Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Исходя из соотношения яр„ — †3 и принимая, что соб- тК ственная частота резонатора типа Гельмгольца мр„— — с'-, где р' К в проводимость горла (равная для очень короткого по длине горла приблизительно 2Я), можно считать что площадь горЛа рЕЗОНатОра с=хтгт раВНа ПОВЕрХНОСтИ 4вГЗх НЕКОтОрОй ЭКВИ- валентной сферы; для длинных волн такое допущение вполне приемлемо. Тогда для некоторого эквивалентного модуля упругости получим: х в с херес хясехг$1 хд~ Х 3 Зсхлс 6$' ' х лх Учитывая, что всегда ттз с". Тс, получим — <' 1 и Ю'- —. Таким образом, резонатор искажает звуковое поле и засасывает энергию аналогично сфере с модулем упругости х'.
На поверхности сферы по формуле (9,22) давление равно: тссо ~1 — — ~ с Гхсс 1Р +Р ) 1таЕ" :( -'-.) " ~1--:) 1 1принимая е лч — 1 — угс). Формула (9,34) представляет интерес с точки зрения анализа искажений, вносимых приемником звука в измеренное звуковое поле. В частном случае сфери- а См. Р1а ей. Теория звука, т. 11, а 885.
Гостехиздат, М., 1955. 278 ческого приемника давления, малого по сравнению с длиной волны (яо«=1) с эффективной упругостью х' (х мы получим из (9,34) полный ответ на вопрос. Для различных соотношений между зо и гроз получим следующие выражения: (:— '.Л' — Я вЂ” '(" ) (' — -")"=' при яр~врез, 0о'+рз)1 р рз7лр — — У;11 — — ) ж —.~~ 1, пРи Яр=Яр„, +/яо11 — — ) /яр~ 1, при яр~врез х' при условии — '" = — „С',1. Отсюда видно, что при во<;врез приемник будет правильно реагировать на внешнее воздействие, не искажая давления звукового поля (приемник, управляемый упругостью). При я,=яр„ наступает очень сильное искажение звукового поля †давлен на поверхности приемника значительно больше Р,.
При во~яр„ (приемник, управляемый массой) поле также искажается †давление на поверхности приемника значительно меньше р,. При резонансе газового пузырька в воде из соотношения (9,34) получим, учитывая, что х 1,4 ° 10' 1 х 2 ° 10'о — — 0,7 10 иго 68' (Р+Р ). — 1Р,в~"' —, 68Рее ( ') (пРи Р=1 ). (9,35) рез Подсчитаем амплитуду колебаний на поверхности резонансного пузырька. Из формулы (9,33) имеем: !ч,.1= —,' = Чо ро грез разрез Так как амплитуда 1 роз! то — Ро —,--1,5 10 Рр )а) 1 -а. Го роз До давлений 10 бар можно приближенно считать — ~1 и о !а! го принимать г, сопзс Для давлений порядка 10' бар, часто встречающихся в практике работ с ультразвуками, развитые выше приближенные представления о явлении резо- 279 панса уже незаконны, так как поверхность сферы движется, и задавать граничные условия на этой поверхности принимая г,= сопзг нельзя.
Задача о колебаниях газового пузырька прн больших амплитудах становится достаточно сложной. При сильных колебаниях пузырька мы уже имеем дело с системой, у которой масса и упругость являются функциями амплитуды колебания. Давление внутри пузырька при длинных волнах (г„~ 1) эдинаково во всем его объеме и равно давлению на поверхности; при резонансе в полости пузырька получается давление в 68 раз больше, чем в падающей волне, и отстающее от него по фазе на —. 2' Как уже отмечено, вычисление величины давления внутри пузырька при резонансе в случае больших амплитуд, строго говоря, уже не может выполняться по (9,35).
Помимо этого, вывод выражения (9,35) недостаточно обоснован по той причине, что на границе сферы будет возникать большой градиент температуры и условия теплообмена при колебаниях малой по размерам газовой сферы с окружающей средой будут играть очень важную роль. Можно считать, что окружающая среда сохраняет практически неизменную температуру 0,, а газовая сфера испытывает колебания температуры оа. Предполагая в первом приближении процесс адиабатным и ис> — > ходя из уравнения 0=ВР >, найдем, что колебания температуры будут происходить по закону: оа т — 1 о1> т — 1 Я1>'>'> (9,36) О, т Ро 21' ~, Ро ) Из соотношения (9,36) явствует, что из-за наличия отрицательного квадратичного члена средняя температура газового пузырька будет ни>не температуры окружающей среды.
Для поддержания более низкой температуры необходимо непрерывно затрачивать работу, подобно тому, как это имеет место в холодильных машинах. Эта работа производится за счет запаса энергии звуковой волны, что приводит к усилению затухания звука. Усиленный теплообмен маленькой сферы с окружающей средой, вызванный ее большой удельной поверхностью, исключает применение при решении задачи адиабатных уравнений. Колебания внутри сферы не будут ни строго адиабатными, ни строго изотермичными.
