Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Г!рименение соотношения (11,6) возможно для расчета звука вращения воздушного винта (пропеллера). Силовые воздействия винта (давления) на воздух можно точно подсчитать по формулам аэродинамики во всех точках его поверхности, и в сумме оии дадут величину тяги и момента вращения винта; давление распределено несимметрично в оно больше в сторону тяги винта (вперед).
!!ервый член уравнения (11,6) определяется вытеснением воздуха телом винта при его вращении, что также легко поддается учету. Как силовые, так и скоростные источники задаются в данном случае в форме бегущих по кругу возмущений. Этот метод применен для расчета звука вращения винта Л. Я. Гутиным (см.
гл. 8). Импеданс круглой поршневой диафрагмы Формула (11,8) позволяет вычислить потенциал скоростей на самой поверхности поршневой диафрагмы. Давление в некоторой точке на поверхности диафрагмы определится суммой воздействий отдельных элементов диафрагмы Ж. Очевидно, что распределение давления будет симметрично относительно центра диафрагмы и зависит только от расстояния и данного элемента Ю, от центра (рис. 88). Обозначая расстояния данной точки ог других элементов сЬ диафрагмы через гь получим: где В =уор —.
де 2я Сила давлении на элемент Ж~, равна р(и)а5ь а суммарная сила ч~ давления на всю диафрагму вычислится интегрированием по всей поверхности диафрагмы: (11,11) З!2 Вычисление интеграла характеризующего распределение давления по поверхности поршня, представляет сложную вычислительную задачу. Эти вычисления для некоторых значений гега выполнены Мак-Лакленоы ' и Штенцелем*". На рис.
89 приведены кривые распределения ог о !а аа ар йе аг о ог ар аа оа ~р Рис. 39 г — Ье=05; 9 — Лиг=2: 3 — Лг,=4; 4 — Ь',= — 6; 5 — Лг,=10 относительной амплитУДы ДавлениЯ Р„/дврс по повеРхности поР- шневой диафрагмы при различных значениях кгв. Часть интеграла, которая распространяется на площадь круга с радиусом и, вычисляется сравнительно просто; вычисление же той части, которая распространяется на кольцо с внутренним радиусом и !с внешним радиусом тм гораздо сложнее.
Как показал Рэлей "в", для вычисления суммарной силы гс можно обойтись интегрированием только по площади внутреннего круга радиуса и. Предположим, что обеспечен такой порядок интегрирования в интеграле и' г',обозначим его теперь !г"), что в нем каждый " См. М а к - Л з к з е и. Громкоговоригсаи. ГИВР, 1938. ** См. Гй Б ! е п з е1. 1 ег!!апеп зиг Вегесипопн г!ег ВсиапсогдапдсВсг1ш, 1939. 3** См. Р за е и. Теории звука, г.
11, 9 %2, 1 осгехиздаг, 5!., 1955, 3!3 %' = 2В ~ ') 'к"АХ, . (11, 12) Вычислим интеграл Ь" по внутреннему кругу, учитывая, что пБ=гАгтИ. Согласно (рис. 88), найдем: 2 тамма ав ее а а е тач ул = — 2~ с(Е о Г=2~ сй ~ в "' 1гт о о 2 ' /яавсоаа ув — — (в- — 1) о Преобразуем интеграл: ав= ( о, ву у~,;,о„,э~у о о где у=2)еи. Из теории бесселевых функций известно', что т сов(у сов 6) саа= — 2 — Уо(у) (11,13) где Уа(у) — бесселева функция нулевого порядка. Второй интеграл выразится через цилиндрическую функцию особого рода См.
В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. Ш, га. Ч1. Гостехиалат, М., 1956. 314 элемент сЫ войдет лишь один раз. Для этого достаточно вынести элемент сЮ, за пределы окружности радиуса и (рис. 88) и распространить интегрирование только на внутренние элементы сЮ этой окружности. При таком порядке интегрирования каждый элемент с15, сопрягается только с элементами, лежащими ближе к центру, чем он сам, и, значит, каждая пара элементов сто, и сто будет сочетаться только один раз.
Если теперь выполнить в (11,11) интегрирование функции Ь" только по площади круга радиуса и„, то мы получим неправильный результат, так как каждая пара элементов еИ, и сЖ должна была войти при суммировании не один, а два раза (каждый элемент должен входить один раз как излучатель и второй — как приемник). Однако правильное значение полной силы давления мы получим, просто удвоив результат, т. е.
