Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 41
Текст из файла (страница 41)
з'„-' = з' Таким образом, несмотря на большую (и 3,'зо рзз) амплитуду скорости на поверхности для 1-го порядка, мощность излучения 0-го и 1-го порядка оказывается одинаковой. Излучение высших порядков будет играть ничтожную роль. Г!ри значениях ло )) 1 характеристика направ.ченности рассеянного излучения принимает слоягную форму с рядом максимумов и минимумов. 1!о направлению падающей волны (Э=я) интенсивность рассеянного звука наибольшая. Но в этом направлении, как известно, должна получиться тень; это кажущ.- еся противоречие будет разъяснено ниже. Из приведенных на рис. 76 характеристик рассеяния ясно, что с увеличением за максимум в направлении Ь = ".. возрастает и делается все более и более острым. Ряд (9,7) оказывается практически непригодным для больших гь Морз* дает для вычисления интенсивности звука, рассеянного сферой при зв)) 1, асимптотическое приближение: зв 4г" 11 +с1тьт 1 ) у; (зазтп (" 9) )1' ° (9,12) В направлении, обратном падающей волне,' ,9= 0 ~ рассеи- взется интенсивность з'„ =зв †"...
а в направлении падающей волны (9 = тт) — интенсивность .У,. Уа 4, (1 + г, -), которая при га ь 1 будет намного больше, чем У,а. Если угол удовле- творяет условию хвз)п(к — 9)=звз(пв=!,84, то зт(гадив)=0 и добавочный член в скобках выражения (9,12) будет равен нулю. Таким образом, остро направленный луч с максимумом 084 л нод углом а=г имеет угловую ширину з(п9=9= —,' Х =-0,61 —. При условии а з1п (я — Ь)=газ(пав=5,33функция,/т Ур имеет максимум, равный 0 34, и добавочный член в соотношении(9 12) получит значение (0,34)в: ( — ',„) ~ — ) = 0,64 —," = 0,016гаа . БокоХл вой максимум интенсивности (под углом О=и — 0,85 — 1 будет г, в (0,016) '=63 раза меньше, чем максимум под углом 9=:. Следующие максимумы будут еще меньше.
Обратим внимание, что формула (9,7) и все вытекающие из нее формулы, в том числе и выражение (9,12), выведены для случая г,р 1, что со- ответствует зоне фраунгоферовой дифракции. Детали интерфе- ренционной картины в зоне френелевой дифракции, когда раста стояния от центра сферы меньше, чем — ~-, не могут опи- Х сываться этими формулами.
Для коротких волн должно получиться приближение, вытека- ющее из геометрической акустики. В этом случае рассеянную волну можно представить как бы разделенной на две части-- действительно рассеянную по всем направлениям, исходящую из центра сферы волну и на узкий пучок тенеобразующей волны, идущей по направлению Ь= и и ограниченной пло- щадью сечения сферы иг',. Интенсивность тенеобразующей волны равна интенсивности падающей волны, а фазы их проти- воположны, так что эти две волны в сумме дают тень.
Вто- рой член в уравнении (9,12) как раз и представляет тенеобра- зующую волну. * Ф. М о р з. Колебания и звук, 4 99. Гостсзизлат, М., 1949. 'б4 Суммарная рассеянная энергия при коротких волнах 11, = 2 (пг";)./а. Половина ее дает тенеобразующую волну, а вторая половина— подлинную рассеянную волну. Заметим, что интеграл по сфере от первого члена в уравнении (9,12) дает как раз пг', 1„, так же как интеграл от второго члена. Подробный анализ рассеяния звука при коротких волнах представляет большие математические трудности.
Теорема взаимности Гельмгольц в 18бО г. доказал * важную теорему, носящую название теоремы взаимности: „Если в заполненном воздухом пространстве, частя1чио ограниченном простирающимися на конечное расстояние йеподвижными телами, частично же неограниченном, в какой-либо точке А возбуждаются некоторым источником звуковые волны, то создаваемый ими в какой-либо другой точке В потенциал скоростей и по величине и по фазе совпадает с тем, который получился бы в точке А, если бы в В находился тот же источник звука". Из теоремы взаимности следует, в частности, что точечный источник, помещенный в полюсе сферы (рис.
