенциальио. Поток энергии в поле сферического излучателя Вектор потока энергии через единицу площади, или вектор Умова, определяется как среднее во времени произведение давления Р и скорости частиц среды Ч и вычисляется по формуле: У=2 ЦМРЧ*) Или 2=2 '41РЧ*+Р*Ч).
Поток энергии может быть вычислен по любому напряваеацца и определяется компонентой скорости Ч в рзссматриваемом направлении. Для вычисления потока энергии в поле сферического излучателя возьмем потенциал скоростей в виде: СО Ф = ~а аР„, ЯЯ 0 „, 7З) Е 7'" 1а) Еви ю а 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1О 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 4.49341 2,08158 3 34209 4,51408 5,64670 6,75643 7,85! 07 8,93489 10.0102 11.079! !2.!423 13.2024 14.2580 15.3! 08 16.3604 17,4079 18,4527 19,4964 20.5379 21.5779 22.6165 23,6534 24.6899 7.72523 5 94036 7,28990 8,58376 9 84043 11,0703 12,2794 ! 3,4721 14,6513 15.8193 16 9776 18 1276 19 2704 20,4065 21.5372 22.6625 23,7832 24,8995 10.9042 9.20586 10.6140 ! 1.9729 13,2956 14,5906 15,8633 17,1176 18.3565 19.5819 20,7660 22.0000 23,1950 24.382! Звуковое давление в какой-либо точке поля Р= Р д— , = еуг тР,~, а о.
1'т (9 )). (г (л) е- еви т СО дФ " К1 — -)Вт(г) Утг (т„= — )г —,= егг ~,атл. Р (З,)) 0 (и) е е т=О Компонента скорости в широтном направлении т 1 дж %~ дРт 6т(г) -(гт(г) Утг 'В гда ~ '"" да г т=О а компонента скорости в долготном (азимутальном) направле- нии 1 дФ Ъ~ а л дРт()т(г) дт1л) М ° е "Ф г япа дф л~. Мпз дЬ г Полученные формулы позволяют нзписать вектор Умова в радизльном, широтном и долготном (азимутальном) направлениях г'„,УВ,,УФ.
Используя выражение (8,35), получим: 1 %' — — бт(г) 0л(г) г,=2РС~итлиллРтРл () ( )()"( ) Х т,л=б Х соз ~гт (г) — Зл (г) — Вл (гл) + Зл (го)1 (8.53) где суммирование производится по всем возможным значениям индексов и и и от нуля до бесконечности. Тангенциальные компоненты вектора Умова имеют вид: Фг '~~ — дРл от (г) Ол(г) ~э 2,' ~то~лл~т да () ( )О (г)Х т л=О Хсо [; — .(.)+.(.)+В.(.,) †.(..)~; Рг Ъ~ Рт дРл От (г) Ол (г) Ф 2 .~. т лл Мпа дф г 0т (гл) 0л(г,) т,л=О Х СОЗ ~~ гт(Л)+ Лл(г)+ Вт(гл) — Лл(гл)1 ° (8.54) (8.55) Радиальная компонента скорости д, на основании выражения (8.24) ванна: Если излучающая сфера колеблется так, что ее движения выражаются при помощи сферической функции только порядка и, то в вырзжениях для потока энергии следует взять т=п.
Тогда суммы в выражениях для Уэ и У превратятся в один член, в который будет входить множитель соз =О. Такимобразом, для излучателя только одного порядка У,=У,=О. (8,55а) Так как в выражение для У, войдет множитель сов 1э (л)— — Ь (а)] ~ О, то для излучения только одного порядка м~л 15 %л, и„, Р,„Р Г м — л ~к= з л~ ~', д (л ) р ( ) соа~ат(зо) эд(яО) + ш,л=л — дР„ При гп ~ п ни один из членов сумм (8,53), (8,54) и (8,55) в нуль, вообще говоря, не обращается. Из сказанного можно сделать важные выводы: 1) элементарный сферический излучатель, поверхность которого колеблется по закону, выражаемому сферической функцией только одного порядка т, дает в любой точке поток энергии, направленный только радиально, тангенциальные ~ке компоненты потока энергии равны нулю; 2) сложный сферический излучатель.
поверхность которого колеблется по закону, выражаемому суммой двух илн большего числа сферических функций различных порядков, дает поток энергии как в радиальном, так и в тангенциальных направлениях. На больших расстояниях (при г — со), согласно (8,28) и (8,30), для .l„, 1э и,УФ получим: На больших расстояниях тангенциальные потоки энергии на целый порядок величины г меньше, чем радиальные. В ближней зоне при г(( 1 тангенциальный поток может иметь тот же порядок величины, что и радиальный, а может быть и больше его. Подсчитаем суммарную (глабальную) излучаемую мощность сложного излучателя, колеблющегося только в зональных сферических модах, когда Р„(9,ф)=Р„(9) и не зависит от р.
Полную излучаемую мощность найдем, интегрируя ), по поверхности сферы очень большого радиуса: с=а сс) .» ог»с»= — 2 1»яс(»». (»л») о При почленном интегрировании выпадут все члены, содержащие Р (9) Р„(9) при и ~ и, так как Р (соз9) Р„(соз9) а'(соз9)=0, Рт (соз 9) . а'(соз 9) =— (и ~ и), (т= и). В результате получим: В 2ярс ~ (2сс + 1)» ()а (с») с» = о (8,58) +с3 » 1 л» ,и = — сс и + с» 1 с» ус=,с рС, При»9го<.
