Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(10,7) 289 !9 с. и. Рниввин Таблицу функций С (г) и 7„(г) можно найти в книге Морза „Колебания и звук" (табл. Х, стр. 483). В дальнейшем будет важно получать выражения для звукового поля в случае больших и малых значений аргумента (10,9) ч=йг. Приводим соответствующие значения функций, входящих в выражения для р н и;. у (г,)=1/ з соз(г — 2м+ ~ 4 М (~) ф з)п(Г.— а); Га . 2е+1 са т т' аас. 4 (10,8) С,(5)=У 3, С.~г.)=у'='.
то(~)=".— — 'т (г) ="— Л',Я вЂ” ( 21(1п 1 — 0,1159); ~а! с.(:)= '., С (г)='"' ('~"", та(~)=.~'-1'; т (~)= — — "-,1,'Ч' . сат ~2! ' с.игл (м))т~2! ' ) Общие соотношении для функций У и И: у(', — — — 4, ~.=-,'-(~.,— ~.+,); ~„,+~„„,='-,— ~.. Излучение цилиндра с произвольным распределением скоростей (независимым от л) по поверхности Определим звуковое поле, создаваемое бесконечно узкой полосой угловой ширины иа, расположенной по образующей цилиндра при азимуте ч = а и колеблющейся с амплитудой скорости У„(а). Распределение скоростей по поверхности запишем н виде: (,',(а) е' ' при — —,-(т — а( ~- и, (т — а,г)= аа аа 0 при — '(т — а С йа — -'-.
2 2 ' Разложим функцию и, (а — а,т) в ряд Фурье: и„(т — ~;т) = — ''-" —" ~-,- + ~ сов т (ч — а) ~ е' '. т 1 гво На поверхности цилиндра должно соблюдаться граничное ус- ловие ио (е — а,1) = ор,(г„р,1). В соотношениях (10А) и (10,5) для р и о1, введем отсчет азимутального угла от начального азимута а; тогда они будут содержать вместо р величину р — а. Приравнивая члены с равными индексами т в равенстве и, (ор — а,~) = ог, (г„р,с), получим коэффициенты ряда: У, («)аа рс Уо (а) Еа .
рс /2а [ео (зо) — /Лщ (зо)~ аСо (зо) е До ае' А оГо(а)аоа рс Со(а)аоа рс )1о[У;а (оо) — /Фа (оо)] аС (г ) е — Воо ~со~ ' где введено обозначение 1о=)ега Выражение А через функ- ции С„и т пригодно для любых значений т, включая и значение т=О.
Для звукового поля колеблющейся полоски, расположенной при азимуте р=а, найдем: о - о. а о".' о ~ -; †-"-,, о-,, [~. оо) †. оо) ], с о.1 з С (со) е а Сао(го) е Для больших расстояний от цилиндра с помощью равенств (10,8) получим: р ~У,(а)еоа рс 1/ — ' е)(ае "'.о[о(р — а), (10,12) с~ш г г Е, у(а) да 1~ — ' Е' (ае "') ° о[о (ор — а), за. г г где введено обозначение: оо Г, за+о 2 кз созга(а — а) l тао(со)+ о о[о (ор а)с~ = —,7, е~ а' Со о о Ст ((о) (10, 13) В этом случае между р и оу, существует соотношение р=рсд„ как и в плоской волне.
Функция [о(р — а) определяет характеристику направленности (амплитудную) линейного источника 2аго в зависимости от (о= — и от угла (р — а). Ниже мы найдем Х характеристику направленности линейного источника для интенсивности звука. Из уравнения (10,13) нетрудно видеть, что при достаточно малых (о наибольший член в сумме соответствует значению т= 0 и характеристика направленности от угла (р — а) не зависит. Линейный источник на больших расстояниях будет при условии 1о((1 создавать одинаковое звуковое давление и скорость частйц о), в любом направлении.
291 Если на поверхности цилиндра имеется любое распределение линейных источников с амплитудами У,(ч)нч, то звуковое поле может быть найдено путем суперпозиции полей отдельных источников по формулам: р = — ~~, и,, ~ соз т (~р — ч) (у,(ч)йа), рсрМ,( (() — Р( (() (' С,„((о)е и ц,' 5 (10,14) Ч~ Р ре Произведя интегрирование, найдем: .