положив (не являющуюся интегралом уравнения Бесселя), носящую название функции Струве "': 2 5!п (у соз 9) пз = —, Юо (у), 0 (11,14) Используя соотношения (!1,13) и (11,!4), получим: Р'(у) . А (З) 1- Л' (.1) 8.0) у ~! У (р)~. /л ул определим по (11,12) суммарную силу давления на поршень: о Ч"=2В~~)"с~Ба= —,'. ~ [Яо® вЂ” Л1 — Уо(у)1уФ' где го=!ого. Интегралы от функций Бесселя и Струве нулевого порядка выражаются через функции первого порядка, а функции lт(х) и 5,(х) выражаются рядами: (11,15) Эти ряды пригодны для вычислений при небольших х (х(2). !1ри к ~~! выражения в скобках можно считать равными единице.
Выражение для %' запишется после интегрирования так: 'Р = —, ~ (2зо) Во (2зо) — / ',," — + /(2во) Уо (2ао) ~ = [ ( ' — (2го).lо (2ао) +/'(2зо) ~о (2ео) 1 ° о См,Е. Яике и Ф. Эмке. Таблицы фуикцияс формулами и кривыми, Гостекиалат, М., !949, стр, 242. Заметим, что звуковое давление в точке, соответствующей элементу с15, не может быть вычислено из выражения В1" (21ти), так как интеграл Ъ" распространяется только на внутреннюю окружность (радиуса и) и не учитывает влияния внешнего кольца. ! 1одставляя в формулу (11,11) выражение для и" и принимая за элемент площади кольцо с внутренним радиусом и и шириной ди, который равен т1л =2иийи= —...
(2ли) й(2ли) = —,,", уоту, Импеданс поршневой диафрагмы будет равен: Л = — = В, [ 2' — (2гь) Уз (2вв) + /(2гь) 5, (2Е~) ~= =5рс~ ~1 — 2 ' ' 1+/ ' ' ~= (11,16) 2ге ! ' 2го =Л(еь)+/Г(гв) =5йс [Ч(гв)+/)" (еь) [. Для компонент импеданса получим: Л" (ео)=[1 — 2 '2 ' ~= 2'[1 — ь' + — ~~ — „,~, (11,17) 1' (еь)= 2 5~(2гь)= з' [1 — 18 + 828" — „.~. (11,1ь) 2 8ге 1 4г) 1вгй Величины )с'(е,) и )" (г,) представляют безразмерный импеданс поршневой диафрагмы. Безразмерный импеданс зависит только от параметра: 2-„Го во= х Ряды, выражающие гГ'(г,) и )" (г,), достаточно удобны для вычисления импеданса до значений е, (2; для больших значений =„ следует пользоваться таблицами функций. В предельном случае длинных волн (г, (< 1) получим: А-"г', р '5' Я = Брс Я' — Ярс —,— ' =— 2 2гс зла 8 в 1 (11,1!1) г'=Крег" Ярс —,— '= ы — рг,"=ыМ; зм 3 величина М представляет присоединенную массу поршня М;- рг3.
(11,20) 11ульсирующая сфера при г, » 1 имеет сопротивление излучения рш"Я~ азу 4,,аполусфера(вэкране) сопротивление 2 . Таким образом, звуковая мощность, излучаемая половиной пульсирую1цей сферы и поршнем равной площади колеблющимися в безграничном экране (при равных амплитудах скорости о,), будет одинакова. Этот вывод имеет общее значение. Излучатели любой формы при длинных волнах обладают одинаковым сопротивлением излучения, и излучаемая ими мощность определяется квадратом суммарной обьемной скорости (фд,)' независимо от формы излучателя. Для присоединенной массы получим иной результат.
Половина пульсирующей сферы равной с поршнем площади (2я)сьв=»г„', т. е. при К,= '-[,имеет при к)~',((1 присоединенную массу 2 М, 3 . гЛ' р, 'рг„. 2 1з О ) )г2 зив Следовательио а М 1(~ ' 3Тп2 — -1,2, М Ф т. е. добавочная масса для поршневой диафрагмы равной с полусферой площади иа 20% больше. Лля коротких волн яо)) 1 ряды (11,17) и (11,18) непригодны, и для вычислений приходится применить асимптотические пред- в в и — ~. (ноо Впяпоршгня г нгр йя попуарори „! в г о в в е ! яи В яооршоо г мо ли шшргршро Рис. 9! ставлеиия функций Уг(яа) и Рэлеем"', следует, что Уг (2зо! ! 2яо оо- оо 2яо 5г(яо).
