Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 38
Текст из файла (страница 38)
м 16' Квадрат амплитуды суммарной реактивной скорости будет ргитеи: и" = —;Дфт+ !)" созтвг (ф — ф) з!пт Ь+ лтл созевт (ф — ф) )с,' Х З!Пв!"-т1Ь СОЗ" Ь+ Ит З!Пт т (ф — Эа) З!и" -" Ь) = и ласта ~ =и,-"„! — '~ ~ совет(ф — ф,)зш' Ь+ ""1г т + —,— 1 соз Ь ° соз гп(ф — ф ) ° зтп Ь+ (8,74) где )тлмлг (и + 1) г те" максимальная амплитуда на поверхности сферы при Ь=— и ф= фи что можно видеть из формулы(8 74). Г!осле несложных преобразований для средней (за период) кинетической энергии всего поля найдем: Тт~ = 2 Р,) 2 г 2. = '. р — ", ~г~ +4 [ 2гл + 1, ~ з!па"тт Ьс(Ь ~ созе лт И вЂ” фа) с(ф+ 5 о +( 1 2и ~ з!и" 'ЫЬ~ ° ~ о га Воспользуемся таблицами интегралов" и найдем: ::(-- = 2. 4. 6... (2гл — 2) 2м(ел — )! 1.
3. 5... (2т — 1) о после чего окончательно получим: 4 3. 2м. тл1 = — —,га 1 2 (Зн"'Р12(2т+Н(ел+1)в 2 2М "мао где т 1 2 .'"' Н М. Р ы ж и н. Таблины интегралов, сумм, рядов и нроизведенна. Гостелиздат, М,, 1951, стр. 175, формула (3.421). Величина 3,2т т1 ('4 1 3,2.т зт! М„„= ' ' — (- 4Р1= — ' М 2(2т-(-1)(т+!)т Л / (2т+1)(т+1)лз является присоединенной массой секториального излуча- теля.
Для и=1,2,3,4 получим: М М„= 2 ( осциллирующая сфера), 4 !5 6 Мзз = 65 М, !62 525 Значение М„ для секториального излучателя 1-го порядка равно присоединенной массе зонального излучателя 1-го порядка, т. е. осциллирующего шара, что вполне понятно, так как секториальный излучатель 1-го порядка представляет зональный излучатель с осью, повернутой на 90'. Точечный источник на поверхности сферы Заменим точечный источник звука поверхностным источником, расположенным в положительном полюсе сферы и имеющимскорость и, на малой круговой поверхности за, лежащей вокруг положительного полюса (Ь=О). Тогда объемная скорость, даваемая источником, будет Аз=из55. Постоянные в разложении потенпиала скоростей (8,22) вычисляются по формуле (8,33): 4т и з=и' 4=0.
Элемент поверхности абаз берется для сферы единичного радиуса. Ввиду малости кругового элемента Ы полагаем при интегрировании, что и(Ь)=из по всей площади Гз5 и равно нулю на остальной площади сферы. Тогда, учитывая что, Р (0)=1, ~~) „(й) (5)ж,=ф~~аЮ='-,'и, получим 2т+ ! 4 з Подставляя значение и, в формулу (8,56), для интенсивности при Ь = в ,'» 1 получим: сл 1 рсАо 1! ~!РтРл(2т+1)(2п+1) ('З ( ) л ( )+ т,л=и т — п )1 1 рлоАо ( 1 ~! Р,„Р„(2т+ 1) (2п+1) 2 И 2 4лс ° 4лг' 1с1 ~и Вт(ео) Е>л(ео) Х сои ~ат(во) — зл(во)+ 2 ос ) = Уор(вооз) (8 75) Рт'Ао Здесь с,= — 4', интенсивность (на расстоянии г) нена- 2 4лс 4лг' правленного источника 0-го порядка с производительностью А„а Р(г„а) характеристика с ар направленности точечного источ- ника на сфере.
На рис. 74 при- $ гар „Фт 'т с есле :г "',, с ведено несколько характеристик , ьл'аР 'Ъ. 'Ъ с направленности подобногоисточ- ника при различных значениях ль ло" ос Л вьар го; по оси ординат отложена ~~1 $ с=~- а) величина Р(зт Ь) 4. Легко по- казать, что при г,ч. 1 величина оье Д Р(г„а) стремится к единице, а~у г "~.г т. е. характеристика направлен- Ф'-' ности превращается в сферу, л=е Пг а интенсивность стремится к величине интенсивности Уо сво- !7. ,У бодного источника 0-го по- по сравнению с длиной волны Рис.