° 8 %~ инта~смыт l[~~ р~мреУр у —, х~ е У '( л',и мс (С,) ге=О д,~м ~ . При т=0 следует принять рр 1+ р 2т+! х(п аа, Ш = чр. Интенсивность звука цилиндрического излучателя бесконечной длины и излучаемая им мощность Линейный излучатель. Для далеких расстояний (2кг~ т)), воспользовавшись выражениями (10,12) и (10,13) для р и д„ получим следуюшее выражение для вектора Умова: ОЭ ! рр(у,еа) ° ~1 совет.сорер у=; ке (рр:) = „.,„~~ -~ (,,)'с (,,) Х рр в Хаоз ~ '(,„((,) — („((р) + Вектор У направлен перпендикулярно к оси Е. ав2 Из этих выражений нетрудно определить, например, дальнее звуковое поле полоски, занимающей положение от — и, до+и, и колеблющейся по всей поверхности с одинаковой скоростью У„ в то время как остальная поверхность цилиндра остается неподвижной. Для дальнего поля мы получим: — )[1к~+ 4 "[ р ~рс 1р' — ер '-"" ~/ —, ~ Х У ° $' =(..Л с„((,) л О -ь "о Х ~ ф(8р — а) (.(о(а) е(а, (10,15) где Я = 2аого — площадь излучателя на единицу длины цилиндра.
Излучение имеет ненаправленный характер. Полная излучаемая на единицу длины полоски мощность при (4~1 Ра'(З»оа) Р'» А» 1»»' » аа где о»З'Ро а~ 4 2 (10»18) Пульсирующий цилиндр Звуковое давление пульсирующего цилиндра выразится формулой (10,4), в которой останется только первый член суммья Р (Г ~) = Ао [Уо (Г) — /Д(о (Р)! В ' Радиальная колебательная скорость др »7, = — »2 —.„= — —.' [У; (") — 7М; (1)] е'"'. дС Аао При г=г, колебательная скорость в окружающей среде должна равняться заданной на поверхности пульсационной скорости Уое'"а.
Используя выражение (10,11), получим: С, ,((,) Импеданс иа единицу длины пульсирующего цилиндра (ее площадь 5, = 2яга)будет равен: 23 т о Так как, согласно уравнению (10,7), +и .. 2м) . 22; в а =сов 7»+уз)ото= — ' — 7' — ', а по формулам (1010) С, С,' аа= — аа и о а= — о(1 294 а Хо = 5]У» обьемная скорость пульсирующего элемента полоски.
Величина /~'„является сопротивлением излучения (на единицу длины) полоски шириной 2ем колеблющейся на поверхности цилиндра. Как и в случае сферы для длинных волн (см. гл. 8) она пропорциональна квадрату площади, но, в отличие от сферы, пропорциональна первой, а не второй степени частоты. то Ем — — — ~~ ~(3,Ь7, — 3оЬУ,)+/(Зов, + ЬУоЬУ,)) = 1~ы +/)'ы о где а,= —,. ЫД,— 7,Д,) ° .,= —, Ю+ЬУ,Ч. 4з,рс 4зме о о (10,20) Выражения (10,20) возможно использовать при расчете длинных цилиндрических приемников, применяемых в гидроакустике. Для длинных волна (Го~' 1) 4 Го 2 2 Со(со) — „,уо(со) 1 — 4 ~1, ЛУа(со) — 1пГо — 0,074 — !пь,, воо 7! (со) " о ЬУо (со) Со 2 и мы получим: Йи ~ — — Рс""-о11 — "а 1п !о) — 2 'о ! ' 1 1 о! ео®рго1п го = 'е! мрго 1и 1 чоРсго 1п ~о о 7'о — Щ орсà — -'1— 2 о 4 ' (1021) Уо=ЬУоо ы2кг,' Ьр 1п — =ы1Мо21п — -1 = ыМ,! Со Ь оо! где 5=2кгоЬ вЂ” излучающая поверхность, М,=кг,' Ьр — масса среды, вытесненная отрезком цилиндра, а М=М,21п — — при! Со соединенная масса.