Из расчетов, проведенных 23,(2яо) ~ 2 и 2яо (о по ггяо т. !1, 9302. Гоетехиздат, Мш !955. оСм. Р э лей. Теория звука 3!7 В пределе при больших з» получим: Х~ — ~ Юрс; 1' — 0; М вЂ” О. (11,208) г» со -.о- ~ ' 1о-С0 Из рис. 90' и 91 видно, что фуикцииЛ," (г») и 1'(з») при больших а„приближаются к пределу, совершая колебания постепенно уменьшающиеся по амплитуде. Таким образом, иа коротких во..- нах (з»~(1) поршневая диафрагма имеет импедаис, соответствуюгций сопротивлению излучения для плоской волны, т. е. Рс иа единицу площади. Звуковое поле на оси поршневой диафрагмы Расчет поля поршневой диафрагмы в ближней зоне по формуле (11,7) представляет значительные трудности.
Исключение составляет задача нахождения поля иа оси круглой диафрагмы, разрешаемая очень просто. Рис зз Для давления звуковой вол- ны в точке А, лежащей на расстоянии х от центра иа оси круглой поршневой диафрагмы радиуса г, (рис. 92), из соотношения (11,8) получим: и зг~ » »» с — и) ~ +и ' — '. ~')г„,,д = д»РССлм Š— 1» — Š— Г» ' '), (11,21) где за элемент поверхности принято кольцо радиуса р, и ширины дрь Обозначим через а разницу между у'х-'+г.„' и х: — х (1+ 2 ",) — х = -;". (11,22) Величина а изменяется от 'г» (при х=О) до 0 при х=со.
При х)~г» можно приближенно считать».=,,— ". Используя вы- ак' ражеиие (11,22), найдем: р(х,»)=9»рсед"' — ""' (1 — е — »и) = = — д»рсел '- »го (1 — созда+/'81пйа). 318 Амплитуда давления звуковой волны в точках на оси ро(х) =дорс ~ у'соко йа — 2 сов йа+ 1+ з1п'йя ~ = =2суорс~ з)п ~ ). (11,23) Звуковое давление в центре диафрагмы будет равно: ро(0) =2дорс ~ з1п ",'~. Лго о.го В зависимости от значения †.;- =- †' звуковое давление в центре дизфрагмы может изменяться от 0 до величины 2сорс, соответствующей двойной величине давления в плоской волне с амЛго о плитудой скорости оуо.
Если — = — пк, т. е. г, = 2и †,, то т ро(0)=0, а если —, =(и+ -! оо, т.е. г,=(2и+1);, давление в центре равно 2огорс. В первом случае на поверхности ди, афрагмы образуется четное число полуволновых зон Френеля и их действие в центре взаимно уничтожается, а во втором— нечетное число зон и в центре получается максимум. Звуковое давление на оси ро(х) в зависимости от х будет, кзк это следует из выражения (11,23), также иметь ряд максимумов, равных 2огорс, и минимумов, равных нулю. Минимумы будут получаться при условии Ло т;=пв или а=2п х (11,24) когда на поверхности диафрагмы от центра до края уложится четное число кольцевых зон Френеля (2и). Максимумы — при — =(и+ — оо ~ или к=(2п+1),, (11,24а) т. е.
когда число зон нечетное (2и+1), что и объясняет образование минимумов и максимумов. Радиус первой зоны Френеля г, легко вычислить для больших расстояний х. Это будет радиус окружности, получающейся при пересечении плоскости диафрагмы со сферой радиусом х+, —; он бУдет Равен г, У'х1,, а площаДь пеРвой зоны ФРенелЯ Б вход. Существенно заметить, что в данном случае образование четного или нечетного числа зон Френеля приводит совершенно точно, а не приближенно, к образованию максимумов, равных 2дорс, и минимумов, равных нулю. Из соотношения (11,22) и условий (11,24) найдем расстояния максимумов и минимумов от центра дизфрагмы: !Го ~л Л~ Хо,— — го! — „— Гоа 4 г,) (11,25) 319 где т=2и+! для максимумов и т=2и для минимумов; и = — О, 1, 2, 3...
Самый далекий от центра диафрагмы максимум получится при и=О, т. е. и=!: г2 ! х = — ' — — -. 0 Л 4 (11,26) Таким образом, ближайшее целое число, меньшее — "", даст число минимумов, лежащих между нулем и х,. Расстояния между минимумами при приближении к диафрагме будут постепенно уменьшаться.
Из выражения (11,25) получим расстояние между последним и предпоследним максимумом: Расстояние между ближайшими к диафрагме минимумами при г,))Л получим из того же выражения, если положим, согласно , го неравенству (11,27), т, 2-з и т.,=2( —" — 1). (г0 ) 2 1) О Для случая рассмотренного ниже, где взято — ' = 5, получим и'=1,! Л. Расстояния между максимумами увеличиваются по мере удаления от диафрагмы и для расстояния Ь между последними 2 ~1.,'~ двумя максимумами получается величина в — ( —,!) раз большая Л; в разобранном ниже примере А=15 Л. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