Полученная из (9,35) величина повышения давления при резонансе (в 68 раз) является верхним пределом, который получился бы в отсутствие теплообмена. Фактическое повышение давления при резонансе будет значительно меньше. Процессы теплообмена приводят к большему (на целый порядок) затуханию газового пузырька, чем ато вытекает только из учета потерь на излучение "'.
Зрс ~ Для очень упругой сферы (с >х) Л,-.. н из соотно,/сэ щения (9,34) получим: (Р~+Р~) - Рсе [1 — з +/ зс] Р~е Таким образом, подтверждается уже полученный ранее результат, что малая по размерам сфера очень незначительно искажает звуковое поле. х 1 —— У. 22'+ соза =:~ 2р+р Чсл (го) — Чо е.+ (ес — --) с.за~ со " [/ з (= 1) + 22. соза | с р с Н. Р1г! пз. Ахсс1. ЕБ, Ч, 202, 1940.
281 Осцилляционное колебательное движение жидкой (или газообразной) сферы в поле звуковой волны Давление в различных точках на поверхности сферы при воздействии на нее плоской звуковой волны р,=рсец""С"1, распространяющейся по направлению отрицательной оси х, будет равно: (Р;)... =Р,ела ' . ели р,евн (1+Ряс соз Ь). В направлении отрицательной оси х действует компонента давления рссоза. Суммарная сила давления по направлению ( — х) падающей волны Зрр р = — ) (Рс),, ° созЭ 2ссгра(пбаЪ вЂ” / Ье, ус1с о где (й=') е" =~ — 'елн — скорость частиц в падающей волн, рс р,=р,егм и У= — з~ис — объем сферы.
Написанные приближенные выражения справедливы при г,((1. Сила г"„вызывает движение сферы вместе с присоединенной массой. Выразим скорость колебаний вдоль оси х из равенства (9,22).При ес((1 и г,((1 амплитуда радиальной компоненты скорости, создаваемой падающей волной, будет: д,.„(г,) Ра [чг — "+ 13 —, ( — — Р) соза]= — юу, [р' -'+ соаа], а рассеянной волной: Суммарная амплитуда радиальной скорости при гоч~гроо равна: ву„(г,) = вуы (г,) + ву,„(г,) — — вф'-'=+(1 — 2 ' + совам .
(9,37) Первый член в квадратных скобках дает амплитуду пульсационных колебаний; он будет мал по сравнению со вторым членом, имеющим порядок единицы, только при условии, что г, ~, 3 — = грев . м х в х (9,38) В этом случае еув(г) — — еуо(1 — 2 Р созй).
в о 2р+р (9,39) Относительная скорость сферы по отношению к движущейся со скоростью( — еуо) среде равна: ву,'=еу„— ( — еуо)=д„+еуо=2 . др (9,41) 2р+р Амплитуду скорости(ву,) всей сферы в целом вдоль оси х получим, взяв значение еу„при 0=0 или а=я. Говорить о колебаниях всей сферы как целого, очевидно, имеет смысл только если второй член в уравнении (9,37) больше первого.
Условие го(3 — приводит к заключению, что для пузырьков газа в жидкости (когда второй член имеет порядок 2), это возможно только в области сравнительно низких звуковых частот. Так, для пузырька с радиусом г, =0,01 см (Ур„ =34 кгц) оно соблюдается при 7(1500 гц, а для г,=0001 при у (1б000 гц. Иначе будет для баллона, наполненного водородом и находящегося в воздухе; в этом случае указанное условие дает го(3 1/ —" = 3, а гр„— — )/3 = 1,83. Следовательно, гово- 1/ рить о колебаниях баллона в целом можно уже при частотах, равных резонансной и даже лежащих выше нее.
Для твердых или жидких частиц, взвешенных в жидкости или газе, величина гр„ будет очень велика и условие г, (грев всегда соблюдается. Однако в этом случае еу будет значительно меньше еур Из формулы (9,39) получим: р р1 зр еу»= — еуо((1 — 2 — ) = — еуо= 2р+р 2р+р' Абсолютная и относительная скорости при различных соотношениях плотности среды и сферы имеют следующие значению Соотношение ме- Абсолютная ско- Относительная ткну плотностями рость о„ скорость о„' — >! о„=о ч =+до Р Р Чл = — Чь о„'=0 Р— (с 1 Р Ч» — ЗЧь Р о' = — 2о, 283 При действии звуковой волны на очень тяжелую сферу (р~р) получаем ту =О, что имело место в уже рассмотренном ранее случае жесткой неподвижной сферы. Интересно отметить, что скорость д„=О получается в результате сложения переносной скорости всей среды( — туа), создаваемой звуковой волной, и относительной скорости ту,'=+туа в обратном направлении, вызываемой полем рассеянной волны.
Если р=р, то сфера является как бы частью однородной жидкости и движется вместе с ней со скоростью( — туа), создаваемой падающей звуковой волной. Относительная скорость д' равна нулю. Случай р = р может быть реализован погружением в жидкость сферической оболочки с добавочным грузом, подобранным так, чтобы средняя плотность сферы была равна плотности жидкости. Особый интерес представляет сфера очень малой плотности р~;р (например, газовый пузырек в жидкости).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
