Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Зз интенсивность в данном случае следует принять величину Р" . Относительная разность интенсивностей 2ре' будет равна: Ор -Ь ' р..'1<' р! ~ — ~ ро З Зг, Р о ° Относительная разность имеет для головы человека амплитуд при частотах 100 и 200 гй следующие величины: го = 0,33, Т = 0,018; г„0.66, Т- 0,3. 7 =100 гц, У'= 200 гц, Р о а е и Теорнв звука, с И, й 325, !'осоехизкат, М., !955. 270 малыми величинами до г'„найдем для абсолютной величины давлений: Слух едва способен воспринять разницу звуковых давлений в 10%. Таким образом, на низких частотах, бинауральный эффек~ не может быть обьяснен разницей интенсивности звука в двух ушах. Разность фаз звука в точках Ь=О и 0=я легко может быть рассчитана, исходя из формул (9,201 и (9,21).
С точностью до членов г,' тангенс угла разности фазы Ь (по отношению к фазе издающей волны в центре сферы) в точках й = О и 9 = я равен 18 Д(О) = Д(О) = —, =; ~. ~1+ -„- ~~), 1 — — га 9 3 ! 7, 2 — — г (! — — га — г'! 2 '( 90" 9 1! 3 / 23 1я ла(аа) а(аа) = — , — га 1'1 + га) . 5 . 2 аа 90 1 — — га 9 а Разность фаз в точках 0=0 и в=я будет и = Ь(0) — д(к) Заа (1 + — га ) 2 '12гал) Следовательно, при за<, '1 разность фаз в двух полюсах сферы в 1,5 раза больше, чем набег фазы А 2г, по прямому путй между этими точками. Этот вывод представляет интерес для оценки разности фаз звука в двух ушах, когда звуковая волна приходит под углом 90' к фронтальному направлению, а также для некоторых технических задач, связанных с пеленгацией источников звука.
Сдвиг фазы звуковой волны в результате воздействия жесткой сферы На основании формул (9,3) и (9,б) можно записать суммарное поле падающей и рассеянной волны в следующей форме: (Р, +Р,) =РаЕ'"', а Р„(9)(2т+ 1)~У„(г)+!9|па (еа)Еаа 'а~6„,(в) ~ аал В Рис, 31 Найдем звуковое давлевм в двух точках А и Л (рчс. 81) „, 'иа оси х, расположенных на рассзоянии -1-х и — х от цент- 271 ра сферы.
Положим х=аг,, где а)1, и обозначим Фх=г и Уегв=га. Тогда при за«~1 на основании (8,21) и (8,28) имеем: лт - отл т /а( ) ут( ) т(2ла+ 1) т(2ел+ 1) ы т ы()'лыь~дит+~втн~) в — азаты+ ' ва а( в) 3 1 т( в) —.(2ла+ 1)(ьч+!) Производя вычисление с точностью до членов г~, получим: (ре+р,).= г' ~ +!.(',а+Я, (Р~+Р )1) Рве ~1 — Ла(а+2 )). Разность фаз в точках А и В равна: а = 2з,(а+ —,в) = К2х)(1+ —,), а разность хода звукового луча 3 — 2х(1+ — ) .
й ( 2и")' При удалении точек А и В от поверхности сферы разность хода приближается к величине отрезка 2х и, следовательно, сфера уже мало влияет на разность хода звукового луча. Так, при а= 2 получим 3 2х~1 + †), а при а= б 1 16 1 3 2х(1+,— 1. При а = 1. что соответствует совмещению точек 2507' 3 А и В с полюсами сферы, 3 = 2г, — = Згь 2 Рассеяние звука на сфере из жидкого.или газообразного вещества (дифракция на гибкой сфере) В случае рассеяния звука на жидкой или газообразной сфере граничные условия состоят в непрерывности давления и нормальной компоненты скорости при переходе через границу сферы.
Обозначая давление и нормальную компоненту скорости во внешней среде для падающей волны р, и ды, для рассеянной — через р, и д,„, а во внутренней среде — через р и запишем граничные условия в виде: (Р;+Р,), „=р~,=„„ ().л . Уал) =., =)я!,=„. * Нсе величины, относящиеся к внутренней среде (плотностьч скорость звука), и все функции, взятые для внутренней среды, мы бухал~ обозначать далее чертой над знаком данной величины или функции. 272 р;=р,е' ' ~у' (2т+1)Р (9)/ (г), е =-О р,= ~ча Р (9)6 (г)е Ле" п~ СО ды= — —.Р~е' ~~У' (2т+1)Р (9)[ —.0 (г) з1п 9 (г)), Шс 0 / 1 ч ~с ~в = 0 (9,22 Для внутренней среды, согласно равенствам (8,22) и (8,48), можно написать, учитывая, что в решение войдут только симметричные относительно оси сферические функции Р (9) (поли- номы Лежандра): р =е7 '.
~11 а Р (9)у (г)=е7"' ~1 а„,Р„(9) 6„,(г) созз„(г); в гл 0 (9,23) э — ~ - ч~~ а Р (9)[ — т1 (г)з!пВ Щ, у"'Р ~=о где а~ — амплитудные коэффициенты. Граничные условия от- дельно для каждого т имеют вид: р,7 (2т-[-1)/ (аа) — а„О (з)е ' "'=а 0 (г,)созз (г), 7'~ —; 7 (2т+ 1) Е1 (г,) зш В„(г,)+ ' — ", Е1 (я,) е '"'=" = = — /= й„(г,) з1п Ь„, (г,). рс 1Е с.
