Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Тогда вместо выражс- Зависимость от угла о, здесь такая же, как и в выражении (10,12) для линейного элемента, расположенного под углом», если за начало отсчета азимута принять в = О. Для полного тождества в выражениях (10,27) и (10,28) следует положить: Г и е л1~о 4 что соответствует амплитуде давления в плоской волне, создаваемой линейным элементом, расположенным на весьма удаленном цилиндре радиуса г, [см. формулы (10,12) и (10,13)] при условии ~оч' 1 В данном случае имеем, как и в случае сферы (см. гл.
9), пример соблюдения принципа взаимности. Удаленный (линейный) источник с некоторой объемной скоростью создает на поверхности цилиндра под азимутом р (отсчитывае1о1ым от направления на источник) такое же звуковое давление, 20 С Н. Гжевввв + 2 о 7»' ~,~ + 7Е "ж о1п 7ж (7» -Рож) ~ соз еп ~Е~.
ж=1 2~о ПРоизводЯ заменУ 41п7о= — --'- и ми 7 = — — иУчитываЯ, ~о ж что Со=27е" (7; — /М;) и С =7е" (У;,,— /й(;„), приведем соотношение для р(г,) к виду: ж ря /2рое ' ~~~~ '. (7 (I' — /М') — Р (7 — 7%„))созт~р. 2 Так как выражение в скобках всегда равно —, то в»о ОЭ ж»4 4роееое %~ соо мт 4 ~ о~ о 1 Р("') =7 .', Р С (С.) е . (10,27) какое создает (вдоль удаленной линии, расположенной так же, как был расположен первый источник), линейный источник с той же объемной скоростью, расположенный под тем же азимутом на поверхности цилиндра. Таким образом, кривые на рнс. 85 изображают также и распределение квадрата звукового давления на поверхности цилиндра при падении на него плоской звуковой волны.
Для длинных волн давление р(г,) на основании выражения (10,28) можно представить рядом: яСз гв1гф)=/ 1 ~ 4 + 2 е Соз ~г+. -8л ег' СОЯ 2з+... ~ = =д>~~ 1 — /214 соз ~ — " соз 2~р +... ~. перепаду давления на ширине цилиндра. При Г0 = 1 давление достигает максимума, а затем начинает падать пропор- 1 ционально = . Дей1гГ ствие звукового давления на цилиндр до не- йг гор гр 84 йг которои степени похоже Са 4 на действие звука на леи- С саг Рис. 86.
точку ленточного микрофона.Ориентировочно можно считать, что при условии 2яа(1, где а — ширина леи4очки, ленточный микрофон работает как микрофон градиента давления. Полная сила, действующая на единицу длины цилиндра в на- 2. правлении оси х, будет равна: г=,=г, ~ р(г„)соз г~~. Так как 0 интеграл не равен нулю только при ли=1, то г [г,«о' — -Д 2 сг,Д,р,е' ' при '.,~(1, з.~ /„3 ~се Р На рис. 86 дан график величины 2 в функции от 1ь Как и в слу~ч~ юР~ чае сферы, величина давления при низких частотах пропорциональ- Ю на Г,, т. е. соответству.ет ГЛАВА 1 1 ПОРШНЕВАЯ ДИАФРАГМА ар+ Й'р = О, а~+йаФ=О, (11,1) однозначные, конечные и непрерывные вместе со своими производными 1-го и 2-го порядков.
Г!о теореме Грина 1 1;1("' — '")"'= 1;5~ й--",М" См. Рааса Тсорнн знтка, т, и, й 302 Гостстнззат, М„!955 ". См. Л. и, Г у т и н. ЖТФ, т. т'!1, стр. !096, !93!. *:: См. Г. Л а м б. Гидродннамика, 9 990. !'остсзиздат, М., !947. (1 1,2) Звуковое поле поршневой диафрагмы Под поршневой диафрагмой подразумевается збсолютно жесткий, плоский поршень с произвольной формой края, совершающий колебания по нормали к своей поверхности.
В решении задачи о звуковом поле поршневой диафрагмы, данном Радеем", предполагается, что поршень совершенно плотно (без зазора) входит в прорезь плоского, безгранично простирающегося экрана. Экран предполагается неподвижным, т. е. считается, что скорости на его поверхности равны нулю. Нормальная скорость на поверхности поршня в общем решении может быть распределена по любому закону; наиболее простой случай соответствует постоянному значению скорости по всей поверхности (это собственно и соответствует точному смыслу термина „поршень"). Излучение поршня без экрана рассмотрено Л. )). ! утиным**. Задача об излучении поршневой диафрагмы может быть решена общим методом, путем задания потенциала скорости и его нормальной производной на некоторой поверхностизз'.