74 сфера не влияет на излучение точечного источника. Звуковое давление на больших расстояниях (г » 1) можно представить в следующем виде: . А,реелле со '%~~ утРт (з)(2т+ 1) 4лгоо'осг1(с)е~т~ Р '" с' т о Излучение диполя, размещенного на полюсах сферы Суммарная мощность, излучаемая симметричным относительно оси сферическим источником звука, вычисляется по формуле' (8,58).
Полагая, что на полюсах (9=0 и Э=и) расположены точечные источники с производительностью +А, и 246 — А„получим по формуле (8,33) отличные от нуля значения интеграла по поверхности только при Ь=О и 0=и. Так как для т нечетных Р (0)=1 и Р (и)= — 1, мы получим: 2в+! А ~ ™+! ( А)~ 2в+1 2А в-ьз,з. Для четных т Р (0)=Р (и)=1 и потому и и — — О. Следовательно, П= рал! ~% 2в+! 2иааг, 'Л~а Р'(и,! в-пз,з,... (8,77) рассматривая сферу как экран, выясним,как влияет этот экран на излучение мощности только в одну сторону от экваториаль- ной плоскости.
!а йа аб г г з х гя', — — ~- г а л Рив 75 П Сравним величину — с мощностью, излучаемой точечным источником, расположенным на безграничном экране: 1 ризА1 П вЂ” — — ". 2 2иа Величину — представим в виде П 2 П 1 ~~ 2в+1 2 — — рПа где!р= 1 7 р ( ! и Ь 3. 5, . (8,77а) Изменение величины р в зависимости от ла дано на рис. 75 Для вычисления р до за=5 достаточно взять три первых члена 2иго суммы.
Из рисунка видно, что при за= — „=1 получается 0,6, а далее !з растет очень мало. Сферический экран боль- 247 л щего размера, чем г,= —, очевидио, мало увеличит излучаемую диполем мощность. При яв~" 1, согласно соотношению (8,28), получимс 1~~ (2т + 1) ггт ~-.'. и(.+,) =з . т т. е. при малых св будет сильно сказываться увеличение радиуса экрана. Обычно экран для громкоговорителей делается в форме плоского диска. В первом приближении влияние экрана в форме плоского диска будет эквивалентно влиянию сферического экрана с длиной полуокружиости, равной двойному радиусу плоского экраиа: нгв= 2Я. Мы выяснили, что увеличивать я, для сферического экрана больше, чем до единицы, ие имеет смысла. Следовательно, плоский экраи целесообразно увеличить до величины )г= —.
4 ' Однако и это условие при частоте 100 гй дает очень большой минимальный диаметр экрана: 2гг= 1,7 м. Сферический излучатель звука с бегущей волной* Зададим радиальную скорость бегущей в азимутальиом направлении (ф) волны иа поверхности сферы в следующей форме: и=и в(н"Эе" ' (8,78) где и — амплитуда скорости иа экваторе, Ь вЂ” полярный угол, т — круговая частота, à — время, а т и п — целые числа. Решая задачу обычиым способом, для потеициала скоростей звукового поля получим: <т> д ~г> и Р (а)0 (г)е Н г — тм (8,79) уИ) (г,)е и~Ю Из этого выражения ясно, что в поле, окружающем сферу, возникают волны, бегущие в азимутальиом направлении.
Коэффициент и определяется путем интегрирования по поверхности сферы: гг г в . в (2 в+1)т (' ' етм Ыа= (2т+ 1) тн ', (8,80) — —,ат юп 2. (2„)( 'тл * Сн. С. Н. Рте в ни н. Ивстн. МГУ, еа 8, 3, 1954. 24З 2.4.6... (м+ л) 2 16'З "( +и+1) ПРИ (ги+П)-ЧЕТНОМ, (~и 1.ЗД ... (я -1- л) ('8,80 а) и 246' "(' +л 1 1) при(лг+п)-нечетном. Принимая, что амплитуда от экватора убывает к полюсам по закону г)п Ь, т.