н. в 273 Эти граничные условия имеют смысл в предположении, что амплитуда колебаний поверхности сферы очень мала и можно считать г,=сопзь Аналогично формулам (9,3) и (9,4) при рассеянии плоской волны с амплитудой р„падающей по направлению отрицательной оси х на сферу, расположенную в начале координат, получим выражения для давления искорости в падающей и рассеянной волнах в форме ряда, разложенного по сферическим функциям: Из втих уравнений найдем а„и а: а =роу'"+о(2т+1) о( 0г! ЯП Вс! 6о! СОО о!о О!о О!П О о! 7о! р с х —,," 0оое ! т ' 6тсОоое!+./6те ! о!0!о о!и Ое! рс а„=роу о!(2т+1) Х 0о, о1п Оо,6о,е ло!+/0ое гоо! ° уо (9,24) — 0о!е 7~е! 6оосоо о!о+/= — 6г!е ио!0о! о!и О т рс Выполняя операции, указанные формулами (9,24), получим: /Р~ (9,25) р —; з Величины рсо=х и рСо=г представляют адиабзтические модули объемной упругости внешней и внутренней среды.
Тогда ао =Лог г 3 Для жесткой сферы —.-0 и для а, получим выражение г -1 о а,=ур;;-, которое получится также и из формулы (9,5). Если ="-*," <1, < 17г З -*-, о (9,27) 274 Здесь все функции без черты наверху и с чертой наверху берутся соответственно от аргументов г, и я,. Используя приближенные значения Р, 8, 0 но, определим величины первых ковффициентов а при условиях г,<1 и го<1 (длинные волны): го 1 г ао 6о — оо я — — 7 ~1, г ' 2 о гз е-!со -1 — / — 1 3 2 г' 1 г' Р; . о = — —, 6,— --,, е,— — — —, уо~ —.
9 Р— 5 — —,, бо —: е! — — — /~ Я г4 Я 135 о 5 2 15. то хв о/х — х! а, 7Ро — '( з( „— /' Условие (9,27), как будет показано далее, соответствует ма- лости частоты и по сравнению с резонансной частотой пульса- ционных колебаний сферы. С той же степенью приближения, как и в соотношении (9,26), получим: Р Р 2Р+ Р— — ! Р в Р ~о х 2+ 3 —. х ' а, =р,г', (9,28) 2 а, -ур— од Пульсационные колебания гибкой сферы под действием звуковой волны Пульсационные колебания соответствуют члену О-го порядка в разложении (9,22) для р,. Преобразуем выражение (9,26) для а,, полагая, что гв <, "! и е — р'о = 1 †,„ Ров)(! ) х)(! ) з ° '! 7о о! Е,= Рг ~с;",-Р- /~ гв — '-) !=РсЕ.
3 ..!! (9,29 а) !8' Таким образом, коэффициенты а, и а, содержат множитель г'„ а коэффициент а,— множитель г,', т. е. величину на два порядка меньшую, чем а, и аь Очевидно, при соблюдении условий го~1 и во((1/ 3 —" рассеянная волна определяется в осх ионном членами О-го и 1-го порядка и по формулам (9,22), (9,26) и (9,28) найдем: р р В! оо ~ /~о "~ (В) — роо(в! +Зв Р Р 0 (З) — Ло(в! СОЗа ' 2р+р На далеких расстояниях (в~»1) ! и ~в (З) — ~в (з) о во 2р +р Рассеянная волна от гибкой сферы, как и в случае жесткой сферы, представляет в основном сумму излучений О-го и 1-го порядка, но с иным соотношением компонент. Преобразуем выражение (9,29а): Зрс с.о = РС(во + ссо) — /= — с.с+ с.о.
со Оно представляет некоторый импеданс, рассчитанный на единицу площади; выражение Л,=рс(г, '+?го) есть удельный импеданс излучения пульсирующей сферы (при условии гоч;,1, см.гл.4), а Зрс Зр со 1 р со(4оосоо)о с, ?ао ?оосо 4ооо /4 ! )со У (3 1) удельный упругий импеданс сферического объема У = — осг,. 4 Коэффициент упругости сферы (на единицу площади) равен е,= Зс Зр со оо 11 — — ) 4ооу,-' с = со со+.! (со со х (9,33) 2?? Анализ выражения (9,30) показывает, что при вынужденных пульсациоиных колебаниях малой сферы под действием плоской волны с амплитудой давления р, скорость колебаний о?,„ на поверхности определяется разностью сжимаемостей внешней и внутренней среды и некоторым (комплексным) сопротивлением Ль состоящим из суммы собственного (упругого) сопротивления объема сферы с., и сопротивления излучения Л При выводе выражения (9,29) предполагалось, что во~1 и с ~о=р во<,'1.
Если с<" с, то второе условие не усиливает с первого. При с)с второе условие можно преобразовать так: го Гзр — — — <,'1. Для газового пузырька в воде (при Ро= о гро р/ р . Гзр =1 атм) 1 — — и, следовательно, условие го<,'1 приво- Р дит к требованию: во ч,17 гр„. Легко видеть, что формулой (9,29) можно пользоваться до частот, в несколько раз превышающих резонансную, так как при резонансе мы еще получим — 1 — 1 — а при частоте в 4 раза выше резонансной — 2о — —.
о 17 4' Из формулы (9,30) следует, что поток среды через поверхность сферы равен: Для газовой сферы в жидкости при резонансе полный поток среды через поверхность сферы будет равен: л' л х л л' 4игву — ~у — 11 — — ) су —. 5Л ох~ х) с,, Таким образом, объемная скорость через поверхность сферы л в — раз превышает поток через 1 смв фронта волны.
Это значит, что резонирующая сфера засасывает энергию с площади фронта волны, равного л У Эта величина представляет эффективное сечение рассеяния маленького резонансного газового пузырька. Тот же вывод из несколько иных соображений получил Дамб* для любых резонаторов с малым затуханием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