Пусть в некоторой области пространства К ограниченной поверхностью о, существуют две функции р и (, удовлетворяющие волновому уравнению: где -- — символ производной по внутренней нормали. Согласно дл уравнениям (11,1), левая часть соотношения (11,2) равна нулю. Возьмем в качестве функции ч7 потенциал точечного источника е 7М ф = ' , а ч будем считать за потенциал скорости внутри об- Г ласти, ограниченной поверхностью о (точнее говоря, ч и у определяют лишь (л пространственно зависимую часть потенциала скорости, если предположить, что зависимость от времени взята в форме едл). Функция ~) удовлетворяет волновому уравнению, но в точке .я л г=О она обращается в бесконечность, и, следовательно, в этой точке уравнение (11,2) не применимо.
Определим значение потенциала скорости в Рис. з7 точке А, которую примем за начало сферической системы координат. Выберем поверхность интегрирования в формуле Грина так, чтобы она состояла из внешней поверхности о и поверхности малой сферы Е с центром в точке А (рис. 87). Тогда точка г=О исключается из объема 1' и по формуле (11,2) (считая левую часть равной нулю) найдем: (11,3) д 7е 77" ~ д (е 7мп !+/Лг м, На поверхности сферы — ~ — ) = — ~ ) = = .
е '"'. Элемент поверхности ~П = г'~(2, где й — телесный угол, охватывающий 7(1'. Следовательно, В пределе, при г- О, первый интеграл стремится к нулю, а второй к знзчению 4ячл, где чл — потенциал в точке А. Тогда (~,), ~ ~ Ы ( ) г Б ( , 7~ В 1,4) 30а Таким образом, потенциал скорости в любой точке внутри поверхности 5 выражается через значения потенциала р, и его производной по нормали ( — ~ на поверхности 5. (дт~ (,дл), Преобразуя соотношение (11,4) с помощью интеграла Фурье, можно получить известную формулу Кирхгофа, которая выра- жает потенциал через значения запаздываюшего потенциала г1 ~ 1г — --~ и его нормальной производной на поверхности 5.
с! Формула (11,4) дала бы решение краевой задачи только в том случае, если бы было известно распределение по поверх- ности 5 как скоростей ( — 1, так и давлений (поскольку р,=длрр,). Однако задавать обе эти величины на поверхности 5 произвольно нельзя, так как, задавая одну из них, мы уже предопределяем значения другой. Выражение (11,4) в обшем виде не дает решения краевой задачи и его можно применить для определения поля только в некоторых частных случаях, когда удается преобразовать уравнение (11,4) так, чтобы ис- ключить зависимость или от Г, или от ( — 1. ~дт~ л (дл),' Существенно отметить, что выражение (11,4) определяет поле в точке А как сумму воздействий некоторых распреде- ленных по поверхности 5 точечных источников с поверхностной плотностью ( — ~ и дипольных источников с плотностью абдт ~ (дл), 5' Поскольку ч, = -.
— ', где р, — звуковое давление, второй член й,. /~я~ соотношения (11,4) определяется распределением давления р, по поверхности 5. Формулу (11,3) можно применить к области к", лежащей между поверхностью 5 и сферой Х' бесконечного радиуса. На поверхности сферы Е" положим равными нулю как Г, так и дт дл ' -"; будем считать,что в объеме ~/' и в бесконечности нет источников звука, тогда левая часть в выражении (11,3) обратится в нуль. Обозначая через ч,' и ( —,1 на поверхности 5 с внешней сто~дт 1 (дл'~, роны значения потенциала скоростей и его производной по внешней нормали л' (т. е.
по внутренней нормали для обла- сти )л), получим: О= — —. ~ ~ —,- 1дл) П5+4-.5 1 'Г длз ( . )~~ (113) Я Складывая равенства (11,4) и (11,о) и учитывая, что —, = — —, д д джей дл ' найдем: зоз Здесь величины ~ ~+ -"-,) представляют объемную скорость 1дл дл')э 1производительность) точечных источников, причем учитывается пульсация по нормали в обе стороны от элемента с?5, а вели- 1Р Ф)э чина (Ч вЂ” ~Г') =- . ' определяется скачком давления при пе/Ю~ реходе через поверхность 5.
