Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 37
Текст из файла (страница 37)
(865) Тангенциальные потоки во всем пространстве, окружающем сферу, т. е. при л)л„как видно из (8,64), всегда положительны, т. е. идут по положительному направлению угла а от переднего полюса, колеблющегося с суммарной амплитудой и,а+им к заднему, колеблющемуся с амплитудой (ио,— иаа), Энергия, излучаемая в большем количестве с „передней" полусферы, протекает через эквзториальиую плоскость (Ь = — 1 2 ) в „заднее" полупространство. При и„=иаа и гач;,1 (длиниые волны) (Уо)оы 2 Рс п„а!и а Первые два члена в уравнении (8,63) дают поток энергии, соответствующий излучателю О-го и 1-го порядка, как легко убедитьсяиз сравнения ссоотношеииями (8,59)и(8,61). Наличие третьего члена, пропорционального сова, показывает, что иитеисивиостьзвукав области „передней" полусферы (от Одо-2) всегда больше, чем сумма интенсивностей (га+ У,), а интенсивность в области „задней" полусферы (от — до аа) всегда меньше, чем (/о+У,).
Тангеициальная компонента интенсивности вычисляется по формуле (8,54) и после преобразования может быть представлена в виде: При а= — плотность тангенциального потока энергии у поверхности в два раза меньше плотности радиального потока для излучателя О-го порядка, как это видно из (8,59), Для коротких волн (х,~1) квадратная скобка в формуле (8,65) равна 2/я, 'и поэтому (Уа)еи будет очень мало. - При й„=им и г- оо выражение (8,63) можно представить так: (У,)оп=/0~1+ ',' соз'Ь+ ', ~, (8,66) 1 4 1 где У = — рс †' — й — интенсивность излучателя О по- а з 1 1 дз дв ео рядка с амплитудой скорости иа„(независимая от Ь).
Квадратная скобка в выражении(8,66), будучи построена в полярных координатах, дает так называемую характеристику направленности для интенсивности звука излучателя (О + 1) порядка. При я,~ 1 излучатель становится ненаправленным; характеристикой направленности будет сфера с радиусом 1. При я,~! Р.)о+ а = Уо (1+ соз Ь)', т. е. характеристика имеет вид кардноиды.
Для различных значений г, характеристики направленности показаны на рис. 73. Чтобы лучше понять энергетический бзланс излучателя (О+ !) порядка, вычислим полную мощность, излучаемую с поверхности передней полусферы (П') и задней полусферы (П"), для чего необходимо проинтегрировать (7,)а+, по поверхности сферы: 2 П'(го)= ~ (7~)аа, 2яг,' е!пЬ М, о П" (Роа )— — ~ (/е)а о о ° 2яга ° 5!ПЬ оКЬ. Вычисление дает: П'(Го) — 2 + — ' + Пм (го) П (га) — + — — П„(г,), й, й, где П, и П, — мощность излучателей О-го и 1-го порядка !см. формулы (8,59) и (8,62)1, а 1 !"Яре е3(4+ е1+2еп и( а) 2 ( 4 (1+е1)(4+ее) 1 оо ее~ где Я= 4~ г',.
У поверхности сферы имеем: И'(г,)+ и"(г,) =Па-)- Пь (8,67) т. е. суммарная излучаемая мощность равна сумме мощностей излучателей О-го и 1-го порядка. При пор=мое и га~! Иа . Па< По и П„4-! следовательно: и, и, з и и и, П'(го) — + — = — По П"(Го) = — 4 4 2 4 4 2 4 4' т. е. с передней полусферы излучается в 3 раза больше энер- гии, чем с задней.
В бесконечности, используя (8,66), нзйдем мощности, излучае- мые через переднюю изаднюю полусферы; они также не будут равны. П'(со)= ~ (У,)о „° 2аога. Мпз е(Ь= — '+ — '-+Пм(со), П"( сс) = ~ (7,)о+о2яг' е!пЬ о(Ь = — '+ — — Пы(сс), где ! 15ре 2е! 2 ~ 4 (1 + еаа) (4+ еа)1 оо оо' 239 В бесконечности П'(со)+П"(со)=П,+П, аналогично соотношению (8,67). Разница в потоках энергии через переднюю и заднюю полусферы у поверхности сферы и в бесконечности составит: ! !5рс 4ггг + г1 П„1;) П„(-)=2 ~ 4-!! '!!4, 1~ "®'и~~ Полный поток энергии в тангенциальном направлении через экваториальную плоскость (Ь = — ) ! ГЯрс 4г1+ г', Пв ) (14)в+ г" асс ' аг= 2 ~ 4 !! + г) !4+ 1) ивв игв гс равен П„(гв) — П1в(со).
Следовательно, имеет место дифракция звука, т. е. перетекание звуковой энергии через экваториальную плоскость из передней области с большей плотностью энергии в заднюю область с меньшей плотностью энергии. При длинных волнах П1в(оо) - я'„ т. е. становится очень мало. Это ознзчает, что полное выравнивание звукового потока по всем направлениям происходит уже в ближней зоне.