Таким образом, получается интересное соотношение: М ! 1 — 2!п — = 1п —;. Мос,. ! оо о1 На длинных волнах присоединенная масса пульсирующего ци- линдра не стремится к постоянной величине, как в случае сферы (М = ЗМо), ио беспредельно возрастает с уменьшением Г. «См. и. явке и Ф. Эмке. Таблицы функция с формуламниКривыми. Гостехиалат, Мо !949, стр, 224. Из сравнения этого выражения с формулой (10,18) видно, что длЯ пУльсиРУющего цилиндРа пРи Го~1 полУчаетсЯ сопРотивление излучения на 1 слал такое же, как и для пульсирующей полоски.
Отрезок бесконечного пульсирующего цилиндра, имеющего высоту Ь, для длинных вола имеет активное и реактивное со- противлеииуп Пульсирующий цилиндр малых (по сравнению с длиной волны) размеров имеет большее реактивное сопротивление, чем активное. Действительно, из равенства (10,21) получим (индексы опускаются): !' 2 ! — "- — 1и — . ы' ! Отсюда, если ~,=0,001, то — 4,4, а если С,=0,01, то !' !' !' — 2,9. Для пульсирующей сферы отношение — растет при Р Я малых г,=йг, еще резче. Из формулы (4,10) для сферы при г„((1 следует: к 1 ! А' Хгг, г, ' !' Таким образом, при я, = 0,001 получим — - = 1000, а при г с,=0,01 найдем -- =100.
Используя асимптотические выражения (10,8) и (10,10) при ~~1, получим: й' — ~йг; сам ~ ць ! д г м Графики вычисленных величин —, — и — по точным фор- рс ' рс Мц мулам (10,20) с использованием таблиц бесселевых функций приведены на рис. 83. Рис. 83 Решим задачу о резонансной частоте газового цилиндра в жидкости при условии 1, ~ 1.
Упругость системы Е=~ —, где 1г=«г,'Гр, а р, и ср — плотность газа и скорость рс ссз' 1 звука в нем. Присоединенная масса М = 1'р, 2 1п — и резонансная (о Г Г ссз" с Г 4 сс частота сс р и — рсс!п.з со с орсэ. Учитывая, что —,— г, = 1„получим трансцендентное уравнение относительно 5, в следующем виде: рс«1 «с Ы 1п —.=4Р' ",= 4 — '. С! р с' Для воды «= 2 10" дин)слс', для воздуха «, = 1,4 104 дин)слс' и — ' = 0,7 ! 0 '. При этом значении — ' корень уравнения будет равен ", — 5,15 10 ', откуда резонансная частота à — с 5,15 !О ' 1,5 10' !22 "44 и" 2«г, 2«г, г, Для воздушного пузырька в воде (см.
формулу (9,32)) 680 мы нашли «Грсс с Представляет известный интерес определить звуковое дав- ление пульсирующего цилиндра на больших расстояниях. В фор- муле (10,15) в данном случае примем У,(а)=(Г . При интегри- ровании функции 4 (а — а) во все члены суммы (10,15) войдет интеграл: +« 1- 1й— акии (т — «) + миа(т+ «) соз т(р — а) йа— При любом т э'0 этот интеграл равен нулю, но при т=О он равен — (р — «)+(а+а)=2«.
Таким образом, из всей суммы в соотношении (10,15) при интегрировании останется лишь член, соответствующий т= О, и тогда — — ) !) )о кс) + — ~ ° /го )!шс дг) «Г 2 2«(Го, У г С,(1,! Ч Р рс ' При (4~! мы получим: л Р = рс ррг — ррс — сгре . е «гс « I «сс У вЂ” !!«с-Лг!. Р рс' Интенсивность звука на больших расстояниях будет равна: ! гс ие 0 .У вЂ” ~р ! 1 д, ~ = рс-- ~Г,~.- с~) г 2'4 Полная мощность, излучаемая с единицы длины цилиндра, со~( рщЯВ Сопротивление излучения /со(=Р— '=2ряог-',Г", что соответствует ранее полученному выражению (10,18) для пульсирующей полоски шириной 2ео при со ч,1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