е. полагая в частном случае т=п получим: 2А.6 ... 2я 2(2м)1 ).зд... (2я+ 1);„г(2я+ В. Тогда: я и и (8,80б ) При т~1, используя формулу Стирлинга, приближенно полу- чим: г/ = г/ 2 г пРи в=1. /2 / (8,81) При п=гп и больших, согласно закону г(п "Ь, будем иметь очень малые амплитуды бегущих волн в полярных областях; они затем быстро нарастают и в области, близкой к экватору, принимают почти постоянные значения. В этом случае излучение концентрируется в круговом экваториальном поясе (в направлениях, близких к Ь= — ').
Такой излучатель может быть реализован приближенно в форме быстро вращающегося сферического пояса с синусоидальными бороздками (числом т на всю окружность), к основаниям которого примыкают полусферические неподвижные экраны. Ввиду того что подобный излучатель можно построить, несколько подробнее остановимся на его теории. Потенциал скорости (8,79), если и= т, на основании (8,11) и (8,80б) примет вид: — и 1г1 ляяп ЭО~,(г) е ~ р(гг я4) — /г (г 1 /Л/),„ (гг) е При больших значениях г, вдали от излучателя, согласно формулам (8,28) и (8,29), получим: яа г уев лы — г -(пг Вектор Умова в радиальном направлении и" япгяа ,=Ь вЂ”,, „, „),,,г.
а амплитуда звукового давления мп а р =рси (8,82) Вектор Умова в азимутальном направлении (о равен: и'о,т ап "л 'а ооо(Ггг) в ип ош-оа 1 УР— — Рс 2 о'(е) и й'(е,) л ' ~, . (8,83) Таким образом, для излучателя с бегущей волной существует как радиальный, так и азимутальный поток энергии. Азимутальныя поток резко убывает с расстоянием, причем он замыкается кольцом вокруг сферы и, следовательно. не связан с потерей энергии на излучение. Излучатель с бегущей волной в любом азимутальном направлении при (Ь= сопз1) дает интенсивность звука, ие зависящую от азимута ф. Это — отличительная особенность излучателя с бегущей волной. Излучатель секториальиого типа, для которого скорость на поверхности задается выранееиием и= и з(п Ь.созои(с~ ', дает в функции азимута характеристику направленности с 2т лепестками; его можно рассматривать как суперпозицию двух излучателей с бегущей волной, имеющих равные амплитуды, ио противоположные направления.
Таков характер будет иметь, например, звуковое поле двух соосных пропеллеров, вращающихся в различные стороны. Сравним суммарные потоки энергии в радиальном (П,) и в азимутальном (Пе) направлениях: 2л 1 2лрелш 2 (2ио)1 П,= 1 2лт'. з(пЬ У,Е(Ь= 2 ао()о и'Оло (ЕО) Ш'(2Ш+!) ио 1 (2т)1 2 еойв (ло) ш' (2ш+ 1) оо о 1 2лрел' — 2 ЙЮо (ео) го ш' 1 Таким образом„ Г(р + 2 11е ео При соблюдении условия и ~ зо (длииные волны) азимутальный поток энергии может значительно превышать радиальный.
Сложение двух встречных азямутальных потоков равной величины соответствует сферическому излучателю, на поверхности которого имеется стоячая волна секториального типа. Для подобного излучателя, как было нами показано (см. 8,55а), азимутальныя поток энергии равен нулю, однако в ближней зоне возникает„ присоединенная энергия", формирующаяся за счет сложения двух (8,86) а интенсивность звука ца а(пата. лат+В О3 а рС 2 — а( +1)а 'Л а —,.а (8,86) Если за~т, то  — и при г=г, из уравнения (8,81) по- 1 л, лучим: ӄ— Рс '"з(па О (8,87) "лаа.л1 им~ Таким образом, в плоскости экватора У,— рс — и излучениемаксимально; по величине оно соответствует излучению с единицы площади бесконечного по размерам поршня с амплитудой скорости и„.
Согласно соотношениям (8,84), при га~т П, Юрс — — ), ' ~=5рс — — ". 1 ! 2(2м)! 1 лла~гл 2 2 (9'(2М+ 1)1 2 2 Полная мощность, излучаемая сферой, меньше, чем излучение бесконечного поршня площади 5, потому что в направлениях, отличных от экваториального, интенсивность убывает и при Ь = 0 и Ь= и становится равной нулю. 1 Значения множителя — 1 „даны в табл. 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