Присоединенная энергия и присоединенная масса сферического излучателя Рассмотрение вопроса о присоединенной массе для излучателя 0-го и 1-го порядка показывает (гл. 4), что присоединенная масса для очень длинных волн (яв ~~ 1) равна соот- М 4 ветственно Мв=ВМ и М,= —, где М= згсг',р — массасреды, вытесненной сферой радиуса гь При более коротких волнах присоединенная масса постепенно уменьшается и при зв-в- со стремится к нулю. Ввиду того что присоединенная энергия образуется за счет кинетической энергии реактивной компоненты скорости, которая резко убывает с расстоянием, мы при расчете будем пренебрегать члензми, содержащими величину я в степени выше первой. Строго говоря, это допустимо лишь в зоне, где л~ 1(г~ †), но так как присоединенная энергия в пределе ра.считывается для очень длинных волн, то зона применимости соотношения а ~ 1 становится очень велика.
На основании (8,18) можно приближенно записать потенциал скорости для излучателя порядка т ф (г,О,у,г)=/амв Р„,(ЬЯ вЂ”,(!+уз)сг~ ' '!. (8,68) 240 Зональный излучатель. Разберем прежде всего случай зоиальиых колебаний, когда Р (9, ф) = Р (9). Звуковое давление р = — а ьраР,„(9) —, (1 + /з) е' ' ' Радиальная скорость дФ д~ ~~ + уь где е„= — «о.,Р,„(9) "', +, ' е""'-ю (8,69) активная скорость, находящаяся в фазе с давлением (с точиостью до малой величины порядка г), а у;=у«а„ьР„(9) — ь, (1+ — ) еУ'"' ' (8,70) и'=иуь+иье ( ~~~ ~Р' (9)(т+1)'+( — ~Д, который представим так где «кто"~(м + 1) ~~+, (8,72) Как видно из (8,69), (8,70) и (8,71) амплитуда скорости при я<,'1 определяется реактивной компонентой.
Величина и ь представляет максимальную амплитуду скорости иа поверхности сферы, которая получится при 9=0. Среднее значение квадрата скорости и, меняющейся со временем по сииусоидальиому 19 с.н.в ь 241 реактивная скорость, отстающая от давления по фазе иа и ьь —. Членом 1 в выражении (8,70) можно в ближней зоне пренебречь ввиду его малости. Из соотношений (8,69) и (8,70) ясно, что при я<. '1, ~у; ~д„ т. е. поле скоростей в ближней зоне определяется реактивиой компонентой скорости. Таигеициальиую компоненту скорости частиц в ближней зоне в направлении угла 9 получим из (8,68): Таким образом дь находится в противофазе с ~у, и также является реактивной скоростью.
Обозначая амплитуды величин и д через и; и иь, найдем квадрат амплитуды реактивиой скорости: закону, будет равно в каждой точке пространства '. Для 2 нахождения суммарной кинетической энергии можно ограничиться ближней зоной, считать скорости сиифазиыми и просуммировать средние кинетические энергии отдельных элементов поля, окружающего сферу. учитывая лишь реактивную компоненту скорости. Элемент объема гй/ = 2иг' Мп Ьв1г ° НЬ. Средняя за период кинетическая энергия во всем поле определится следующим интегралом: Т„= -',~ ~~~ — ",' ЧЬ'=-,'~ „.~" +, ',"" и + да з)пЬ М. Строго говоря, нельзя производить интегрирования по г до со, так как было принято, что Фг 4~~ 1 (благодаря чему можно пренебрегать членами высших порядков).
Нетрудно. видеть, что при учете всех членов ряда (8,20), что позволяет снять ограничение йг~" 1, получим поправочиый множитель к интегралу, стремящийся к единице при Агв« 1. Кинетическая энергия в объеме х между г, и г,+ — будет равняться Тт [1 — зо +'], т. е. при Йгв< 1 главная часть кинетической энергии приходится иа зону Х от го до гв+ —. 2в Из теории сферических функций известно, что в --'+ Р (Ь) з1пЬЛ= о 1 (ИР„,Ч,~ Ь ~Ь 2ив (а+ 1) Для средней кинетической энергии реактивной компоненты скорости всего поля получим: вв ив О 4,от+41 дГ т =-з— "' 2 2 ив -1- 1 дг'"'+ в гв 1 4игвв и во 1, ито 1 з в 21м-1- 1112ив-1-11 2 2 в 2 2 вв тв4в ( ) 242 где 14 з) 3(, 3"гм/ 3М (8 73 а) (и + 1) (2в+ 1) (и+ 1) (2а+1) ' Величина М может быть названа присоединенной лгассой зонального излучателя т-го порядка.
Величина М представляет массу среды, вытесненной сферой. Формула (8,73а) дает следующие значения для присоединенной массы излучателей 0,1, 2 и 3 порядков: М,=ЗМ (пульсирующая сфера), М, = — (осциллирующая сфера), М М 5' 3 23 Секториальный излучатель. Вычислим присоединенную энергию и массу для излучателей секториального типа. Для секториального излучателя порядка т нам надо взять в формуле (8,12) только один член присоединенной сферической функции: Р'"'(Ь)=1.3.5...(2т — 1)з(п Ь=т ° з(п Ь. Потенциал скоростей при е~" 1 на основании выражений (8,9), (8,11) и (8,20) представим так: Ф (гЩ4) =)а„соз т(ф — ф ) ° зшм Ь( +', —, е~ '. Исходя из этого выражения найдем реактивные компоненты скорости по радиусу: й; гйа „созт(ф — ф,).з1п" Ь +~, ° е''"' по меридиану: ()з — 7йа созт(ф — ф,) з(п — 'Ь созЬ ~, е'("'-ь) н по широте (азимуту): Чз = — г7гаььь З1вт (ф — ф ) З!П~ ьЬ ~+~Е~1~~~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