1 2срс Пс= л» с» 1+ с» ,»» с» 4яс 1 2 (8,59) где )сс — сопротивление излучения, а Я=4пг,*; Используя выражения (8,27), дающие йо (г,) и,0,(го) для интенсивности звука и суммарной излучаемой мощности источников 0 и 1 порядка получим: Так же найдем: гь Ьтре гс, 1 ри43'и1„! а' 3 (4+ г,') 'и 2 48 с'с'(4+г1) 2 Рг где го Р~3 3 Р 4+ г! 48ггсг (4+ с')' При вычислении излучения энергии для секториального излучателя 2-го порядка следует учесть, что коэффициент и„ в разложении по сферическим функциям равен У„/3 (см. форМуЛу (8,34)) ГдЕ У,г — аМПЛИ- рд туда скорости в пучности секториальной зоны, т. е. на эква- г1 йд торе (при 9= — ); игг в (8,34) йи примем равным нулю Сопротивление излучения йх для секториального излучателя 2-го порядка можно легко вычислить, если найти выражения радиальной скорости дФ с7,= — 3 — и звукового дзвле- Рис.
71 дг ния. Составим выражение вектора потока энергии У,(9, ф)=,~ Йе(рс7*), а затем найдем сум- 1 марное излучение через сферу радиуса гт П = 2гс с(ф,/(9, ф) . г' 81п 9 а9 = 2- РгсАг. Вычисление дает для сопротивления излучения 15 Р Лсс1 — 234с', + ЗЛ"с1-1- 81 ' Р 4 о Для удобства сравнения частотной зависимости сопротивлений излучения на рис. 71 нанесены безразмерные величины: )ре 77~ ° Л'гс РΠ— Р! = И Р22= Ярс ' 1 4 3 Зрс — Ярс 15 которые прн высоких частотах стремятся к единице.
Секториальный излучатель 2-го порядка на низких частотах еще 335 Рис. 72 (У,)оао= 2 РС]И„~Л( ) "СОЗ [оо(Л) — 8о(Л) ]+ + И,', ')(7.„» ' (в) СОЗ [о, (Л) — ат (Л)] СОЗ 9+ +Ио,и„'(, (, СОЗ [оо(Л) — ат (З) — ао(г)+Ь, (го) ] СОЗ Э+ Оо(в) 7)о (в) +Итопоо ' ' соз [от (л) — ао(з) ат (Яа) + 84(зо) ] соз 9. О, (г) Т)о(г) В)о (во) о о (во) о С. Н. Р ж е в в и н. ЖТФ, т. Х! Х, 1949, стр 1380.
менее эффективен, чем излучатель О-го и 1-го порядка, так как излУчение пРопоРЦионально (Ь;)о. ИнтеРесно, что пРи Йго 4 имеется пологий максимум в кривой Яоо, причем в этом максимуме )7 то 18 безразмерное сопротивление излучения — 4 больше единицы. $рс 4 Для излучателей О-го и 1-го порядка таких максимумов нет. В выражении (8,58) величины 1/т')„(го) при го ~~1, согласно соотношениям (8,28), являются малыми порядка г, +о. Таким образом, при одинаковости компонент скорости наибольшую- излучаемую энергию дает член нулевого порядка.
Только при условии )тг„) 1 в сумме (8,58) могут получить преобладание члены высших порядков, дающие направленное излучение; то же бУДет иметь место, если иоо <,' и„. Таким обРазом, излучение малой сферы при сложном характере движения ее поверхности на больших расстояниях в случае зо ~ 1 сводится к излучению точечного источника с производительностью А — Хо = 4еГопоо о В качестве примера энерв гетических соотношений в поле о сложного сферического излучал вв тела возьмем излучатель, на повоевав верхности которого имеются только компоненты скорости нулевого ио, и пеРвого и„ поРЯД- ков, причем они синфазны; можно условно назвать его излучателем (О+1) порядка*. При равен- СтВЕ Им=кто таКОй ИЗЛУЧатЕЛЬ ПРЕДСтаВЛЯЕт ШаР, ОДИН ПОЛЮС которого остается неподвижным, второй колеблется с двойной амплитудой скорости 2им, а точки экватора колеблются с амплитудой скорости и,, (рис.
72). Радиальная компонента интенсивности звука вычисляется по формуле (8,53) и в развернутом виде запишется так: Входящие сюда величины вычисляются с помощью формул (8,27) и (8,31). Г1осле преобразования получим: у 1 га Г Иа1 К(а. Саа а а гаа ""(+1+ '+; + а 2гг, (2 + г1) + (2г' — 1) г) оа а~ (1 + «а)(4 + г') г' На поверхности сферы при л=ла найдем: га - +гЬ га 4+ г,', + 2г' +Поо'Ыао СОЗ (! + а)(4+ ')~ (8,63) : [('- — ")'+') ( о)а+а= 2 Ргпоопао з(п го(!+го)(4+,) Ь На поверхности сферы (г=ла) получим: 1 а 2га (Уо)оаа 2 Рапаопаа аав а~ (1 ! «) (4+ ~) ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