Поскольку равенство (11,6) справедливо при любых значениях э' и ~ †,~, то данное значение: !дэц ь. 1дл')э' ' Л можно получить из соотношения 111,б) при произвольном распределении ~и — по поверхности 5. Это и указывает, что фордт дл мула (11,4) не дает решения краевой задачи, а скорее является своеобразным преобразованием волнового уравнения в интегродифференциальную форму, которое еще требует решения. Однако в некоторых частных случаях, обсуждаемых ниже, равенство (11,6) дает путь к решению задачи.
Пусть поверхность 5 является плоскостью, и распределедт ние величин Г и -?симметрично с двух сторонотносительно этой дл плоскости, т. е. в каждой точке (1) ~ ) ' Тогда П 1,7) причем интеграл распространяется только на одну сторону плоскости 5. На плоскости симметрии в тех точках, где нет !дт дэ'~ источников, суммарная скорость по нормали 1-- + —,~ будет 1,дл дл'?з равна нулю.
Плоскость симметрии вне области, где заданы источники ~ — ~, можно заменить твердой стенкой (экраном) и Гдт~ 1дл)з' интеграл (11,?) распространять только на ту часть плоскости, где — эь О. Очевидно также, что при наличии твердой стенки, дт дл мы имеем право вести расчеты для звукового поля только по одну сторону от плоскости 5, считая поле по другую сторону лишь воображаемым. Следует отметить, что при выводе формулы (11,4) было сделано предположение об отсутствии источников в бесконечности. Следовательно, поскольку для соотношения П 1,7) поверхность 5 простирается в бесконечность, необходимо иметь в виду, что часть плоскости 5, иа которой задаются ско- 3!О рости ) — ), отличные от нуля, должна иметь конечные абдт\ 1дп,~з' размеры. Далее, на простом примере бесконечной колебл!о- шейся с амплитудой скорости дь поверхности будет показано, что формула (11,7) в этом случзе не дает верного результата, так кзк на бесконечности -т) = дь ~ О.
!дт~ )дн)з Если поверхность 5 предстзвляет плоский поршень, пульси/дт~, РУюший в обе стоРоны с змплитУдой скоРости Чь, то с)ь= — ! — т',, откуда Плоскость симметрии мы заменяем вне поршня твердой стенкой-экраном и, рассматривая только одну половину пуль- сирующего поршня, получаем по формуле (11,8) решение за- дачи для звукового поля поршня, колеблющегося в окружении безгрзничного экрана. ! Сдт~ е-7 Величина сйе = — — 1 — ! — сь5 представляет потенциал 28 ! дп,!ь скоростей точечного источника с производительностью 1 — !!то, /дт~ ~дп~, излучающего в телесный угол йя. Формула (11,7) показывает, что потенциал в точке А получается суммированием потенциалов ЫЕ отдельных точечных источников, распределенных по пло- щзди Ю с учетом запаздывзния потенциала (множитель е ~ь').
Таким образом, выражение (11,8) по своему смыслу соответ- ствует принципу Гюйгенса. Однако, как у.казывалось выше, применение его ограничено условием отсутствия источников в бесконечности и поэтому оно непригодно. например, для реше- ния задачи о звуковом поле бесконечной колеблющейся плос- кости. Если поверхность Х представляет бесконечно тонкий листок, а внутренний объем, охватываемый этой поверхностью, равен нулю (например, бесконечно тонкий диск или отрезок конусз), то при колебаниях всей поверхности в целом сумма нормаль- ных компонент скорости с обеих сторон ! — + †,! = ( Гдт дтч /дт дт~ ~дп дп)з ~,дп дн)з равна нулю, и из формулы (11,8) получим: '= '- Б '- ').'-.~' — '")"' (11,9) Потенциал скоростей зл определится только дипольными (си- ловыми) источниками (т — т')з, момент дипольного слоя на еди- ницу площади будет зависеть от разности давлений (р — р')з= =)ыр(~ — ч')з.
Задача может быть решена только тогда, ког- да задано распределение звуковых давлений на поверхности Я; 3!! однако в большинстве случаев и, в частности, в приведенном примере колеблющегося диска или конуса (громкоговорителя) с заданной скоростью, распределение давления не известно и не может быть выражено простым образом через колебательную скорость. В этом случае решение задачи непосредственно по формуле (11,9) получить нельзя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