77), создаст на некотором расстоянии г от центра сферы (в точке Р) такое л е звуковое давление, что и источник с той же объемной скоростью в точке на поверхности сферы на угловом расстоянии 0 от радиуса, проведенного из точки Р к центру сферы. Это позволяет найти распределение давления на поверхности жесткой, неподвижной сферы, исходя из решения задачи о звуковом поле точечного источника, помещенного на полюсе сферы. Такая задача была решена в гл. 8. Звуковое давление в удаленной точке с координатой г= х определяется выражением (8,78); ~, е ел г-аго чаг,г„р (а)(2пг ! О 4пг3'!ге ~ и р (а ! е тааг(гг! ~=о где Аа — производительность источника.
Из теории излучателя О-го порядка известно (гл. 4), что бесконечно удаленный источник с производительностью А,, расположенный на положительной оси иа расстоянии х, дает в точке х = О звуковое давление ра =упор †' е"'. Эту величину * и. Ч.
Н е! го но! ! а. аког!еаппяегг аьег ше гпагьегпанмаеп Рппггр!еп пег А! ипж, Е З4, !.о~ров, !Заа. нужно подставить в формулу (9,6), если предполагать, что давление р, создается удаленным источником. Подсчитаем суммарное звуковое давление на поверхности сферы. Из равенств (9,3) и (9,6) следует: (р!+р,), „=рее' ' ~Г ! (2т+1)Р (О)(! (в,)+ +! МП 3 (В,) Едт('еЭ Ьт (г )), (!),14) )(спользуя соотношения (8,26), получим: т/т, — (т+ !)/,, 1 и'!т (2т+ !) 0т 0т Лг О,' и ~~ат " ° ' / т /г =/т — ул; — =!т — !и' =1) Е пг Преобразуем выражение в квадратных скобках, входяп!ее ,в сумму (9,14): + 4!т — упт) !т /тп'т — пт! /' — /и ' /' — /и' Используя формулы (8,21а) для производных !' и и', получим: ! /тпт птут 2 + ! [т(!щит ~ пщ/т \) + (т + 1) (утыпт — п„у)).
Так как согласно (8,21) ! ут~т-! ~тут-! Г~ то 1 Г 1 1! ! После всех этих преобразований приведем выражение в скобках формулы (9,14) к виду: ! г1 1 !.. —,. — г !т — /пт г'0щ(г,) е Тогда /г„елм т1 !щрщ (а) (2т+ !) 0 г, е Мтии т=д Откуда, подставляя ро =рор —, его", найдем: Ло о„ ли»ел "о ио»' ъ~ ~'"Ро 1М 12т + 11 »=о Учитывая, что направление отсчетз фазы в формуле (9,13) обратно направлению ее отсчета в формуле (9,15), заключаем, е 000 что обе формулы дают вели- к чины давления, совпадающие ~~ ео:о как по амплитуде, так и по 1 о фазе, что соответствует тре- й Ю ',=,)ов бованию теоремы взаимности. ~~ й распределение интенсивности 4 $ /00-.-' -' -7%: — /0 звука по поверхности сферы ч о в функции от угла 6 дано на й~ ~в, "' рис.
79 при различных значе- я ~к , ~=~ 'гй 2" ео ниЯх паРаметРа зо = — . По и, ' ор о 1, К'9 00 л оутЯ оси оРДинат отложены вели- о ' о»-,0 07 -~0 чины "' ) ор'1 в логаРифми- ' '0 00' Т00 Ро у ческом масштабе. Эти величины ого»оооо о гаеры 0 вычисляются по формуле для Рис.
79 интенсивности звука точечного источника, расположенного на полюсе (9» О) сферы (8,75). На рисунке отложены значения функции Го(з,зо) з,". гхавление звуковой волны на неподвижную жесткую сферу Запишем выражение (9,14 а) для давления звука на поверхности сферы в развернутом виде: роео Е ГеТоо Р,ел~ Роегоо Роеоо (р -1-р.),, = — — ', ~- — +73 — ' — 5 —" — 77 — ' ТТо Тз, + 9 — '+ . ~. (9 16) Подставляя значения 7) и 6 для малых см учитывая,. что е'т 1+76, и отбРасываЯ члены, содеРокащие зо выше 4-й степени, получим: (р'+' »)" о ' о 1[ 9 о ~+14 +32о) ~+ +~~уР,зо+д зоре)'с"'!1.
(9,17) 267 /(омпонента давления вдоль оси х равна ()з;+7з,) соя О, а полнзя сила давления 1(Р'+Р ), сов О ° 2игл з(п ИО = б =2ягае' ' ~(рз+р,), созО(((соУО). д (9, !8) Отличную от нуля величину полного давления дадут только члены, содержащие Р„с нечетным индексом. В первом приблизкении из выражения (9, 17) получим: (рз+)з,) раеьм'1+/, еасоай). Зьлиетим, что падаюацая волна дает давление: раЕгааЕ' ' )З„Елм (1 +7а„СОУ О).
зм Г = — /аа 2яг„-"рослы = — / — '5рае", т. е. при малых га сила давления возрастает прямо пропорционально г„. Величинз среднего давления на сферический сегмент с углол~ О, * Р,ез"' ~~/и'е '" ' !Р~п ~ (аа) — Ри+~ (аа)1 ' з 'з, '(ьн (за) (Р 1 (Ьа) Р~ (Эа)1 т- з яе 1 1 +з 4 (1 +со О )) (9, !9) где Р,(созйа)=1. Вычисление по формуле (9,19) дает для амплитуды давления р„при малых еа величины порядка Ра При увеличении га амплитуда растет и приближается к 2ра, как у твердых преград в случае плоской волйы; при аз=4 получается величина давления еще примерно на 10 а!а меньше 2ро Учитывая члены, з Ф.
мор з. колебания и зи)и, О 2У. (остсхизлат, м., (УчУ. 268 Таким образом, реакция рассеянной волны прибавляет к давлению половину величины, даваемой падакхцей волной. После интегрирования получим в первом приближении: содержащие нечетные полиномы Лежандра, из соотношений (9, 16) и (9. 18) найдем полную силу давления: -! — ! 2гг! Зг7! те2! ~.=!р,е'" — ',","~' — ",, ' '1 Р!(У)У4У вЂ” '-~ — ' ~ Рз(у)У22У+ 1 -1-! -!-! + - — ' ~ Р (у)уа!у+ "~, — ! где и = соз1и Интегралы, входящие в это выражение, равны: — ! -! +! -1- ! ~ Р,(у)У,2У= ~у,(у= — '; ~ Р,(у)У,2у= ~ Р,(у)уд =0.
+! -1-! — ! — ! Следовательно, — — е = — /2игр е ! 2лгьи! 2ей! 2,, 7 ! 2в,е7э! .Зр!е!"! во Р1 ' еЮ у.44г, 2 и йоса! Величина = —...= = при малых г!! пропорциональ2г„г„ +4 на си При г,=)22 она достигает максимума, равного единице, 2 и затем начинает спадать по закону — (рис. 80). го !55 9 ) !л 0,5 В ! 2 5 В 5 В 7 В В 20 'а Рис ЗО Разница давггеиий на двух полюсах сферы. Д7!я физио- логической акустики представляет интерес, какова будет при . падении звуковой вотны точно сбоку разница по амплитуде и .
фазе давления в двух ушах. Этот вопрос можно разрешить ' приблизительно, если принять голову за шар с диаметром 18 слв 1и вычислить давление на поверхности по формуле (9,14) в точках й=0 и В=я. Используя выражение (9,17) и учитывая, ч7о 260 Р (0)=1 и Р ( — 1)=( — 1), для амплитуды давления при И = 0 получим: Ро=ро~(1 д ~,+525го+4~о)+/2 о11 дбзо+д~о)].(920) Амплитуда давления при д= я 5, 9, 7 Обозначая а=1 — — г, '+; — го и р =1 — —, а'„и ограничиваясь ~о ' оу "о--'о':~'4-г' — ',— ' 4 г о 9 о,,11 ао а+25 4 Учи™ная,чторо ~ггга'+ 4 р"г; Р„и что а+ 2р-3 получим для оуносительной разности давлений на полюсах сферы: 4 Рэлей* вычислил, исходя из теоремы взаимности, относительную разность интенсивностей на поверхности сферы в точках Ь= 0 и Ь= я, которая при во~( 1 составляет величину Зз,'. Понятие интенсивности звука на поверхности сферуи строго говоря, неприменимо, поскольку компонента скорости (у; + оу,), =,, = О и потока энергии нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
